第第頁專題8.1直線與圓綜合【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線方程、傾斜角與斜率的求解】 3【題型2直線的平行與垂直問題】 5【題型3圓的方程的求解】 7【題型4圓的切線長與切線方程問題】 8【題型5圓的弦長與中點弦問題】 11【題型6直線與圓有關(guān)的最值問題】 13【題型7兩圓的公共弦問題】 16【題型8兩圓的公切線長、公切線方程或條數(shù)問題】 181、直線與圓綜合直線與圓是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，直線的方程、點到直線的距離公式、圓的方程等多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；直線與圓結(jié)合命題時，主要考察直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長等，多以選擇題或填空題的形式考查；有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，此時多與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，需要學(xué)會靈活求解.【知識點1平行和垂直的直線的設(shè)法】1.平行的直線的設(shè)法平行：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0.2.垂直的直線的設(shè)法垂直：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+m=0.【知識點2距離公式】1．兩點間的距離公式平面內(nèi)兩點間的距離公式為.

特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.2．點到直線的距離公式(1)定義：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質(zhì)上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.

(2)公式：已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.【知識點3直線與圓相交時的弦長求法】1.圓的弦長的求法：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標(biāo)無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.【知識點4圓的切線及切線方程問題】1.自一點引圓的切線的條數(shù)：

(1)若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

(2)若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

(3)若點在圓內(nèi)，則過此點不能作圓的切線.

2.求過圓上的一點的圓的切線方程：

(1)求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.(2)重要結(jié)論：①經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

②經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

③經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為.【知識點5兩圓的公切線問題】1.兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

2.兩圓的公切線位置的5種情況①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時，無公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù)，實質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系.

3.求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.【題型1直線方程、傾斜角與斜率的求解】【例1】（2023·安徽合肥·三模）已知直線l的一個方向向量為p=sinπ3,cosπ3，則直線l的傾斜角為（

）A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】由方向向量的坐標(biāo)得出直線的斜率，再求傾斜角即可.【解答過程】由題意可得：直線l的斜率k=cosπ3sinπ故選：A.

【變式1-1】（2023·山西太原·模擬預(yù)測）已知點A(2,3)，B(?3,?2)與直線l:kx?y?k+1=0，且直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A．k≥2或k≤34 B．k≥34或k≤?14【解題思路】直線l經(jīng)過定點M(1,1)，求得MA、MB的斜率，再數(shù)形結(jié)合可得直線l的斜率k的取值范圍.【解答過程】解：已知點A(2,3)，B(?3,?2)與直線l:kx?y?k+1=0，且直線l與線段AB相交，直線l:kx?y?k+1=0，即直線l:k(x?1)?y+1=0，它經(jīng)過定點M(1,1)，MA的斜率為3?12?1=2，MB的斜率為則直線l的斜率k的取值范圍為k≥2或k≤3故選：A.【變式1-2】（2023·廣東珠?！つM預(yù)測）過點P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（

A．x?2y+5=0 B．x+2y?3=0C．2x?y+4=0 D．2x+y=0【解題思路】求出所求直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【解答過程】直線x+2y+3=0的斜率為?12，故所求直線的斜率為所以，過點P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是y?2=2即2x?y+4=0.故選：C.【變式1-3】（2023·吉林·模擬預(yù)測）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，則ABA．2x+y?7=0 B．2x?y?1=0C．x+2y?8=0 D．x?2y+4=0【解題思路】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，求出直線l的斜率，代入點斜式方程，整理即可得出答案.【解答過程】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，由已知可得，kAB=1?21?3=又l過C2,3，所以l的方程為y?3=?2整理可得，2x+y?7=0.故選：A.【題型2直線的平行與垂直問題】【例2】（2023·安徽蚌埠·三模）已知直線l?1：ax+2y+1=0，l?2：3?ax?y+a=0，則條件“a=1A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件【解題思路】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)，可得3?a×?a【解答過程】若l1⊥l解得a=1或a=2.故a=1是l1故選：B.【變式2-1】（2023·上海松江·二模）已知直線l1:ax+y+1=0與直線l2:x+ay?2=0，則“l(fā)1A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【解題思路】由l1//l【解答過程】由題意，直線l1:ax+y+1=0，直線因為l1//l2，可得a×a=1×1,a≠?2，即所以“l(fā)1//l故選：B.【變式2-2】（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）直線l1:x+1+ay=1?aa∈RA．?a∈R，使得l1∥l2C．?a∈R，l1與l2都相交 D．?a∈【解題思路】對A，要使l1∥l2，則對B，要使l1⊥l2，對C，當(dāng)a=1時，l1與l對D，根據(jù)點到直線距離列方程即可判斷.【解答過程】對A，要使l1∥l2，則k1∥k2，所以對B，要使l1⊥l2，k1對C，l1:x+1+ay=1?a過定點2,?1，該定點在l2上，但是當(dāng)a=1對D，d=Ax0+By0+C故選：B.【變式2-3】（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）直線l1:x+1+a①?a∈R，使得l1//l2；

