第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.1

導(dǎo)數(shù)的概念§3.2

導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)運算法則§3.3

鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§3.4§3.5§3.6

邊際與彈性1第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.1導(dǎo)數(shù)的概念§3.2導(dǎo)數(shù)基本公微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分引例1、變速直線運動的瞬時速度一、引例2微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分引例1、變速直線運動的瞬時速度一、引例精品資料3精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點的難點，你是否會認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學(xué)問無顏見爹娘……”“太陽當(dāng)空照，花兒對我笑，小鳥說早早早……”44（1）當(dāng)物體作勻速運動時（2）當(dāng)物體作變速運動時5（1）當(dāng)物體作勻速運動時（2）當(dāng)物體作變速運動時5引例2——平面曲線的切線斜率在點求曲線L：處切線的斜率.割線MN切線MT6引例2——平面曲線的切線斜率在點求曲線L：處切線的斜割線MN的斜率為：當(dāng)

x

0時

動點N將沿曲線趨向于定點M

從而割線MN也將隨之變動而趨向于切線MT

即割線

MN的極限位置就是曲線

L在點

M處的切線MT.當(dāng)時,切線MT

的斜率為：7割線MN的斜率為：當(dāng)x0時動點N將沿曲線趨向二、導(dǎo)數(shù)的定義8二、導(dǎo)數(shù)的定義8991010注意11注意11微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分12微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分12微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分13微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分13例3.

討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性.解所以,函數(shù)在處不可導(dǎo).xyo思考14例3.討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性.解所以,函數(shù)在處不可導(dǎo).xyo微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分事實上,因在處可導(dǎo),即定理所以,函數(shù)在處連續(xù).15微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分事實上,因在處可導(dǎo),即定理所以,函數(shù)問題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？結(jié)論函數(shù)在其可導(dǎo)的點處一定連續(xù)函數(shù)在其連續(xù)的點處不一定可導(dǎo)函數(shù)在其不連續(xù)的點處一定不可導(dǎo)16問題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？結(jié)論函數(shù)在其可導(dǎo)的點處一定連續(xù)函數(shù)在注意（1）曲線處是尖點

在點（2）曲線在點在點（3）曲線間斷

處有

垂直切線

處

17注意（1）曲線處是尖點在點（2）曲線在點在點（3）曲線間P89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作業(yè)先看書再做練習(xí)18P89:T8；作業(yè)先看書18

因為處函數(shù)無定義，所以該點處函數(shù)間斷

第二類無窮間斷點.

所以是函數(shù)的可去間斷點，作業(yè)講評P88.5(2)19因為處函數(shù)無定義，所以該點處函數(shù)間斷第二類無窮間斷點.P89.6.(5).解法1：

解法2：原式=20P89.6.(5).解法1：解法2：原式=20解法3：而解法4：21解法3：而解法4：21解法1：而

解法2：P89.6.22解法1：而解法2：P89.6.22

2323六、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限例4：

解24六、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限例4：解242525練一練解答26練一練解26注意分段函數(shù)分段點的導(dǎo)數(shù)必須用定義求例5：

設(shè)函數(shù)解因為27注意分段函數(shù)分段點的導(dǎo)數(shù)必須用定義求例5：設(shè)函數(shù)解因為27例6：

解28例6：解282929方法一：例7：解30方法一：例7：解303131方法二：32方法二：323333例10:解:34例10:解:34§3.2

求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運算法則一、求導(dǎo)基本公式例1.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解35§3.2求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運算法則一、求導(dǎo)基本公式例1.例2.

求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解36例2.求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解36例3.

設(shè)求解特別地:37例3.設(shè)求解特別地:37例4.

設(shè)求解正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).類似得,余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù).38例4.設(shè)求解正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).類似得,余弦函數(shù)的二、四則運算求導(dǎo)法則39二、四則運算求導(dǎo)法則394040證畢.41證畢.41例5.

解42例5.解42解:例6

43解:例643常用公式：例7.

解44常用公式：例7.解44練一練解答45練一練解45P117:T5(6),(9);T6(2);T8.作業(yè)先看書再做練習(xí)46P117:T5(6),(9);作業(yè)先看書46微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分47微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分474848解:例8.

49解:例8.49解例6.

