2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷(十一)

一、單選題

1.已知集合用={%|了=丘與},N={%|0<x<2},則MCIN=()

A.{x|0<%<1}B.{x|l<%<2}

C.{x|x<2}D.{%|x>0}

2.設(shè)拋物線(xiàn)V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,若點(diǎn)P(l,m)在拋物線(xiàn)上，且|PF|=3,則「=()

A.1B.2C.4D.8

3.在Zk/IBC中，。是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，滿(mǎn)足BD=2DC,M是線(xiàn)段4。的中點(diǎn)，設(shè)的=%荏+y而，則

()

1111

A.x-y=—B.x+y=-C.x—y=D.x+y=-

4.基本再生數(shù)&與世代間隔7是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平

均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

/(t)=e"(其中e=2.71828……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))描述累計(jì)感染病例數(shù)/(t)隨時(shí)間t(單位：天)

的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與Ro,T近似滿(mǎn)足品=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出%=3.28,T=

6,據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為()(參考數(shù)據(jù)：

ln2=0.69,ln3=1.1)

A.1.2天B.1.8天C.2.9天D.3.6天

5.設(shè)函數(shù)/(%)=5皿23%+$(3>0)的最小正周期為7,若且V=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)

(苧，0)對(duì)稱(chēng)，則()

A.噴=1

B./(%)的圖象關(guān)于直線(xiàn)％=工對(duì)稱(chēng)

C.f(%)在區(qū)間,,勺上是減函數(shù)

D./(%)在區(qū)間(0,勺上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)

44Inyt*[

'一，若pHq,且f(p)+/(q)=2,則p+q的最小值是()

{2x-1,x<1

A.2-2ln2B.3-2ln2C.4—21TL3D.2

7.已知函數(shù)/（X）=+a%2+X有兩個(gè)極值點(diǎn)為］,X2（%1%2）,若過(guò)兩點(diǎn)（久1，/（X1））>

（%2,f（%2））的直線(xiàn)，與％軸的交點(diǎn)在曲線(xiàn)y=/（%）上，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）

A.0B.苧C.gD.|

8.在△ABC中，X=J,B=之,BC=1,。為4c中點(diǎn)，若將△BCD沿著直線(xiàn)BC翻折至△BC，。，使

oZ

得四面體c'-4BC的外接球半徑為1，則直線(xiàn)BC，與平面4BD所成角的正弦值是（）

A^3B2c居D布

-T,3c-TT

二、多選題

9.給出以下四個(gè)說(shuō)法，正確的有（）

A.如果由一組樣本數(shù)據(jù)Qi，yj,（孫，、2），…，（馬，％）得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，=9工+8，

那么經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（%i，yi）,（%2，及），…，（xn）%）中的一個(gè)

B.在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好

C.在回歸分析中，用決定系數(shù)/?2來(lái)比較兩個(gè)模型擬合效果，R2越大，表示殘差平方和越小，即

模型的擬合效果越好

D.設(shè)兩個(gè)變量％,y之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)為r,則|r|=1的充要條件是成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)

回歸直線(xiàn)上

10.已知正方體ABCD-AiBiGDi的棱長(zhǎng)為1,M,N分別是棱BC,QD1的中點(diǎn)，E是棱AB上的一動(dòng)

點(diǎn)，則（）

A.存在點(diǎn)E,使得&EIIMN

B.對(duì)任意的點(diǎn)E,NE1BrC

C.存在點(diǎn)E,使得直線(xiàn)NE與平面4BCD所成角的大小是看

D.對(duì)任意的點(diǎn)E,三棱錐Ci-EMN的體積是定值

11.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為卡西尼卵形線(xiàn)，它是1675年卡西尼在研究土星

及其衛(wèi)星的遠(yuǎn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，設(shè)P（x,y）到4-1,0）與B（l,0）兩點(diǎn)的距

離之積為2的點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C,則（）

A.|x|<1

B.曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.曲線(xiàn)圍成的面積不大于7

D.曲線(xiàn)C上任意兩點(diǎn)之間的距離不大于3

12.已知工，y6/??若％?(e*+伍t+%)=1,y-[2lny4-Zn(Zny)]=1,其中e=2.71828......是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()

A.0<x<1B.xy=2C.y-x>1D.y—x

三、填空題

13.已知a,bWR,若1+i是關(guān)于汽的實(shí)系數(shù)方程%2+。％+6=0的一個(gè)根，其中i是虛數(shù)單位，則

a+b=.