③?a∈R，l1與l2都相交；

④?a∈R，使得原點到其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【解題思路】利用兩直線平行可得出關(guān)于a的等式與不等式，解之可判斷①；利用兩直線垂直可求得實數(shù)a的值，可判斷②；取a=1可判斷③；利用點到直線的距離公式可判斷④.【解答過程】對于①，若l1//l對于②，若l1⊥l2，則對于③，當(dāng)a=1時，直線l1的方程為x+2y=0，即y=?12x，此時，對于④，直線l1的方程為x+若?a∈R，使得原點到l1的距離為2，則a?11+a+1Δ=100?4×3×7>0，方程3故選：C.【題型3圓的方程的求解】【例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=x2?5x+4的圖像與坐標(biāo)軸交于點A，B，C，則過A，B，C三點的圓的方程為【解題思路】用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【解答過程】函數(shù)f(x)=x2?5x+4的圖像與坐標(biāo)軸的交點分別為A(1,0)，B(4,0)則線段AC的垂直平分線為y?2=14x?12所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標(biāo)為52,5所以所求圓的方程為x?5故答案為：x?5【變式3-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知圓C上的點A2,0關(guān)于直線x+3y?6=0的對稱點仍然在這個圓上，且圓C的圓心在x軸上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x?6)2【解題思路】由題意可知直線x+3y?6=0過圓心，進而求圓心和半徑，即可得圓的方程.【解答過程】由題意可知直線x+3y?6=0過圓心，且直線x+3y?6=0與x軸的交點為(6,0)，則C(6,0)，可得r=CA=4，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是故答案為：(x?6)2【變式3-2】（2023·廣東揭陽·模擬預(yù)測）寫出一個經(jīng)過原點，截y軸所得弦長是截x軸所得弦長2倍的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+(y?2)【解題思路】設(shè)出圓截x軸所得弦的端點坐標(biāo)，求出圓心坐標(biāo)，再求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作答.【解答過程】顯然圓截x軸、y軸所得弦的一個端點為O(0,0)，設(shè)圓截x軸所得弦的另一端點為A(a,0),a≠0，則該圓截y軸所得弦的另一端點為B(0,2a)或B(0,?2a)，因此該圓的圓心C(a2,a)或C(所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a2)取a=2，得圓的一個標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2故答案為：(x?1)2【變式3-3】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線y=x2+2x?3的頂點為P，與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點，則過四點A,B,C,P中的三點的一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【解題思路】由拋物下方程求得P、A、B、C四點坐標(biāo)，任取三點代入圓的一般方程計算并化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【解答過程】令y=0，則x2解得x1=1,x令x=0，得y=?3，則C0,?3；拋物線的頂點設(shè)所求圓的方程為x2當(dāng)圓過A,B,C三點時，1+D+F=09?3D+F=0所以圓的方程為x2當(dāng)圓過B,C,P三點時，17?D?4E+F=09?3D+F=0所以圓的方程為x2當(dāng)圓過A,B,P三點時，1+D+F=09?3D+F=0所以圓的程為x2當(dāng)圓過A,C,P三點時，1+D+F=017?D?4E+F=0當(dāng)圓過A,C,P三點方程為x2故答案為：(x+1)2+【題型4圓的切線長與切線方程問題】【例4】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知圓O:x2+y2=4和點A4,4，由圓外一點P向圓O引切線，切點分別為MA．724 B．722 C．【解題思路】設(shè)Px,y，利用OP2=OM2【解答過程】設(shè)Px,y，連接OM，則OM⊥PM，可得OM所以O(shè)P2即4+x?42+所以O(shè)P=當(dāng)x=94時，故選：C.【變式4-1】（2023·北京通州·三模）過直線y=x上的一點P作圓x?52+y?12=2的兩條切線l1，l2，切點分別為A,B，當(dāng)直線l1，A．4 B．22 C．6 【解題思路】根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點P的連線垂直于直線y=x，利用這一關(guān)系即可得到切線的長.【解答過程】如圖所示，圓心為C(5,1)，連接CP，

