在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的最大、最小、最遠(yuǎn)、最近、最好、最優(yōu)等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上?？梢詺w結(jié)為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值問題，這里統(tǒng)稱為最值問題.本節(jié)將介紹函數(shù)的極值問題與最值問題.在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的最大、最小、最遠(yuǎn)、1一、函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有

(1)成立，則稱為f(x)的極大值，稱為f(x)的極大值點(diǎn)；(2)成立，則稱為f(x)的極小值，稱為f(x)的極小值點(diǎn).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).一、函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如2定理4.9(極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且x0為f(x)的極值點(diǎn)，則由4.1引理可知定理4.9成立.注意：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn).但是需要注意，函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).例如為其駐點(diǎn)，但是x=0不是的極值點(diǎn).還要指出，有些函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是其極值點(diǎn)，例如圖中所示的函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)，但為其極小值.定理4.9(極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處3由上述可知，欲求函數(shù)的極值點(diǎn)，先要求出其駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，然后再用下面的充分條件判別:定理4.10(判定極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)x0可除外).如果在該鄰域內(nèi)如果f(x)在x0的兩側(cè)保持相同符號(hào)，則x0不是f(x)的極值點(diǎn).由上述可知，欲求函數(shù)的極值點(diǎn)，先要求出其駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)4因此可知x0為f(x)的極大值點(diǎn).對(duì)于情形(2)也可以進(jìn)行類似分析.分析對(duì)于情形(1)，由函數(shù)單調(diào)性的判別定理可知，當(dāng)時(shí)，f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，f(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，因此可知x0為f(x)的極大值點(diǎn).對(duì)于情形(2)也可以進(jìn)行類5(3)判定每個(gè)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)兩側(cè)(在xi較小的鄰域內(nèi))的符號(hào)，依定理4.10判定xi是否為f(x)的極值點(diǎn).由定理判定函數(shù)極值一般步驟為：(3)判定每個(gè)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)6令，得函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)：x1=–1，x2=2.內(nèi)存在，函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)x1=–1，x2=2把分成三個(gè)子區(qū)間.例1所給函數(shù)的定義域?yàn)?解x–1(–1,2)2+0–0+y極大值極小值–10令，得函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)：x1=–1，x7可知x=0為y的極小值點(diǎn)，極小值為0.例2所給的函數(shù)定義域?yàn)?解非極值極小0y+0+0–1(0,1)0x可知x=0為y的極小值點(diǎn)，極小值為0.例2所給的函數(shù)定義域?yàn)?例3所給的函數(shù)定義域?yàn)?解x–1(–1,0)0(0,1)1–0+不存在–0+y極小值極大值０極小值例3所給的函數(shù)定義域?yàn)?解x9定理4.11(判定極值的第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則證由于f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且，由佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式有定理4.11(判定極值的第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)10當(dāng)x充分接近于x0時(shí)，易見，上式右端的符號(hào)取決于.當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求，且駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，利用判定極值的第二充分條件判定駐點(diǎn)x0是否為極值點(diǎn)比較方便.當(dāng)x充分接近于x0時(shí)，易見，上式右端當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求，且駐點(diǎn)x11例4所給的函數(shù)定義域?yàn)?解例4所給的函數(shù)定義域?yàn)?解12山東省棗莊四中高三數(shù)學(xué)-函數(shù)的最值復(fù)習(xí)課件13上述求函數(shù)極值與極值點(diǎn)的方法可總結(jié)為:欲求連續(xù)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，需(1)求出f(x)的定義域.(4)如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)易求，可以利用判定極值第二充分條件判定其是否為極值點(diǎn).(2)求出.在f(x)的定義域內(nèi)求出f(x)的全部駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).(3)判定在上述點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，利用判定極值第一充分條件判定其是否為極值點(diǎn).上述求函數(shù)極值與極值點(diǎn)的方法可總結(jié)為:欲求連續(xù)函數(shù)f(x)的14二、函數(shù)的最大值與最小值由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可知，如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必定能取得最大值與最小值.如何求出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值是本段的基本問題.二、函數(shù)的最大值與最小值由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理15求[a,b]上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值的步驟：(1)求出f(x)的所有位于(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)(2)求出f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(3)比較導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的y值及f(a)和f(b).其中最大的值即為最大值，最小的值即為最小值，相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).求[a,b]上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值的步驟：(1)求出f(16由上述分析可以看出，最大值與最小值是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的整體性質(zhì)，而極大值與極小值是函數(shù)f(x)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部性質(zhì).由上述分析可以看出，最大值與最小值是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,17例5由于所給函數(shù)為[–1,2]上的連續(xù)函數(shù).解例5由于所給函數(shù)為[–1,2]上的連續(xù)函數(shù).解18可知f(x)在[0,3]上的最大值點(diǎn)為x=2，最大值為f(2)=1.例6所給函數(shù)為[0,3]上的連續(xù)函數(shù).解最小值點(diǎn)為x=0，最小值為可知f(x)在[0,3]上的最大值點(diǎn)為x=2，最大值為f(219由隱函數(shù)求導(dǎo)法則可以得出過M點(diǎn)的切線斜率例7任取上的點(diǎn)M(x,y)，且x>0，y>0.解因而過M(x,y)的切線方程為由隱函數(shù)求導(dǎo)法則可以得出過M點(diǎn)的切線斜率例7任取20可知切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為但是S最小當(dāng)且僅當(dāng)其分母最大.令X=0，得切線在y軸上的截距.令Y=0，得切線在x軸上的截距.可知切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為但是S最小當(dāng)且僅當(dāng)其21而且所求的駐點(diǎn)唯一，因此點(diǎn)為所求最小值點(diǎn)，最小面積為ab.由問題實(shí)際意義知，所圍三角形面積存在最小值，而且所求的駐點(diǎn)唯一，因此點(diǎn)22如果目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)，其駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際意義表明函數(shù)的最大(小)值存在(且不在定義區(qū)間的端點(diǎn)上達(dá)到)，那么所求駐點(diǎn)就是函數(shù)的最大(小)值點(diǎn).有必要指出，對(duì)于在實(shí)際的問題中求其最大(小)值，首先應(yīng)該建立目標(biāo)函數(shù).然后求出目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn).如果駐點(diǎn)有多個(gè)，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，只需比較這幾個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.如果目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)，其駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際意義表明23例8欲圍一個(gè)面積為150平方米的矩形場地，所用材料的造價(jià)其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.問場地的長、寬為多少米時(shí)，才能使所用材料費(fèi)最少？設(shè)所圍矩形場地正面長為xm，另一邊長