14.已知Q+》(ax+l)5的所有項(xiàng)的系數(shù)的和為64,展開(kāi)式中爐項(xiàng)的系數(shù)為.

15.已知圓Ci：(%+1)2+丫2=1在橢圓。2：蚤+*l(a>b>0)的內(nèi)部，4為C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)4作G的一條切線(xiàn)，交于另一點(diǎn)B，切點(diǎn)為D，若當(dāng)。為4B的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的。的傾斜角恰好為

竽，則該橢圓C2的離心率e=.

16.某數(shù)學(xué)興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類(lèi)似的數(shù)陣，將一行數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積插入這兩項(xiàng)

之間，形成下一行數(shù)列，以此類(lèi)推不斷得到新的數(shù)列.如圖，第一行構(gòu)造數(shù)列1,2：第二行得到數(shù)列

1,2,2：第三行得到數(shù)列1,2,2,4,2,則第5行從左數(shù)起第8個(gè)數(shù)的值為；4

表示第九行所有項(xiàng)的乘積，設(shè)服=則B7=.

12242

122428482

四、解答題

17.如圖，在直四棱柱4BCD—&B1C也中，LDAB=J,AB=BC=2,=3,E在棱BC上,

滿(mǎn)足BE：EC=1：2,F在棱44i上，滿(mǎn)足存=/I麗

(1)當(dāng)4=，時(shí)，證明:4E〃平面BCiF；

(2)若平面BC/與平面4BCD所成的銳二面角的余弦值為|,求4的值.

18.在△ABC中，a,b,c分別是角4B,C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

(1)求角C的大小；

(2)若△力BC是銳角三角形，求婦逆的取值范圍.

C

19.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和為4,且由+。2=3,為=15,數(shù)列｛匕｝滿(mǎn)足勾=a”?[1+

(一l)%](neN*).

(1)求數(shù)列｛a4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為8”，集合P=｛n|nW100且8nW100,neN*｝,求P中所有元素的

和S.

20.為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組

織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競(jìng)賽.每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分的方法如下：第1次答

題，答對(duì)得20分，答錯(cuò)得10分：從第2次答題開(kāi)始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得10

分.學(xué)生甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率為會(huì)各次答題結(jié)果互不影響.

(1)求甲同學(xué)前3次答題得分之和為70分的概率；

(2)在甲同學(xué)完成5次答題，且第2次答題答對(duì)的條件下，求答題得分之和不大于90分的概率；

(3)記甲同學(xué)第i次答題所得分?jǐn)?shù)X&CN*)的數(shù)學(xué)期望為E(X。，求E(Xi),并寫(xiě)出E(XD與

E(M+i)滿(mǎn)足的等量關(guān)系式(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明).

21.已知4(一1,0),B(l,0),直線(xiàn)AM,相交于M,且直線(xiàn)AM,的斜率之積為2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)設(shè)P,Q是點(diǎn)M軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在y軸的右側(cè)，直線(xiàn)AP,BQ在y軸上的截距之比為

1：2,求證：直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

22.已知過(guò)點(diǎn)P(a,b)可以作曲線(xiàn)/(%)=ex+kx(kCR)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B,線(xiàn)段AB的

中點(diǎn)坐標(biāo)為Qo,y0).其中e=2.71828......是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若a=0,證明：0<b<1；

(2)若k<0,證明：(X。-a)?。-b)<0

參考答案

L【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】B,C,D

10.【答案】B,D

11.【答案】B,C

12.【答案】A,C,D

13.【答案】0

14.【答案】15

15.【答案】等

16.【答案】8；365

17.【答案】(1)證明:

方法1：

在棱BQ上取G,使得BG：GG=1：2,連接GF,GE.

因?yàn)锽E：EC=1：2,所以EGCQ,且EG=qCQ.

當(dāng)；1=1時(shí),AF=^AA[,則AFCCI，且AF=^CCi，

所以47/EG,AF=EG,

所以四邊形AEGF是平行四邊形，所以4E〃/G.

又因?yàn)镕Gu平面BEC。AEC平面BGF,

所以AE〃平面BC/.

