幾何模型輔助線______-手拉手模型一、方法突破問題一：構(gòu)成手拉手的必要條件．當(dāng)對一個幾何圖形記憶并不深刻的時候，可以嘗試用文字取總結(jié)要點(diǎn)，比如手拉手：四線共點(diǎn)，兩兩相等，夾角相等．【專題說明】兩個具有公共頂點(diǎn)的相似多邊形，在繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，產(chǎn)生伴隨的全等或相似三角形，這樣的圖形稱作共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型；為了更加直觀，我們形象的稱其為“手拉手”模型。條件：如圖，OA=OB，OC=OD（四線共點(diǎn)，兩兩相等），∠AOB=∠COD（夾角相等）結(jié)論：△OAC≌△OBD（SAS）證明無需贅述，關(guān)于條件中的OA=OB，OC=OD，有時候會直接以特殊幾何圖形的形式給出，比如我們都很熟悉的等邊三角形和正方形．等邊三角形手拉手（1）如圖，B、C、D三點(diǎn)共線，△ABC和△CDE是等邊三角形，連接AD、BE，交于點(diǎn)P：結(jié)論一：△ACD≌△BCE證明：→△ACD≌△BCE（SAS）（2）記AC、BE交點(diǎn)為M，AD、CE交點(diǎn)為N：結(jié)論二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD證明：→△ACN≌△BCM（SAS）；→△MCE≌△NCD（ASA）（3）連接MN：結(jié)論三：△MNC是等邊三角形．證明：→△MCN是等邊三角形．（4）記AD、BE交點(diǎn)為P，連接PC：結(jié)論四：PC平分∠BPD證明：△BCE≌△ACD→CG=CH→PC平分∠BPD．

（5）結(jié)論五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．（6）連接AE：結(jié)論六：P點(diǎn)是△ACE的費(fèi)馬點(diǎn)（PA+PC+PE值最?。┱叫问掷秩鐖D，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，連接BE、DG：結(jié)論一：△BCE≌△DCG證明：→△BCE≌△DCG（SAS）結(jié)論二：BE=DG，BE⊥DG證明：△BCE≌△DCG→BE=DG；∠CBE＝∠CDG→∠DHB=∠BCD=90°（旋轉(zhuǎn)角都相等）【重點(diǎn)概述】手拉手模型是一種基本的旋轉(zhuǎn)型全等，與其說看圖找模型，不如是“找條件、定模型”．問題二：條件與結(jié)論如何設(shè)計？設(shè)計一：我們可以給出手拉手模型條件，得到一組全等來解決問題，就像問題一中所得出的結(jié)論那樣；設(shè)計二：如果題目已知△ABC≌△ADE外，則還可得△ABD和△ACE均為等腰三角形，且有△ABD∽△ACE，．問題三：如何構(gòu)造手拉手？如何構(gòu)造手拉手？換句話說，如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)？當(dāng)我們在思考這個問題的時候，不妨先問一句，旋轉(zhuǎn)能帶來什么？圖形位置的改變，這一點(diǎn)就夠了，因為，若有數(shù)量關(guān)系，則先有位置關(guān)系．【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等圖1圖2圖3圖4二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；圖1圖2二、中考數(shù)學(xué)典例精析例一：如圖，等邊三角形的邊長為4，點(diǎn)是的中心，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分別交線段、于、兩點(diǎn)，連接，給出下列四個結(jié)論：①；②；③四邊形的面積始終等于；④周長的最小值為6．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】等邊三角形中的旋轉(zhuǎn)型全等連接OB、OC，易證△OBD≌△OCE，∴OD=OE，結(jié)論①正確；考慮∠FOG是可以旋轉(zhuǎn)的，△ODE面積和△BDE面積并非始終相等，故結(jié)論②錯誤；∵△OBD≌△OCE，∴四邊形ODBE的面積等于△OBC的面積，，故結(jié)論③正確；考慮BD=CE，∴BD+BE=CE+BE=4，只要DE最小，△BDE周長就最小，△ODE是頂角為120°的等腰三角形，故OD最小，DE便最小，當(dāng)OD⊥AB時，OD取到最小值，此時，∴周長最小值為6，故結(jié)論④正確．綜上，選C，正確的有①③④．【小結(jié)】所謂全等，實(shí)際就是將△ODB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到△OEC的位置．等等，好像和某個圖有點(diǎn)神似，如下：當(dāng)然這個圖形還可以簡化一下，畢竟和D點(diǎn)及F點(diǎn)并沒有什么關(guān)系．結(jié)論與證明不多贅述，題型可以換，但旋轉(zhuǎn)是一樣的旋轉(zhuǎn)．例二：如圖，點(diǎn)在等邊的內(nèi)部，且，，，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的值為．【分析】連接，則是等邊三角形，故，易證△CPB≌，∴，又AP=8，∴是直角三角形，∴．例三：如圖，是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，，則四邊形的面積為．【分析】分四邊形為三角形．連接PQ，易證△APQ是等邊三角形，△BPQ是直角三角形，，，∴四邊形APBQ的面積為．例四：如圖，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，分別連結(jié)、、，若，，．