因為直線l1，l2關(guān)于y=x對稱，所以CP垂直于直線故CP=5?12所以PA=故選：C.【變式4-2】（22-23高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知圓O:x2+y2=4,Mx0,y0為圓O上位于第一象限的一點，過點MA．x+y?22=0 C．x+y?42=0 【解題思路】利用過圓上點的切線的性質(zhì)可得OM⊥l，利用點Mx0,【解答過程】由題意，點M在第一象限，故過點M的的切線l斜率存在；點Mx0,y∵故直線l的方程為：y?令x=0,y=4x當(dāng)l的橫縱截距相等時，4又x解得：x即2x+2故選：A.【變式4-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點P在圓C:x?a2+y2=a2a>0．上，點A0,2，若PAA．x=0或7x+24y?48=0 B．x=0或7x?24y?48=0C．x=1或24x?7y?48=0 D．x=1或24x+7y?48=0【解題思路】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)PA的最小值為1，得到方程求出a的值，即可求出圓的方程，再分斜率存在與不存在兩種情況，分別求出切線方程，即可得解.【解答過程】由圓C方程可得圓心為Ca,0，半徑r=a，因為PA的最小值為1，所以a解得a=32，故圓若過點A0,2設(shè)切線方程為y=kx+2，則32k?0+21+所以切線方程為y=?724x+2若過點A0,2的切線斜率不存在，由圓C方程可得，圓C過坐標(biāo)原點0,0，所以切線方程為x=0綜上，過點A且與圓C相切的直線方程為x=0或7x+24y?48=0．故選：A.【題型5圓的弦長與中點弦問題】【例5】（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）直線l:y=kx?2與圓C:x2+y2?6x?7=0交于A，A．7,4 B．27,8 C．3【解題思路】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，即可求出AB的取值范圍.【解答過程】由題易知直線l:y=kx?2恒過M0,?2圓C:x2+即圓心為C3,0，半徑r=4圓心到M0,?2距離CM所以M0,?2在圓C則直線l與圓C交點弦AB最大值為直徑即8，AB最小時即為圓心到直線距離最大，即CM⊥l時，此時AB=2所以AB的取值范圍為23故選：D.【變式5-1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知直線l:y=3x與圓C:x2+y2?4y=0相交于A．105 B．65 C．2【解題思路】求出圓心和半徑，由垂徑定理得到|AB|，從而求出△ABC的面積.【解答過程】圓C的方程為x2+(y?2)2=4點C到線段AB的距離為d=|3×0?2|故|AB|=2r∴△ABC的面積S=1故選：B.【變式5-2】（2023·陜西·一模）已知圓C：x2+y2?4x+8y=0關(guān)于直線3x?2ay?22=0對稱，則圓CA．25 B．5 C．10 D．【解題思路】圓C：x2+y2?4x+8y=0關(guān)于直線3x?2ay?22=0【解答過程】圓方程配方得x?22+y+42=20∵圓C：x2+y∴可知直線過圓心C2,?4，即3×2+8a?22=0，解得a=2故a2則圓心與點1,?1的距離的平方為10，則圓C中以1,?1為中點的弦長為22故選：D.【變式5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知過點P1,2的兩條直線分別與圓E：x2+y2?4x?6y+12=0交于點A，B和點C，D，且A，C在B，D的右側(cè)，A．835 B．435 C．【解題思路】解法一：作輔助線，求出圓心到弦的距離及PC，PD，根據(jù)三角形相似得到FC及GD，即可得結(jié)果；解法二：根據(jù)等腰梯形中位線定理得到AC+BD=2MN，求【解答過程】解法一：由題意可知：圓E：x?22+y?3連接PE，則PE=2，取CD的中點設(shè)直線PE分別與AC，BD交于點F，G，連接EN，因為AB=CD，可知直線PA,PC關(guān)于直線結(jié)合圓的對稱性可得：EN⊥PC，PF⊥AC，GP⊥BD，可得EN=1?5所以PC=30+又因為△PCF∽△PDG，則PCPE=FC可得FC=23所以AC+解法二：由題意可得：圓E：x?22+y?3連接PE，則PE=設(shè)AB，CD的中點分別為M，N，連接MN，因為AB=CD，可知直線PA,PC關(guān)于直線結(jié)合圓的對稱性可得：AC∥BD，則AC+連接EN，則EN⊥PC，所以EN=1?5則sin∠PEN=PNPE所以AC+故選：A.

