第第頁第05講空間向量及其應用(精練）A夯實基礎一、單選題1．（2022·河南省實驗中學高二階段練習）設向量不共面，則下列可作為空間的一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于A，設，則，即，該方程組無解，故A符合題意；對于B，設，則，即，解得，故B不符合題意；對于C，設，則，即，解得，故C不符合題意；對于D，設，則，即，解得，故D不符合題意；故選：A.2．（2022·吉林·長春外國語學校高二階段練習）若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（

）A． B． C． D．與斜交【答案】A【詳解】由題意得：，則，.故選：A3．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知向量，，且與互相平行，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，則，解得，故選：D4．（2022·河北保定·高二階段練習）如圖，在正三棱柱中，，E是的中點，F(xiàn)是的中點，若點G在直線上，且平面AEF，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖：以C為原點，CB，所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系，則．由題可設，則．設平面AEF的法向量，則，令，則，得．由，得，則，，即．故選：A5．（2022·四川·棠湖中學高二階段練習（理））如圖，是正三角形所在平面外一點，，分別是和的中點，，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設，如圖建立空間直角坐標系，則相關各點坐標為，，，，又，分別是和的中點，則，．所以，，所以，，因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：B.6．（2022·河南·鄢陵一中高二期中（理））如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知是邊的中點，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】以為坐標原點，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以.取平面的一個法向量為，則，即與平面所成角的正弦值為.故選：A.7．（2022·湖北·襄陽市襄州區(qū)第一高級中學高二階段練習）已知平面的一個法向量為，點在平面內，若點到平面的距離，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】由題意，所以，即，解得或．故選：C8．（2022·河南·高二階段練習）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為半正多面體的棱長為，故正方體的棱長為所以，.設，則.所以.令，則，因為，所以.故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.故選：C二、多選題9．（2022·全國·高二課時練習）已知空間向量，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．，【答案】AB【詳解】向量，，，則A正確，，則B正確，，則C錯誤，，則D錯誤.故選：AB10．（2022·遼寧營口·高二開學考試）已知向量，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】解：因為，，所以，所以，故A錯誤；因為，，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，，所以，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題11．（2022·全國·高二課時練習）若向量，，其中，則的最小值為______．【答案】2【詳解】因為,故當時，模長最小為2.故答案為：212．（2022·全國·高二專題練習）已知為平面的一個法向量，為直線的方向向量.若，則__________.【答案】##【詳解】由于，所以.故答案為：四、解答題13．（2022·河南省葉縣高級中學高二階段練習）已知向量，．(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值．【答案】(1)；(2).（1）∵，，∴，，∴；（2）設與的夾角為，則，，，，，∴，∴向量與夾角的余弦值為．14．（2022·湖北孝感·高二階段練習）如圖，已知是邊長為的正三角形，，，分別是，，邊的中點，將沿折起，使點到達如圖所示的點的位置，為邊的中點．(1)證明：平面．(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：連接，，設與交于點，連接．因為，，分別是，，邊的中點，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以為的中點，因為為的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面．（2）取的中點，連接，，則，因為平面平面，平面平面，所以平面，，，兩兩垂直．如圖所示，以為原點，以的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的法向量為，則，即令，得．易知為平面的一個法向量，由，得平面與平面夾角的余弦值為．B能力提升15．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學高二階段練習）如圖，線段PC、BC、DC兩兩垂直，AD∥BC，CB＝CD＝CP＝3AD＝3．點F為PA的中點，點E在CD上，且CE＝1．(1)求證：BE⊥CF；(2)求平面ADP與平面BPC夾角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析；(2)（1）以為坐標原點，分別以為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，由題意得：，則，所以，所以BE⊥CF；（2）平面的法向量為，設平面ADP的法向量為，則，解得：，不妨令，則，所以，則，設平面ADP與平面BPC夾角為，所以16．（2022·云南大理·模擬預測）如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，，D為的中點，點E在棱上，且，點P為線段上的動點．(1)求證：；(2)若直線與所成角的余弦值為，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．（1）在矩形中，，D為的中點，所以，所以，因為是正三角形，D為的中點，所以，又因為是正三棱柱，所以平面，而平面，所以