方法2：

在棱CCi上取G,使得CG：GQ=2：1,連接AG,EG.

因?yàn)锽E：EC=1：2,所以EG〃BQ

又EGC平面Be/,BQu平面BQF,所以EG〃平面BQF.

又因?yàn)?F=GQ,且AF//GQ,所以四邊形4FQG是平行四邊形，

所以AG〃尸Q,又4G<t平面BCiF,FC】u平面BC/,從而ZG〃平面BGP.

因?yàn)?GnEG=G,AG,EGu平面ZEG,所以平面AEG//平面

因?yàn)锳Eu平面4EG

所以4E〃平面BQF.

(2)解：取的中點(diǎn)M,則DM_LDC.分別以射線(xiàn)DM,DC,DD、為x,y,z軸的正半軸建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖所示,

則8(遍，1,0),6(0,2,3),所以西=(-遮，1,3).

因?yàn)槎?4廊，所以尸(遮，-1,32)，所以而：=(0,-2,3/1).

設(shè)訪(fǎng)=(x,y,z)是平面BQ77的法向量,

則(記■BC；=-V3x+y+3z=0

Im-BF=-2y+3Az=0可取記=(國(guó)；I+26，34,2).

不難得到：平面ABCD的一個(gè)法向量為元=(0,0,1).

|沅?宿___________2________

所以|cos(沅,=22

1^；3(2+2)+9/+；1化簡(jiǎn)得：4A+4/1-3=0,

解得；I弓或；1=一|.因?yàn)?W4W1,所以;1=今

22

18.【答案】(1)解：由(a+b+c)(a+b—c)=3ab得：(Q+6)—c=3ab>

??a2+b2—c2=ab,則cost*--1,

又C6(0,?**c=*

_f0<A<^7r7r

Z

(2)解：ABC是銳角三角形，。=梟.??{77r萬(wàn)，解得：J<71<5；

由正弦定理得：史泮=包嘯/生=^[sin4+2sing+A)]=^(2sinA+百cos4)=

2g^sin(4+(p)(其中tan邛=冬0<(P<?);

當(dāng)4+8=3時(shí)，(業(yè))=翠；

/Cmax3

當(dāng)4—Q+2b2/3z.A/QA\2V3X1.3X5/5.

3^—不回，---=(Q2sinA+V3cosA)=x(1+引=

當(dāng)4——fH*Q+2b2/3.A/QAX25/34/35/5.

三人一2明，-Q-=-3-(2smA+V3cos4)=xQ2=<-g-；

二歲的取值范圍為(挈，等].

19.【答案】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛冊(cè)｝的公差為d,則ai+a2=2ai+d=3,①

又4=5al+~^—d=5al+10d=15,可得的+2d=3,②

聯(lián)立①②解得的=d=1,所以即=%+(幾一l)d=n,

nn2

(2)解：bn=On-[1+(―l)n]=n+(—l)n,

所以+^2n+l=(2九+4九2)+[2九+1—(2九+1)勺=0?

因?yàn)楸?0,所以32n_i=0,故1、3、5、…、99都是集合P中的元素.

2

又B2n=B2n-i+b2n=2n+4九2,則由2九4-4n<100得九<4.

所以2、4、6、8都是集合P中的元素.

綜上所述：S=(1+3+5+…+99)+(2+4+6+8)=+2Q=2520.

20.【答案】(1)解：若甲同學(xué)前3次答題得分之和為70分，則甲前3答題的正誤結(jié)果分別為：對(duì)對(duì)

錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)對(duì)，

所以所求概率為P(X=70)=2(1)2XJ=蓋.

(2)解：記事件從甲同學(xué)完成5次答題，第2次答題答對(duì)，

記事件B：甲同學(xué)完成5次答題，答題得分之和不大于90分，

在甲同學(xué)完成5次答題，且在第2次答題答對(duì)的條件下，答題得分之和不大于90分的情形

有以下5種：錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)，對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)，

所以,P(AB)=(1)4x|+4x(1)3x(1)2=P⑷=春

由條件概率公式可得尸(B⑶==禺x|=果.

1(41)JJL4D10^0

(3)解：Xi的取值可以是10、20,且P(Xi=10)=q，P(Xi=20)=孑

所以E(XD=20x1+10x|=18.