【題型6直線與圓有關(guān)的最值問題】【例6】（23-24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知點P是直線l:3x+4y?2=0上的一個動點，過點P作圓C:(x+2)2+(y+3)2=12的兩條切線PM,PN，其中A．120° B．90° C．60° D．150°【解題思路】根據(jù)直角三角形邊與角的關(guān)系分析得到，當(dāng)PC最小時，∠MPN最大，再根據(jù)當(dāng)PC⊥l時，PC最小即可求解.【解答過程】要使得∠MPN最大，則PC最小，PC的最小值即為圓心C到直線的距離．由題意知，PM=PN，sin∠CPM=CMPC所以∠MPN最大時，PC最小．由題意知，|PC|所以sin∠CPM=23即∠MPN的最大值為2×60故選：A．【變式6-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點A是直線l:2x+y+4=0上任意一點，過點A作圓C:(x?2)2+(y?1)2=1的兩條切線，切點坐標(biāo)分別為M，A．2199 B．4199 C．【解題思路】由S四邊形AMCN=2S△AMC，S四邊形AMCN=S△AMN+【解答過程】易知當(dāng)|MN|最小時，MN不經(jīng)過點C，此時S四邊形S四邊形由①②可得|AM|=12×|AC|×|MN|所以當(dāng)|AC|最小時，MN最小，又因為點A是直線l:2x+y+4=0上任意一點，所以當(dāng)AC⊥l時，|AC|取得最小值，且|AC|所以|MN|故選：B．【變式6-2】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知直線l:x+y?3=0上的兩點A,B，且AB=1，點P為圓D:x2+yA．2+1 B．22+2 C．2【解題思路】找到圓上的點到直線距離的最大值作為△PAB的高，再由面積公式求解即可.【解答過程】把圓D:x2+則圓心D?1,0，半徑r=2圓心D到直線l:x+y?3=0的距離d=1+3則圓D上的點到直線AB的距離的最大值為d+r=22+2，又∴△PAB的面積的最大值為12故選：A．【變式6-3】（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知EF是圓C:x2+y2?2x?4y+3=0的一條弦，且CE⊥CF，P是EF的中點，當(dāng)弦EF在圓C上運動時，直線l:x?y?3=0上存在兩點A，B，使得A．42?2 C．22?1 【解題思路】根據(jù)已知條件先確定出點P的軌跡方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為“以AB為直徑的圓要包括圓(x?1)2+(y?2)2=1”，由此利用圓心C1,2到直線【解答過程】由題可知：⊙C:(x?1)2+(y?2)2又CE⊥CF，P是EF的中點，所以CP=1所以點P的軌跡方程(x?1)2+(y?2)2=1若直線l:x?y?3=0上存在兩點A,B，使得∠APB≥π則以AB為直徑的圓要包括圓(x?1)2點C1,2到直線l的距離為d=所以AB長度的最小值為2d+1故選：B．【題型7兩圓的公共弦問題】【例7】（2023·河南·二模）若圓C1:x2+y2=1與圓A．2ax+by?1=0 B．2ax+by?3=0C．2ax+2by?1=0 D．2ax+2by?3=0【解題思路】將兩圓方程相減得到直線AB的方程為a2+b2?2ax?2by=0【解答過程】將兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2即2ax+2by?a因為圓C1的圓心為(0,0)，半徑為1，且公共弦AB的長為1則C1(0,0)到直線2ax+2by?a所以a2+b所以直線AB的方程為2ax+2by?3=0，故選：D.【變式7-1】（2023·山西·模擬預(yù)測）已知圓C1:x2+(y?2)2=5和C2A．3 B．23 C．23 D．【解題思路】先求得相交弦所在直線方程，然后根據(jù)圓的弦長的求法求得AB.【解答過程】將x2+(y?2)2=5點(0,2)到直線x+y=0的距離d=2所以|AB|=25?2故選：B.【變式7-2】（2023·安徽滁州·模擬預(yù)測）已知圓O1:x2+y2=1與圓O2A．1 B．3 C．5或1 D．5【解題思路】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，后由垂徑定理結(jié)合圓O2【解答過程】x2+y2=1圓O2方程可化為O2:x?12+y+12=2?F，可得圓心O21,?1，半弦長為22，則有3?F222+222故選：D.

