4.1.1

有理數(shù)指數(shù)冪1.了解根式及其性質(zhì).（數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算）2.了解分數(shù)指數(shù)冪的意義.（數(shù)學(xué)抽象）3.能利用實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行指數(shù)運算.（數(shù)學(xué)運算）

2.根式的定義是什么？它有哪些性質(zhì)？

3.有理數(shù)指數(shù)冪有哪些運算性質(zhì)？

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）

×

√（3）只要根式有意義，都能化成分數(shù)指數(shù)冪的形式.(

)√（4）0的任何指數(shù)冪都等于0.(

)×2.下列各式正確的是(

).C

A

探究1

根式

[答案]

能，但要注意討論.

新知生成1.根式的定義

2.根式的性質(zhì)

新知運用

方法指導(dǎo)

根據(jù)根式的性質(zhì)化簡，注意被開方數(shù)的符號.

&1&

根式化簡求值解題思路：解決根式的化簡問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質(zhì)進行解答.化簡下列各式：

探究2

分數(shù)指數(shù)冪的意義

問題1：

牛頓的這一發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)上有什么貢獻？[答案]

牛頓的這一發(fā)現(xiàn)，使得正整數(shù)指數(shù)冪推廣到了任意有理數(shù)指數(shù)冪.

新知生成

分數(shù)指數(shù)冪的定義

（3）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.新知運用例2

用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（式中字母都是正數(shù)）：

方法指導(dǎo)

根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系轉(zhuǎn)化.

&2&

根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律：根指數(shù)化為分數(shù)指數(shù)的分母；被開方數(shù)（式）的指數(shù)化為分數(shù)指數(shù)的分子.用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式（式中字母都是正數(shù)）：

探究3

有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)問題：

規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪是否還適用？[答案]

由于整數(shù)指數(shù)冪，分數(shù)指數(shù)冪都有意義，因此，有理數(shù)指數(shù)冪是有意義的，整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.新知生成1.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

2.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)的理解與巧記（1）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是由整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣而來的，可以用文字語言敘述：①同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；②冪的冪，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；③積的冪等于冪的積.（2）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中冪指數(shù)運算法則遵循：乘相加，除相減，冪相乘.新知運用

方法指導(dǎo)（1）把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪，可以從外向里

（也可以從里向外）化為分數(shù)指數(shù)冪.（2）利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算.

&3&

指數(shù)冪運算的常用技巧：（1）有括號先算括號里的，無括號先進行指數(shù)運算.（2）負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).（3）底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)，要先化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運算性質(zhì).

提醒：化簡的結(jié)果不能同時含有根式