50解例6.50微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分51微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分5152525353§3.3

鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈法則）猜想54§3.3鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈法則）解:例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)55解:例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)55更簡明的過程56更簡明的過程56注意57注意57解例2更簡明的過程58解例2更簡明的過程58解例3更簡明的過程59解例3更簡明的過程59例4

解或60例4解或60復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.設(shè)則或61復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.設(shè)則或61例5求解62例5求解62更簡明的過程63更簡明的過程63這里求y對x的導(dǎo)數(shù)是從外向里經(jīng)過

每個中間在熟悉了法則之后,運算就不必寫出中間變量,變量的導(dǎo)數(shù)最后導(dǎo)到x上.因此對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)搞清楚復(fù)合層次后,只要從外層向里層逐層求導(dǎo)即可.64這里求y對x的導(dǎo)數(shù)是從外向里經(jīng)過每個中間在熟悉了法則之后,例6求解65例6求解65易犯的錯誤66易犯的錯誤66

例767例767例8求解68例8求解68例9解69例9解69例10解70例10解70小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)首先必須搞清函數(shù)是怎樣復(fù)合的.求導(dǎo)時由外到里逐層求導(dǎo).注意:一定要到底,不要遺漏,不要重復(fù).71小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)首先必須搞清函數(shù)是怎樣復(fù)合的.求導(dǎo)時由外到里例11

例12

72例11例1272練一練73練一練73解答74解74P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作業(yè)先看書再做練習(xí)75P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).7676形如，的函數(shù)稱為顯函數(shù).若與的函數(shù)關(guān)系由方程所確定,稱這類函數(shù)為隱函數(shù).二、隱函數(shù)求導(dǎo)法又如，77形如，的函數(shù)稱為顯函數(shù).若與的函數(shù)關(guān)系由方程所確定,稱這類函解例1278解例1278解例13

79解例1379解例1480解例1480小結(jié)

方程兩邊對隱函數(shù)的求導(dǎo)方法:視為的函數(shù)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,的方程,解出即可.得到關(guān)于注意:結(jié)果中既含也含.81小結(jié)方程兩邊對隱函數(shù)的求導(dǎo)方法:視為的函數(shù)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法練一練解答解82練一練解解82三、對數(shù)求導(dǎo)法兩類函數(shù)有簡便求先給這些函數(shù)取對數(shù),然后再求導(dǎo)就可使求導(dǎo)運算簡便多了,這種先取對數(shù)然后再求導(dǎo)的方法就叫對數(shù)求導(dǎo)法.83三、對數(shù)求導(dǎo)法兩類函數(shù)有簡便求先給這些函數(shù)取對數(shù),然后再求導(dǎo)解例15

84解例1584微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分的導(dǎo)數(shù).解解法1

兩邊取對數(shù),化為兩邊對x

求導(dǎo)85微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分的導(dǎo)數(shù).解解法1兩邊取對解法2

將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)86解法2將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)86878788888989例2190例21902).兩邊對求導(dǎo);3).兩邊同乘以得4).將結(jié)果表示為的顯函數(shù).小結(jié)

對數(shù)求導(dǎo)法

常用于多因子乘冪求導(dǎo)，或冪指函數(shù)求導(dǎo).對數(shù)求導(dǎo)法的步驟:1).函數(shù)式兩邊取自然對數(shù);912).兩邊對求導(dǎo);3).兩邊同乘以得4).將結(jié)果表示為的顯函

四、分段函數(shù)求導(dǎo)法解:92四、分段函數(shù)求導(dǎo)法解:92易犯的錯誤93易犯的錯誤93練一練解答解94練一練解解94

P128T4(4)；T5；

T6(1),(2).作業(yè)先看書再做練習(xí)95P128T4(4)；T5；作業(yè)先看書95微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分一、高階導(dǎo)數(shù)記作：或即類似地

二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做的三階導(dǎo)數(shù)，記作：或96微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分一、高階導(dǎo)數(shù)記作：或即類似地二階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，記作：或階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做

階導(dǎo)數(shù)，記作：或函數(shù)有階導(dǎo)數(shù)，也說函數(shù)為階可導(dǎo).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù),97三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，記作：或階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做

例1

y=(1+x2)arctanx

求y

解

例2

證明

所以y3y

198例1y=(1+x2)arctanx二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例3

解

99二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例3解99

解：方程兩邊同時對x求導(dǎo)

上式兩邊同時再對x求導(dǎo)例4100解：方程兩邊同時對x求導(dǎo)上式兩邊三、幾個初等函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)

解

類似地有101三、幾個初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)解類似地有101102102103103