【變式7-3】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）圓O1:x2+y2?2x=0和圓A．公共弦AB所在直線的方程為x?y=0B．公共弦AB所在直線的方程為x+y?1=0C．公共弦AB的長為2D．P為圓O1上一動點，則P到直線AB距離的最大值不是【解題思路】AB選項，兩圓方程相減得到公共弦AB所在直線的方程；C選項，求出圓心O11,0到x?y=0的距離，進而由垂徑定理求出公共弦AB的長；D選項，P到直線AB距離的最大值為圓心O1到AB【解答過程】AB選項，兩圓方程相減得到4x?4y=0，即x?y=0，故公共弦AB所在直線的方程為x?y=0，A正確，B錯誤；C選項，O1:x則圓心O11,0到x?y=0的距離為故有垂徑定理得公共弦AB的長為21D選項，P為圓O1則P到直線AB距離的最大值為圓心O1到AB距離加上圓O即22故選：A.【題型8兩圓的公切線長、公切線方程或條數(shù)問題】【例8】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知直線l:xcosα+ysinα=10≤α≤2π與圓A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據(jù)點到直線的距離公式和兩圓位置關(guān)系即可求解.【解答過程】由已知直線l:xcos則原點到直線l的距離為1sin由直線l與圓C:x?2則滿足條件的直線l即為圓x2+y因為圓x2+y所以這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，所以滿足條件的直線l有3條．故選:B．【變式8-1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）下列直線中，不是圓x2+y2=1A．y=?34x+C．y=512x?【解題思路】根據(jù)斜率存在與不存在兩種情況討論，斜率存在時設(shè)y=kx+m，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程求解.【解答過程】當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)為x=m，若直線是圓x2+y則滿足m?0=1m?3所以直線x=?1是圓x當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+m若直線是圓x2+y則滿足mk2+1=1即3k?42?2m所以k=724m=?2524或綜上：切線方程有y=724x?25故選：C.【變式8-2】（2023·山西·模擬預(yù)測）已知圓C1：x2+y?a2=a2a>0的圓心到直線x?y?2=0的距離為2A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【解題思路】先根據(jù)題意求得a=2，從而得到兩圓的圓心和半徑，進而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內(nèi)切，即可知道公切線只有1條.【解答過程】圓C1：x2+y?a2所以圓心到直線x?y?2=0的距離為d=0?a?212+1因為a>0，所以a=2.所以圓C1：x2+y?22圓C2：x2+圓心坐標(biāo)為C21,2，半徑圓心距d=0?1所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．【變式8-3】（2023·廣西北?！ひ荒＃┮阎獔AC1：x?32+y+42=1與C2A．?∞,0∪C．0,4 D．?【解題思路】根據(jù)兩圓有4條公切線，得到兩圓外離，然后根據(jù)外離列不等式，解不等式即可得a的取值范圍.【解答過程】因為圓C1：x?32+y+42=1與C2：x?a2+y?a+32=9恰好有4條公切線，所以圓C1故選：D.1．（2023·全國·高考真題）已知實數(shù)x,y滿足x2+y2?4x?2y?4=0A．1+322 B．4 C．【解題思路】法一：令x?y=k，利用判別式法即可；法二：通過整理得x?22+y?1【解答過程】法一：令x?y=k，則x=k+y，代入原式化簡得2y因為存在實數(shù)y，則Δ≥0，即2k?6化簡得k2?2k?17≤0，解得故x?y的最大值是32法二：x2+y令x=3cosθ+2，y=3sin則x?y=3cos∵θ∈0,2π，所以θ+π4∈π4,9π法三：由x2+y設(shè)x?y=k，則圓心到直線x?y=k的距離d=|2?1?k|解得1?3故選：C.2．（2023·全國·高考真題）過點0,?2與圓x2+y2?4x?1=0相切的兩條直線的夾角為αA．1 B．154 C．104 【解題思路】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得k2【解答過程】方法一：因為x2+y2?4x?1=0，即x?2過點P0,?2作圓C的切線，切點為A,B因為PC=22可得sin∠APC=則sin∠APB=cos∠APB=即∠APB為鈍角，所以sinα=法二：圓x2+y2?4x?1=0過點P0,?2作圓C的切線，切點為A,B，連接AB可得PC=22因為PA且∠ACB=π?∠APB，則即3?cos∠APB=5+5cos即∠APB為鈍角，則cosα=且α為銳角，所以sinα=方法三：圓x2+y2?4x?1=0若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離d=2>r，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=kx?2，即kx?y?2=0，則2k?2k2+1=設(shè)兩切線斜率分別為k1,k可得k1所以tanα=k1?k則sin2且α∈0,π，則sinα>0故選：B.