則．【分析】構(gòu)造旋轉(zhuǎn)．如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連接EP，可得△AEP是直角三角形，△BEP是等邊三角形，,所以本題答案為．搭配一：若，則可任意旋轉(zhuǎn)，得等邊+直角．且兩條較短邊夾角（∠APB）為150°．搭配二：若∠APB=150°，則有．例五：如圖，為等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且到三個頂點(diǎn)，，的距離分別為3，4，5，則的面積為A． B． C． D．【分析】（3，4，5）是一組勾股數(shù)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造直角三角形．法一：如圖，將三個小三角形面積分別考慮到△ABC是等邊三角形，可將△APB旋轉(zhuǎn)到△ADC位置，可得：，同理可得：，，∴，∴，故選A．法二：如圖，易證∠APB=150°，過點(diǎn)A作BP的垂線交BP延長線于點(diǎn)H，則，，，．【思考】如果放在正方形里，條件與結(jié)論又該如何搭配？作旋轉(zhuǎn)之后，可得△AEP是等腰直角三角形，若使△PEB也為直角三角形，則原∠APD=135°，而線段PA、PB、PD之間的關(guān)系為：．搭配一：若∠APD=135°，則；搭配二：若，則∠APD=135°．另外，其實(shí)這個圖和點(diǎn)C并沒有什么關(guān)系，所以也可以將正方形換成等腰直角三角形．大概如下圖：抓主要條件，舍棄無用條件，也是理解幾何圖形的一種方式．例六：在Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)且∠APB=135°，，AC的最大值為_________．【分析】顯然根據(jù)∠APB=135，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)．可得：△APQ是等腰直角三角形，△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，另外還有條件．重新梳理下條件，（1）有一條線段，（2）∠PQC=90°，則Q點(diǎn)軌跡是個圓弧，（3）以PQ為斜邊在PC異側(cè)作等腰直角三角形，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)．∴A點(diǎn)軌跡是什么？瓜豆原理啦，也是個圓?。骸郃C的最大值為．半角模型一、方法突破90°+45°模型．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°連接EF．【兩個基本結(jié)論】結(jié)論1：EF=BE+DF．證明：延長CD至點(diǎn)G使得DG=BE【截長】易證：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易證：△AFE≌△AFG（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．若E、F分別在CB、DC延長線上時，結(jié)論變?yōu)椋篍F=DF-BE．

證明：在DC上取點(diǎn)G使得DG=BE【補(bǔ)短】易證：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易證：△AEF≌△AGF（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=DF-DG=DF-BE【小結(jié)】截長、補(bǔ)短只是形式，關(guān)鍵點(diǎn)在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的另一個半角．此處通過旋轉(zhuǎn)，想要將一個圖形毫無違和地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對角互補(bǔ)．正方形可滿足一切你所想．結(jié)論2：連接BD，與AE、AF分別交于M、N，則：．證明：構(gòu)造△ADM’≌△ABM→AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’易證：△AMN≌△AM’N（SAS）→MN=M’N易證：△M’DN是直角三角形→→．

【其他結(jié)論】結(jié)論3：若，則點(diǎn)F是CD邊中點(diǎn)．反之亦然．結(jié)論4：過點(diǎn)A作AH⊥EF交EF于H點(diǎn)，則△ABE≌△AHE，△AHF≌△ADF．另外還可得：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE．結(jié)論5：A、B、E、N四點(diǎn)共圓，A、D、F、M四點(diǎn)共圓．證明：∠EAN=∠EBN=45°，∴A、B、E、N四點(diǎn)共圓．同理可證A、D、F、M四點(diǎn)共圓．另外還可得：連接EN、MF，可得△AEN、△AMF是等腰直角三角形．結(jié)論6：M、N、F、E四點(diǎn)共圓．證明：∵∠MEF=∠MFN，∴M、N、F、E四點(diǎn)共圓．結(jié)論7：△AMN∽△AFE．且．由構(gòu)圖3可得∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE．可得△AMN∽△AFE．結(jié)論8：△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA．結(jié)論9：連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且．【思考】對于以上9個結(jié)論，在正方形中，有哪些作為條件能推出∠EAF=45°的？【小結(jié)】從結(jié)論5開始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作為題型出現(xiàn)，了解下圖形的更多性質(zhì)有時候能幫上大忙．在這里除了給的∠EAF=45°外，正方形對角線也會形成其他45°角，多組相等角總能撞出些火花．

