《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》（二）

考查內(nèi)容：主要涉及切線(xiàn)方程問(wèn)題（傾斜角、斜率、切點(diǎn)坐標(biāo)、過(guò)某點(diǎn)和

在某點(diǎn)問(wèn)題的切線(xiàn)方程等），求參數(shù)值（或取值范圍），求最小距離等

選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=d—氐+g上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)p處切線(xiàn)的傾斜角為a,則角

a的取值范圍是（）

。弓

A.B.

2.曲線(xiàn)y=（尤3—在點(diǎn)（1,0）處的切線(xiàn)方程為（）

A.2x+y—2—0B.x+2y-l=0

C.x+y-l=0D.4x+y-4=0

3.曲線(xiàn)_y=靖在點(diǎn)（2,e?）處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）

92e2

A.一/B.2e2C.°2D.—

42

4.已知曲線(xiàn)丁=〃/+%山%在點(diǎn)（1,?！辏┨幍那芯€(xiàn)方程為丁=2尤+6,則（）

A.a=e,b=—1B.a=e,b=l

C.a=e~l=1D.a=e~x.b=—1

5.過(guò)原點(diǎn)引y=e*+r的切線(xiàn)，若切線(xiàn)斜率為工，則/=（）

e

1

A.~eB.-

e

c2

C.2eD.—

e

6.曲線(xiàn)丁=（女+2）/在點(diǎn)（0,2）處的切線(xiàn)方程為丁=-21+6，則必=（）

A.-4B.-8C.4D.8

7.已知曲線(xiàn)y=/在點(diǎn)（a,。）處的切線(xiàn)與直線(xiàn)%+3y+l=。垂直，則。的取值是

）

A.-1B.±1C.1D.±3

8.若曲線(xiàn)y=%2+〃%在點(diǎn)(1,々+1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=7x平行，則〃二(

A.3B.4C.5D.6

9.已知函數(shù)丁=/(力的圖象在點(diǎn)(1,7(1))處的切線(xiàn)方程為x—2y+l=0,則

/(1)+2/'(1)的值為()

1

A.-B.1

2

3

C.-D.2

2

10.若函數(shù)/(x)=?x2—；三5＞0)的圖象存在與直線(xiàn)X—y+2=o平行的切線(xiàn)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,+co)B.(-co,-l]

c.(^0,-1]LD.(-CO,-1]L(1,-HX))

11.若點(diǎn)尸是曲線(xiàn)＞=inx上任一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線(xiàn)x—y—4=0的最小距離是

()

A.yflB.3C.272D.2A/3

12.已知函數(shù)/(%)=必+法的圖象在點(diǎn)A(l,/(1))處的切線(xiàn)/與直線(xiàn)3x—y+2=0

平行，若數(shù)列＜＞的前n項(xiàng)和為Sn,則S2009的值為()

2007200920082010

A.----B.-----C.-----D.-----

2008201020092011

填空題

13.曲線(xiàn)y=sinx+2x+l在點(diǎn)p處的切線(xiàn)方程是3%-丁+1=0,則切點(diǎn)P的坐標(biāo)是

14.曲線(xiàn)y=?一x在(0,0)處的切線(xiàn)方程為.

15.過(guò)原點(diǎn)(0,0)作函數(shù)/(%)=/+2三圖象的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為.

—%?—2x+3,%(11

16.已知/(%)=〈，若函數(shù)y=/(%)—日+大有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

Inx,x＞12

上的取值范圍是.

三.解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.已知函數(shù)/(x)=x3+x—16.

(1)求曲線(xiàn)y=/(%)在點(diǎn)(2,-6)處的切線(xiàn)的方程.

(2)若直線(xiàn)/為曲線(xiàn)y=/(x)的切線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)/的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

18.設(shè)函數(shù)/(x)=取-一，曲線(xiàn)y=/(無(wú))在點(diǎn)(2,/(2))處的切線(xiàn)方程為7x-4y-

X

12=0.

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)證明：曲線(xiàn)y=/(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x=0和直線(xiàn)y=x所圍成的三角形面

積為定值，并求此定值.

19.已知二次函數(shù)/(%)=&+加；_3在x=l處取得極值，且在(0,-3)點(diǎn)處的切線(xiàn)與

直線(xiàn)2x+y=0平行.

(1)求“X)的解析式;

(2)求函數(shù)8(%)=獷(%)+4%的單調(diào)遞增區(qū)間.

x

20.已知函數(shù)/(x)=—InL(aeR),曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線(xiàn)方程為

x+a

1

y=一.

e

(1)求實(shí)數(shù)。的值，并求的單調(diào)區(qū)間

(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<x-l.

21.已知函數(shù)/(%)=她二+。曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1,/(功處的切線(xiàn)方程為

X+1X

%+2y-3=0.

(1)求。力的值;

Inx

(2)證明：當(dāng)x>0且xwl時(shí)，/(%)>——.