3．（2022·北京·高考真題）若直線2x+y?1=0是圓(x?a)2+y2=1A．12 B．?12 C．1【解題思路】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【解答過程】由題可知圓心為a,0，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即2a+0?1=0，解得a=1故選：A．4．（2021·全國·高考真題）已知點P在圓x?52+y?52=16上，點AA．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)∠PBA最小時，PBD．當(dāng)∠PBA最大時，PB【解題思路】計算出圓心到直線AB的距離，可得出點P到直線AB的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當(dāng)∠PBA最大或最小時，PB與圓M相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【解答過程】圓x?52+y?52=16直線AB的方程為x4+y圓心M到直線AB的距離為5+2×5?41所以，點P到直線AB的距離的最小值為1155?4<2如下圖所示：當(dāng)∠PBA最大或最小時，PB與圓M相切，連接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=0?52+2?5故選：ACD.5．（2023·全國·高考真題）已知直線l:x?my+1=0與⊙C:x?12+y2=4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值【解題思路】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長AB，以及點C到直線AB的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【解答過程】設(shè)點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得AB=2所以S△ABC=12×d×2由d=1+11+m2=21+m2故答案為：2（2,?2,16．（2022·天津·高考真題）若直線x?y+m=0m>0與圓x?12+y?12=3相交所得的弦長為m【解題思路】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于m的等式，即可解得m的值.【解答過程】圓x?12+y?12=3圓心到直線x?y+m=0m>0的距離為1?1+m由勾股定理可得m22+m2故答案為：2.7．（2022·全國·高考真題）設(shè)點A(?2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點，則a【解題思路】首先求出點A關(guān)于y=a對稱點A′的坐標(biāo)，即可得到直線l【解答過程】解：A?2,3關(guān)于y=a對稱的點的坐標(biāo)為A′?2,2a?3，B所以A′B所在直線即為直線l，所以直線l為y=a?3圓C:x+32+y+22依題意圓心到直線l的距離d=?3即5?5a2≤a?32+故答案為：138．（2022·全國·高考真題）設(shè)點M在直線2x+y?1=0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為(x?1)2+【解題思路】設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【解答過程】[方法一]：三點共圓∵點M在直線2x+y?1=0上，∴設(shè)點M為(a,1?2a)，又因為點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴(a?3)2a2?6a+9+4a∴M(1,?1)，R=5⊙M的方程為(x?1)2故答案為：(x?1)[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）