若第i+1次甲答對(duì)，則甲的得分為2E(%)；若第i+1次甲答錯(cuò)，則甲的得分為10分.

所以，E&+1)=治x2E(X。+:X10=+2(ieN*).

21.【答案】(1)解：設(shè)M(x,y)(xK±l),則直線(xiàn)AM的斜率是加=擊;，直線(xiàn)的斜率是七=

y

口，

所以自也=備?號(hào)=2,化簡(jiǎn)整理得：“2—吟=1(X。±1)，

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是“2耳=1(x?！?).

(2)證明：設(shè)直線(xiàn)4P在y軸上的截距為3則直線(xiàn)BQ在y軸上的截距為23顯然t。0,

直線(xiàn)4P的方程為占+*=1,即y=t(x+l),直線(xiàn)BQ的方程為號(hào)+美=1,即y=—2t(x—l),

又雙曲線(xiàn)%2一吟=1的漸近線(xiàn)方程為y=±y[2x，顯然直線(xiàn)AP與雙曲線(xiàn)兩支各交于一點(diǎn)，

直線(xiàn)BQ與雙llh線(xiàn)右支交于兩點(diǎn)，

則有舊＜魚(yú),且21tl＞奩，于是￥＜出＜魚(yú),

(y=+1)

由I7y2消去丫化簡(jiǎn)整理得：(/一2)/+2嚴(yán)工+(嚴(yán)+2)=0,設(shè)點(diǎn)P(%p,yp),

4t

則％P?(―1)='J2,解得％p=—，理,Wy?=t(-'J24-1)=—

r-2r-2〃r-2理—2

y=-2t(x—1),

2222

由?y2消去y化簡(jiǎn)整理得：(2t-l)x-4tx4-(2t+1)=0,設(shè)點(diǎn)P(%Q,%),

x2-4-=1

\L

2t2+1解得和=舒有…玲-―告'

則XQ-1=

2t2一1'

XQXp~2t2-l+t2-2-(2理_］清_2)，yQyP_2t2-l+t2-2-(2￡2-1)(^-2))

于是所=(2￡磔2)(產(chǎn)―1,°,設(shè)直線(xiàn)PQ上任意一點(diǎn)RQ，y)＞則麗=(”+之y+

4t

),

顯然而〃而，因此t(尤+銬)=(/一1)3+牖)，即％九)一銬,

C—Lt—ZLt—Lt—L

22

整理得％=1y+3,顯然直線(xiàn)x=_:y+3恒過(guò)定點(diǎn)(3,0),

所以直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(3,0).

22.【答案】(1)證明：函數(shù)/(%)=〃+kx的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=ex+k.

設(shè)4(%i，e"i+/cq)、B(X2?e“2+/c、2)，

則曲線(xiàn)/(%)在力處的切線(xiàn)方程為y=(靖】+k)x+(1-％1)靖】.

因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(a,b),所以b=(eZ+k)a+(l-4i)e%,①

同理可得b=(e*2+k)a+(1—%2)12，②

所以打、冷是方程b=(ex+k)a+(1-x)e*的兩個(gè)不等實(shí)根.

當(dāng)a=0時(shí)，6=(1—x)ex,

設(shè)F(x)=(l-x)ex,則直線(xiàn)y=b與函數(shù)尸(%)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

F(x)=-xex>當(dāng)》<0時(shí),，F(xiàn)'(x)>0，此時(shí)F(x)遞增；當(dāng)％〉0時(shí)，，F(xiàn)(%)<0>此時(shí)F(x)遞減.

所以，函數(shù)FQ)的極大值為F(0)=1,

當(dāng)X<1時(shí)，F(xiàn)(x)=(1—x)ex>0；當(dāng)％>1時(shí)，F(xiàn)(x)=(1—x)ex<0,如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)0<b<l時(shí)，直線(xiàn)y=b與函數(shù)F(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，0<b<1.

X1Z1Z2X2

(2)證明：由①②可知，(e+k)a+(1—%i)e=(e+k)a+(1—x2)e,

于是a_(]一金)/2-(1一勺)暝,

a-exl-ex2

不妨設(shè)t=&—>°，則e*2=ef.不,

則a-(1一1一￡)右_(1一叼)_i+ter

%

人J"l_et-il+el

又