X-1

22.已知函數(shù)/(x)=(x+l)2-3alnx,aeR..

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求〃x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線(xiàn)方程及函數(shù)/(*)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì)任意xe[l,e],/(x)<4恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》（二）解析

1.【解析】yf=3x2-^>-^3,/.tanor>-A/3?

兀A27rA

?e[0,7T),：.a&0,—Io石，"(故選：B.

2.【解析】7=(3x2-3)-ln^+--(x3-3x),故切線(xiàn)斜率左=乂1=—2

X

故所求切線(xiàn)方程為y=-2(x—1),即2x+y—2=0,故選：A

3.【解析】y'=e、，故切線(xiàn)的斜率為左=e2,故切線(xiàn)方程為：y-e2=e2(x-2),

化簡(jiǎn)得到y(tǒng)=e2x-e2.令x=0,則丁二飛之；令y=0,則x=l.

故切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為L(zhǎng)xlxe?=三.故選：D.

22

Jx

4.【解析】y=ae+lnx+l,k-y'\x=x=ae+\=2,：.a=e

將(1,1)代入V=2x+b得2+b=l,b=-1,故選D.

5.【解析】y=e)又e°=l，故原點(diǎn)不可能是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(毛,為)，

則y'=e"n,%=」+/,

ee

又！=&=^^=_(eT+°n/=_2.故選：D.

ex0x0、'e

6.【解析】因?yàn)閥=(ox+2)e*,所以y'=e*(ox+2+。)，

故上=>'L=o=2+。=一2,解得。=-4,又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,2),

所以2=—2xO+A,解得b=2,所以出?=—8,故選：B

7.【解析】y=/(x)=x3,/'(x)=3x2,直線(xiàn)x+3y+l=0,k=—；,

故/(a)=3/=3,解得a=±l.故選：B.

8.【解析】因?yàn)閥'=2x+a,所以2+a=7,解得a=5,故選C.

9.【解析】由1—2y+l=0得y=l,因此有/(1)=1,尸(1)=：,二

/(l)+2/'(l)=l+2x1=2.故選D.

10.【解析】f'(x)=2ax-x2,由題意/'(x)=2"一%2=1有正數(shù)解，

?.?x〉0,=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立,

2xlx

a的取值范圍是口,+8）.故選：A.

11.【解析】要使點(diǎn)尸到直線(xiàn)x—y—4=。的最小距離，

只需點(diǎn)尸為曲線(xiàn)與直線(xiàn)為-y-4=0平行的切線(xiàn)切點(diǎn),

即點(diǎn)P為斜率為1的切線(xiàn)的切點(diǎn)，設(shè)尸（%,%）,%〉0,

11

y=廠(chǎng)9_lnx,y，匕苑=2%-----=1,解得%=］或％（舍去）,

|1-1-4|

點(diǎn)PQ,1）到直線(xiàn)x—y-4=0的距離為=20,

0

所以曲線(xiàn)丁=必一inx上任一點(diǎn)到直線(xiàn)％—y—4=0距離最小值為2夜.

故選：C.

12.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/5）=必+法，所以/'（x）=2x+b,

代入x=l,得切線(xiàn)斜率左=2+），因?yàn)榍芯€(xiàn)/與直線(xiàn)3x—y+2=。平行,

所以2+A=3,得6=1,所以/(兀)=*+%,

111_1

所以

/(n)/+〃〃n+1

什.111111

所以S=-------1--------1---.-------=--1--———

"1223nn+1n+1

12009

所以S2009=l--------=—故選：B.

20102010

13.【解析】由函數(shù)y=sinx+2x+l,貝qy'=cosx+2,

設(shè)切點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（%,%）,則斜率k=y'\x=xo=cos無(wú)o+2=3,

所以cosx（）=l,解得玉）=2比乃（左eZ）,

當(dāng)左=0時(shí)，切點(diǎn)為（0,1）,此時(shí)切線(xiàn)方程為3x—y+1=0；

當(dāng)歸W0,切點(diǎn)為（2左1,4左不+1）（左eZ）,不滿(mǎn)足題意,

綜上可得，切點(diǎn)為（0』）.故答案為：（0,1）.

14.【解析】對(duì)y='一：'x求導(dǎo)得:y'=(-x2+2%-cosx+sin%)ex,

故在(0,0)處切線(xiàn)斜率為左=了_=-l,所以切線(xiàn)方程為丁=一%.

X—v

15.【解析】/(1)=丁+2%2,貝1]-(月=3/+4%，

2

設(shè)切點(diǎn)為(玉),為3+2/2)，則切線(xiàn)的斜率k=f'(x0)=3x0+4x0,

2

故切線(xiàn)方程為:丁一(為3+2/2)=(3x0+4x0)(x-x0),

22

因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,0)，所以—(與3+2X0)=(3X0+4x0)(-x0),

32

即2x0+2x0=0=>x0=0或％=-1,

故當(dāng)/=0時(shí)，切線(xiàn)方程為y=0,當(dāng)天=-1時(shí)，切線(xiàn)方程為x+y=0,

故答案為:丁=?；騲+y=0.