120°+60°模型（1）如圖，△ABC是等邊三角形，BD=CD且∠BDC=120°，E、F在直線AB、AC上且∠EDF=60°結(jié)論：EF=BE+CF證明：延長AC至點(diǎn)G使得CG=BE，易證：△DBE≌△DCG（SAS）→DE=DG，∠FDG=∠FDE=60°易證：△DFE≌△DFG（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=GC+CF=BE+CF若點(diǎn)F在AC的延長線上，EF、BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系？半角模型知識精講1. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，則BE＋DF＝EF.簡證：如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90o得到△ABG，使得AD與AB重合，通過證明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF.2. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，則AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.簡證：如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90o得到△ABG，使得AD與AB重合；將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90o得到△ADH，使得AB與AD重合.∵旋轉(zhuǎn)，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2；∵旋轉(zhuǎn)，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，則.簡證：通過上述的全等直接可以得到，不再證明.4. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，過點(diǎn)A作AH⊥EF交EF于點(diǎn)H，則AH＝AB.簡證：由上述結(jié)論可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，則.簡證：由結(jié)論1可得EF＝BE＋DF，則＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，則.簡證：如圖，將△AND繞點(diǎn)A順時針旋90o得到△AGB，連接GM.通過證明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90o，即可證.7. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，則△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.簡證：通過證明角相等得到三角形相似，要善于使用上述結(jié)論.8. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，則.簡證：連接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【補(bǔ)充】通過面積比是相似比的平方比亦可得到.9. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，則.簡證：由結(jié)論7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，則.簡證：設(shè)，在Rt△CEF中，，化簡得，.11. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，則當(dāng)BE＝DF時，EF最小，最小，最大.證明：如圖，作△AEF的外接圓，點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)，連接OA、OE、OF、PC，過點(diǎn)A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45o，∴∠EOF＝90o，設(shè)，則，，，∴當(dāng)點(diǎn)A、O、P、C四點(diǎn)共線時，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值.12. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45o，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，則.簡證：由結(jié)論8可得△△ECA△NDA，，，同理可得.補(bǔ)充：等腰直角三角形與“半角模型” 如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45o，則.證明：如圖，將△ACD繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90o得到△，連接.∵旋轉(zhuǎn)，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE與△中，，∴ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90o，∴，.二、典例精析例一：如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)，分別在邊，上，若，則的周長等于．