/第二章靜電場1.一個半徑為R的電介質(zhì)球，極化強度為，電容率為。（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計算自由電荷體密度；（3）計算球外和球內(nèi)的電勢；（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量。解：（1）（2）（3）（4）2.在均勻外電場中置入半徑為的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢：（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差；（2）導(dǎo)體球上帶總電荷解：（1）該問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場方向的軸線，取該軸線為極軸，球心為原點建立球坐標系。當(dāng)時，電勢滿足拉普拉斯方程，通解為因為無窮遠處，所以，，當(dāng)時，所以即：所以（2）設(shè)球體待定電勢為，同理可得當(dāng)時，由題意，金屬球帶電量所以3.均勻介質(zhì)球的中心置一點電荷，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點的電勢是點電荷的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。解：（一）分離變量法空間各點的電勢是點電荷的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加。設(shè)極化電荷產(chǎn)生的電勢為，它滿足拉普拉斯方程。在球坐標系中解的形式為：當(dāng)時，，。當(dāng)時，為有限，。所以，由于球?qū)ΨQ性，電勢只與R有關(guān)，所以，所以空間各點電勢可寫成當(dāng)時，由得：由得：，則所以（二）應(yīng)用高斯定理在球外，R>R0，由高斯定理得：，（整個導(dǎo)體球的束縛電荷），所以，積分后得：在球內(nèi)，R<R0，由介質(zhì)中的高斯定理得：，所以，積分后得：結(jié)果相同。4.均勻介質(zhì)球（電容率為）的中心置一自由電偶極子，球外充滿了另一種介質(zhì)（電容率為），求空間各點的電勢和極化電荷分布。解：以球心為原點，的方向為極軸方向建立球坐標系?？臻g各點的電勢可分為三種電荷的貢獻，即球心處自由電偶極子、極化電偶極子及球面上的極化面電荷三部分的貢獻，其中電偶極子產(chǎn)生的總電勢為。所以球內(nèi)電勢可寫成：；球外電勢可寫成：其中和為球面的極化面電荷激發(fā)的電勢，滿足拉普拉斯方程。由于對稱性，和均與無關(guān)?？紤]到時為有限值；時，故拉普拉斯方程的解為：由此（1）（2）邊界條件為：（3）（4）將（1）（2）代入（3）和（4），然后比較的系數(shù)，可得：于是得到所求的解為：在均勻介質(zhì)內(nèi)部，只在自由電荷不為零的地方，極化電荷才不為零，所以在球體內(nèi)部，只有球心處存在極化電荷。所以在兩介質(zhì)交界面上，極化電荷面密度為由于，所以5.空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為和，球中心置一偶極子球殼上帶電，求空間各點的電勢和電荷分布。解：以球心為原點，以的方向為極軸方向建立球坐標系。在及兩均勻區(qū)域，電勢滿足拉普拉斯方程。通解形式均為當(dāng)時，電勢趨于零，所以時,電勢可寫為(1)當(dāng)時，電勢應(yīng)趨于偶極子激發(fā)的電勢：所以時，電勢可寫為(2)設(shè)球殼的電勢為,則(3)(4)由(3)得：；由(4)得：；；所以(5)(6)再由得：(7)將(7)代入(5)(6)得：在處，電荷分布為：在處，電荷分布為：6.在均勻外電場中置入一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球（電容率為），求空間各點的電勢。解：以球心為原點，以的方向為極軸方向建立球坐標系。將空間各點的電勢看作由兩部分迭加而成，一部分為絕緣介質(zhì)球內(nèi)的均勻自由電荷產(chǎn)生，另一部分為外電場及感應(yīng)的極化電荷產(chǎn)生。前者可用高斯定理求得，后者滿足拉普拉斯方程。由于對稱性，的形式為對于，當(dāng)時，由高斯定理得：，當(dāng)時，由高斯定理得：，的球外部分：（1）的球內(nèi)部分：（2）對于，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，為有限，所以邊界條件為：時，，。即：比較的系數(shù)，解得：所以(3)(4)由(1)(2)(3)(4)得:7.在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為的液體，使其中流著均勻的電流Jf0。今在液體中置入一個電導(dǎo)率為的小球，求穩(wěn)恒時電流分布和面電荷分布，討論及兩種情況的電流分布的特點。解：本題雖然不是靜電問題，但當(dāng)電流達到穩(wěn)定后，由于電流密度Jf0與電場強度E0成正比（比例系數(shù)為電導(dǎo)率），所以E0也是穩(wěn)定的。這種電場也是無旋場，其電勢也滿足拉普拉斯方程，因而可以用靜電場的方法求解。(1)未放入小球時，電流密度Jf0是均勻的，由Jf0可知，穩(wěn)恒電場E0也是一個均勻場。因此在未放入小球時電解液中的電勢便是均勻電場E0的電勢。放入小球后，以球心為原點，E0的方向為極軸方向，建立球坐標系。為方便起見，以坐標原點為電勢零點。在穩(wěn)恒電流條件下，，所以：(1)由(1)式可推出穩(wěn)恒電流條件下的邊界條件為:(2)設(shè)小球內(nèi)的電勢為，電解液中的電勢為，則在交界面上有：(3)(4)將及代入(1)，得：可見滿足拉普拉斯方程考慮到對稱性及時，球外電勢的解可寫成：(5)其中利用了?？紤]到時電勢為有限值，球內(nèi)電勢的解可寫成：(6)因為選處為電勢零點，所以，將(5)(6)代入(3)(4)得：(7)(8)由(7)(8)兩式可得:,所以：()()由此可得球內(nèi)電流密度:電解液中的電流密度為:(2)兩導(dǎo)體交界面上自由電荷面密度(3)當(dāng)，即球的電導(dǎo)率比周圍電解液的電導(dǎo)率大的多時，，所以，當(dāng)時，同理可得：8.