11

16.【解析】由題意y=/(x)—融+,有4個(gè)零點(diǎn)即/(x)=6-萬(wàn)有4個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)g(x)=fcx-g,則g(x)恒過(guò)點(diǎn)I。,-；],

???函數(shù)g(x)與/(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)g(x)與“尤)的圖象，如圖，

由圖象可知，當(dāng)左<(時(shí)，函數(shù)g(x)與/(x)的圖象至多有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)函數(shù)g(x)過(guò)點(diǎn)和(1,0)時(shí)，k=g,此時(shí)函數(shù)g(x)與/Xx)的圖象恰有3

個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)函數(shù)g(x)與y=lnx(x>l)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(a,Ina),/=-,

.■-k=-,Alna+2_1,解得a=6,

a-=—

aa

:.k=立,此時(shí)函數(shù)g(x)與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交懸

e

當(dāng)上〉立時(shí)，兩函數(shù)圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)；

二若要使函數(shù)y=，（x）—日+!有4個(gè)零點(diǎn)，貝以e（士立）.

22e

17.【解析】⑴/'(x)=3*+l.

所以在點(diǎn)（2,-6）處的切線(xiàn)的斜率k=/'（2）=13,

切線(xiàn)的方程為y=13x—32；

（2）設(shè)切點(diǎn)為（天,陽(yáng)），則直線(xiàn)/的斜率為/'（%）=3/2+1,

所以直線(xiàn)/的方程為：y=（3/2+1）（X-X0）+XQ+X0-16,

所以又直線(xiàn)I過(guò)點(diǎn)（0,0）,0=（3/2+1）（―5）+片+/-16,

整理,得Xg=一8，二無(wú)o=一2，

3

Ay0=(-2)+(-2)-16=-26,/的斜率k=13,

.?.直線(xiàn)/的方程為y=13%,切點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-26）.

、?7

18.【解析】（1）方程7x—4y—12=0可化為y=—x—3,

4

1b2”3=3

當(dāng)x=2時(shí)，y=—.又？（x）=a+w于是｛匕,，解得

xa+—=—

44

3

故f(x)=x——.

x

3

(2)證明：設(shè)P(xo,yo)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，由？(X)=l+-y知，曲線(xiàn)在點(diǎn)P(xo,yo)處的切

X

333

線(xiàn)方程為y—yo—(1+—2)-(x—xo),即y—(XQ——)—(1+—r)(x—xo).

66

令x=0得，y=——，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)x=0,交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,——）.

%%

令得y=x=2xo,從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2xo,2xo）.

所以點(diǎn)P(xo,yo)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x=o,y=x所圍成的三角形面積

16、

為一|——||2xo|=6.曲線(xiàn)y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x=0和直線(xiàn)y=x所圍成的

2%

三角形面積為定值，此定值為6.

19.【解析】(1)由/(%)=依2+樂(lè)一3,可得/'(X)=2依+Z?.

r(i)=o,2〃+b=0,

由題設(shè)有<解得a=lfb——2.

r(o)=-2.b=—2.

所以f(x)=x2-2x-3.

(2)由題意得g(x)=?(%)+4%=%3-2*+x,

所以g'(x)=3%2一4%+1=(3］一1)(1一1).令，(x)=0,得%=g,x2=l.

1

X(f3331(L+x)

+0-0+

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

x+a1a

Iny------Inx

2。.【解析】(I).,小)=不，...八上x(chóng)，?./(e)=—J

(e+〃)2

又曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(e,7(e))處的切線(xiàn)方程為,=工，則尸(e)=0,即。=0,

e

.e.f\x)=--令/'(x)>0,得l—lnx>0,即0<x<e；

令/'(x)v0,得1—lnx<0,即X>e,

所以/(為的單調(diào)增區(qū)間是Qe),單調(diào)減區(qū)間是(e,+8).

(2)當(dāng)%>0時(shí)，要證/(x)Vx-l即證Inx—

令g(%)=Inx-x2+x(x>0),

則g，(x)=4_2x+1=1+x2/=_(上l)(2xj1)

xxx

當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)>0,g(尤)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)<g⑴=。，即當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<x-l.

21.【解析】(1)ffr}=

(x+1)-V'

由于直線(xiàn)x+2y—3=0的斜率為—；，且過(guò)點(diǎn)(1,1),

/⑴=Lfb=L

1解得a=l,b=1.

一—,

右In%1、lux1fx2-1

(2)由⑴知f(x)=----+一,所以“X)------=-——721nx-------

X+1Xx—11—xIX