【分析】半角模型．根據(jù)半角模型結(jié)論可知EF=AE+CF，∴△EDF的周長等于DA+DC=4，故△EDF的周長為4．例二：已知如圖，在正方形中，，，分別是，上的一點(diǎn)，且，，將繞點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則以下結(jié)論：①，②，③，④中正確的是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【分析】半角模型結(jié)論①顯然正確；設(shè)BF=x，則EF=3+x，CF=4-x，勾股定理得：，解得：，故結(jié)論②正確；，故結(jié)論③錯誤；∵BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，且，，∴，故結(jié)論④正確；綜上所述，選D．例三：如圖，已知正方形ABCD的邊長為a，E為CD邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF．給出下列判斷：①∠EAG=45°；②若，則AG∥CF；③若E為CD的中點(diǎn)，則△GFC的面積為；④若CF=FG，則；⑤．其中正確的是______．（寫出所有正確判斷的序號）【分析】半角模型．結(jié)論①正確，易證△ADE≌△AFE，△AFG≌△ABG，∴．結(jié)論②正確，若，則G是BC中點(diǎn)，GC=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∠CFG+∠GFC=∠FGB，∴∠GFC=∠FGA，∴AG∥CF．結(jié)論③錯誤，∠FGB=2∠FGA，∴∠FGC=∠FGA，∴AG∥CF．若E為CD中點(diǎn)，則，，有，∴．結(jié)論④正確，若GF=FC，則DE=BG，不妨設(shè)DE=BG=x，則GE=2x，，由△ECG是等腰直角三角形，可得：，解得：．結(jié)論⑤正確，正方形面積是，是五邊形ABGED的面積，故證明△GEC面積為即可．設(shè)BG=m，DE=n，則EG=m+n，CG=a-m，CE=a-n，根據(jù)勾股定理可得：，化簡得：，∴．綜上所述，正確的是①②④⑤．截長補(bǔ)短模型證明問題【專題說明】截長補(bǔ)短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用,它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫穿著整個幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長補(bǔ)短法呢?所謂截長補(bǔ)短其實(shí)包含兩層意思,即截長和補(bǔ)短.截長就是在較長的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段,證剩下的那一段等于另外一段較短的線段.當(dāng)條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時，用截長補(bǔ)短．【知識總結(jié)】1、補(bǔ)短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那一條線段相等；2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線段中的另一段相等。3、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是常用.如圖1，若證明線段AB,CD,EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長補(bǔ)短法.截長法：如圖2，在EF上截取EG=AB,在證明GF=CD即可；補(bǔ)短法：如圖3，延長AB至H點(diǎn)，使BH=CD,再證明AH=EF即可.【類型】一、截長“截長”是指在較長的線段上截取另外兩條較短的線段，截取的作法不同，涉及四種方法。方法一：如圖2所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.圖2方法二：如圖2所示，在BF上截取FM=GC，可證四邊形GCFM為平行四邊形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個共頂點(diǎn)的等腰Rt△BCD和△MCF。方法三：如圖3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，可證得∠DFC=∠KFG=135°，所以△DFC≌△KFG（SAS），所以KG=DC=BC，∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，得四邊形BCGK為平行四邊形，BK=CG，于是BF=BK+KF=CG+DF.圖3方法四：如圖3所示，在BF上截取BK=CG，可得四邊形BCGK為平行四邊形，BC=GK=DC，BC∥KG，∠GKF=∠CBF=∠CDF，根據(jù)四邊形BCFD為圓的內(nèi)接四邊形，可證得∠BFC=45°，∠DFC=∠KFG，于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個共頂點(diǎn)的等腰Rt△BDC和△KDF。【類型】二、補(bǔ)短“補(bǔ)短”指的是選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破，根據(jù)輔助線作法的不同也涉及四種不同的方法。方法五：如圖4所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.圖4方法六：如圖4所示，延長GC至N，使NG=BF，得四邊形BFGN為平行四邊形，所以BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，得∠DCF=∠CBN，