半徑為的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離球心為a處（a>）置一點電荷，試用分離變量法求空間各點電勢，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。解：以球心為原點，以球心到點電荷的連線為極軸建立球坐標系。將空間各點電勢看作由兩部分迭加而成。一是介質(zhì)中點電荷產(chǎn)生的電勢，二是球面上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生的。后者在球內(nèi)和球外分別滿足拉普拉斯方程?？紤]到對稱性，與無關(guān)。由于時，為有限值，所以球內(nèi)的解的形式可以寫成（1）由于時，應(yīng)趨于零，所以球外的解的形式可以寫成（2）由于（3）當(dāng)時，（4）當(dāng)時，（5）因為導(dǎo)體球接地，所以（6）（7）將（6）代入（4）得:（8）將（7）代入（5）并利用（8）式得:（9）將（8）（9）分別代入（4）（5）得:（10）,（11）用鏡像法求解：設(shè)在球內(nèi)r0處的像電荷為Q’。由對稱性，Q’在球心與Qf的連線上，根據(jù)邊界條件：球面上電勢為0，可得：（解略），所以空間的電勢為9.接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為和，在球內(nèi)離球心為a處(a<)置一點電荷。用鏡像法求電勢。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？解：假設(shè)可以用球外一個假想電荷代替球內(nèi)表面上感應(yīng)電荷對空間電場的作用，空心導(dǎo)體球接地，球外表面電量為零，由對稱性，應(yīng)在球心與的連線上?？紤]球內(nèi)表面上任一點P，邊界條件要求：(1)式R為Q到P的距離，R’為到P的距離，因此，對球面上任一點，應(yīng)有常數(shù)(2)只要選擇的位置，使，則常數(shù)(3)設(shè)距球心為b，則，即(4)由（2）（3）兩式得:導(dǎo)體內(nèi)電場為零，由高斯定理可知球面上的感應(yīng)電荷為，分布于內(nèi)表面。由于外表面沒有電荷，且電勢為零，所以從球表面到無窮遠沒有電場，。10.上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷，或使具有確定電勢，試求這兩種情況的電勢。又問與是何種關(guān)系時，兩情況的解是相等的？解：由上題可知，導(dǎo)體球殼不接地時，球內(nèi)電荷和球的內(nèi)表面感應(yīng)電荷的總效果是使球殼電勢為零。為使球殼總電量為，只需滿足球外表面電量為+即可。因此，導(dǎo)體球不接地而使球帶總電荷時，可將空間電勢看作兩部分的迭加，一是與內(nèi)表面的產(chǎn)生的電勢，二是外表面+產(chǎn)生的電勢。，，；，；，，所以由以上過程可見，球面電勢為。若已知球面電勢，可設(shè)導(dǎo)體球總電量為，則有：，即：電勢的解為：當(dāng)和滿足時，兩種情況的解相同。11.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b（b>a），試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平板和一點電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。，；，；，，所以12.有一點電荷Q位于兩個互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為a和b，求空間電勢。解：用電像法，可以構(gòu)造如圖所示的三個象電荷來代替兩導(dǎo)體板的作用。13.設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為σ的液體。取該兩平面為xz面和yz面在和兩點分別置正負電極并通以電流I，求導(dǎo)電液體中的電勢。解：本題的物理模型是，由外加電源在A、B兩點間建立電場，使溶液中的載流子運動形成電流I，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，屬恒定場，即，。對于恒定的電流，可按靜電場的方式處理。于是在A點取包圍A的高斯面，則，由于，，所以可得：。同理，對B點有：又，在容器壁上,，即無電流穿過容器壁。由可知，當(dāng)時，。所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個像電荷Q，下半空間三個像電荷-Q，容器內(nèi)的電勢分布為：14.畫出函數(shù)的圖，說明是一個位于原點的偶極子的電荷密度。解：（1）1）時，2）時，a)對于，b)對于，圖象如右圖所示。其中第一項為：應(yīng)用，即，可得：(x=0)同理可得另外兩項分別為及，所以，,即p是一個位于原點的偶極子的電荷密度。15.證明：（1），（若，結(jié)果如何？）（2）證明：1)顯然，當(dāng)時，成立；又所以在全空間成立。若，即，所以在全空間成立。2)由的選擇性證明。，而，進而16.一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為，另外根據(jù)極化電荷公式及，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為，試證明以上兩表達式是等同的。證明：由第一種表達式得，所以，兩表達式是等同的。實際上，繼續(xù)推演有：剛好是極化體電荷的總電勢和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢之和。17.證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化。（1）在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的。（2）在面偶極層兩側(cè)，電勢有躍變，而電勢的法向微商是連續(xù)的。（各帶等量正負面電荷密度±σ而靠的很近的兩個面，形成面偶極層，而偶極矩密度）證明：1）如圖，由高斯定理可得：，，即，電勢是連續(xù)的，但是，φ1+σ即，電勢法向微商有躍變nEl2）如圖，由高斯定理可得：φ2－σ