得到

104得到104由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到105由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到105±四、高階導(dǎo)數(shù)的運算公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)

(u

v)(n)

u(n)

v(n)函數(shù)積的n

階導(dǎo)數(shù)

這一公式稱為萊布尼茨（Leibniz)公式

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：106±四、高階導(dǎo)數(shù)的運算公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)(uv上面這些導(dǎo)數(shù)外表和二項展開式很相似，如果設(shè)107上面這些導(dǎo)數(shù)外表和二項展開式很相似，如果107小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的求法(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式如,(4)利用萊布尼茲公式108小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的求法(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)練一練109練一練109解答110解110

例

111例111作業(yè)先看書再做練習(xí)

P133:T1(4),(8);T4(2),(3);T7.112作業(yè)先看書P133:T1(4),(8);T4(2),(3§3.5微分一、微分的概念

問此薄片面積改變了多少?變到長由引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊設(shè)薄片邊長為x,面積為S,則當(dāng)x

在取得增量時,面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小量時為故稱為面積函數(shù)在的微分113§3.5微分一、微分的概念問此薄片面積改變了多少?變定義:114定義:114證(必要性)115證(必要性)115(充分性)設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo),即與無關(guān),所以函數(shù)在點處可微.且116(充分性)設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo),即與無關(guān),所以函數(shù)在點處可微.且

函數(shù)y

f(x)在任意點x的微分

稱為函數(shù)的微分

記作dy

或df(x)

即dy

f

(x)Dx

例如

dcosx

(cosx)

Dx

sinx

Dx

dex

(e

x)

Dx

exDx

117函數(shù)yf(x)在任意點x的微分

因為當(dāng)y=x時

dy=dx=(x)

Dx=Dx

所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分

記作dx

即

dx

Dx

因此

函數(shù)y

f(x)的微分又可記作于是有可微與可導(dǎo)的關(guān)系

函數(shù)f(x)在點x0可微

函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo)

函數(shù)在點x0的微分為118因為當(dāng)y=x時因此切線縱坐標(biāo)的增量微分的幾何意義119切線縱坐標(biāo)的增量微分的幾何意義119增量與微分的關(guān)系由微分定義知,當(dāng)時,因此,當(dāng)很小時,有近似等式:例如求在解：120增量與微分的關(guān)系由微分定義知,當(dāng)時,因此,當(dāng)很小時,有近似等二、基本微分公式與微分法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)的微分公式：121二、基本微分公式與微分法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)的微分公式：1例1.

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.122例1.在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變性5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)

由此可見

無論u是自變量還是中間變量

微分形式dy

f

(u)du保持不變

123微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)u(x),v(x)均可微,例4若方程xy=cosy-x2確定y=f（x）解一：兩邊對x求導(dǎo)解二：兩邊同時微分124例4若方程xy=cosy-x2確定y=f（x）解：兩邊同時微分例8若方程（arcsinx）lny-e2x+tany=0確定

y=f（x），求125解：兩邊同時微分例8若方程（arcsinx）lny例9

設(shè)解：126例9設(shè)解：126例10解：127例10解：127練一練

解答

解

128練一練解解128三、微分在近似計算中的應(yīng)用由微分定義知,當(dāng)時,因此,當(dāng)很小時,有近似公式:(1)即(2)(3)129三、微分在近似計算中的應(yīng)用由微分定義知,當(dāng)時,因此,當(dāng)很小時在(2)式中令當(dāng)很小時,(4)130在(2)式中令當(dāng)很小時,(4)130

例13

計算sin30

30

的近似值

解

有sin(x0

Dx)

sinx0

cosx0Dxsin30

30

即sin30

30

0

5076

131例13計算sin3030的近似值132132

說明：曲線在切點附近可用其切線來近似代替該曲線.且離切點越近近似程度越好.

133說明：曲線在切點附近可用其切線來近似代替該曲線.且離近似公式表示曲線附近可用切線.在切點近似曲線，且離切點越近近似程度越好.134近似公式表示曲線附近可用切線.在切點近似曲線，且離切點越近近練一練解答135練一練解135類似可證,當(dāng)很小時,有近似公式:136類似可證,當(dāng)很小時,有近似公式:136

如

解137如解137作業(yè)先看書再做練習(xí)

P142:T6(4),(6),(9);T7(2).138作業(yè)先看書P142:T6(4),(6),(9);T7(2)例11