中山市第一中學(xué)2023~2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)第五次統(tǒng)測數(shù)學(xué)本試卷共5頁，共150分，考試時(shí)長120分鐘.一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）xN2x33的1.集合真子集個(gè)數(shù)為（B.3）A.2C.4D.52.復(fù)數(shù)z(1i)z，其中為虛數(shù)單位，則（i）iA.z2z20B.zz0Czz0D.z2z20PBCBC上的靠近B的四等分點(diǎn)，D為APBD3.正三角形中，AB2，為（）121433A.B.C.D.424x10相切的兩條直線的夾角（銳角）為，則4.過點(diǎn)(0,4)與圓x2y2（）34612A.B.C.D.24中，成等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，則a1Snnna2,455.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列nSS（）104A.C.B.D.4032Alberobello，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛叫Trullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測量一個(gè)Trullo的屋頂，得其母線長為(即圓錐的側(cè)面積若從該屋頂?shù)酌鎴A周一點(diǎn)A繞屋頂側(cè)面一周至過A的母線的中點(diǎn)，安裝燈光帶，則該燈光帶的最短長度為（6m，屋頂?shù)谋砻娣e為12m2）B.35mC.37m6mD.A.33mx22y22x22y27.設(shè)ab0，橢圓1的離心率為e1，雙曲線1的離心率為2e2ee1，若，12abba2ba則的值是（）b5115A.1B.2C.D.2222ax2a,x1xfx8.已知函數(shù)aR，若關(guān)于x的不等式fxa0恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范exax,x1圍為（）0,2A.C.B.D.e0,e二、多選題（本大題共4小題，共20分.每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.山東省某地區(qū)2013年至年生產(chǎn)總值指數(shù)分別為112.2，108.1，108.7，108.7，109.5，108.9，108.1，104.0，107.3，104.3，則（A.這組數(shù)據(jù)的極差為8.2）B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為108.4D.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為108.9ABCD10.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的（1）1111PBCD1A.B.不可能垂直于11P//ACD1平面1APCC.三棱錐的體積不變98D.若正方體的棱長為1，且E，F(xiàn)分別為AD，AA的中點(diǎn)，則過，F(xiàn)，P的截面面積最大值為E1x22y221a0b0的離心率為5，，F(xiàn)1F是雙曲線C，的兩個(gè)焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)211.已知雙曲線C:ab2直線l垂直于雙曲線C的一條漸近線，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若ABF的面積為24，則1（）1yxA.雙曲線C的漸近線方程為2B.雙曲線C的實(shí)軸長為6C.線段AB的長為8ABFD.是直角三角形1表示，中的較小值，表示，中的較大值；關(guān)于函數(shù)：mina,ba,b12.數(shù)學(xué)中一般用abab3x,sinx3，有如；fxsinx3x,sinx3xgxsinx下四個(gè)命題，其中是真命題的是（）A.與fx的最小正周期均為gxB.與fx的圖象均關(guān)于直線對稱gxx2C.的最大值是fx的最小值gxD.與fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱gx三、填空題（本大題共4小題，共20分）61xx312x的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_________()用數(shù)字作答13.214.接種流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某學(xué)校的學(xué)生接種了流感疫苗，已知在流感高發(fā)時(shí)511期，未接種疫苗的感染率為，而接種了疫苗的感染率為4.現(xiàn)有一名學(xué)生確診了流感，則該名學(xué)生未接種疫苗的概率為___________x22y221a0b0的左、右焦點(diǎn)分別為，F(xiàn)1F，圓2x2y2a2b與雙曲線在215.已知雙曲線、ab310第一象限的交點(diǎn)為P，且sinPFF1，則該雙曲線的離心率為_________．210416.已知O為的外心，，當(dāng)C最大時(shí)，AB邊上的中線長為_________．三、解答題（共6小題，第17題滿分10分，其它各題滿分12分，共70分.）sinAsinCacbsinAsinB，③17.在①2ab2ccosB，②1casinAbsinBcsinC這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答．△2問題：在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且____．（1）求角C；c22ab的取值范圍．（2）若，求18.為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場比賽（每場比賽都采取5局3軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以3:2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.p0p1（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為.fp①求出的最大值點(diǎn)fpp；0ppXX②若以作為的值，這輪比賽張三所得積分為，求的分布列及期望.0mn,nZn0mn與互質(zhì)）的形式，進(jìn)而有理數(shù)集19.（1）已知：有理數(shù)都能表示成（，且，mnQ|,nZn0．mn與互質(zhì)，且，i）1.573是有理數(shù)．（ii）5是無理數(shù)．2anbnnnan15a}b}*b（2）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，nN．設(shè)，nn2b2nn1annN*，且a}a和b的值．11是等比數(shù)列，求n73ABCD的體積為120.如圖，已知四棱臺(tái)，且滿足DC//AB，111BC,AAABBBBCCDABECE//11A平面.1為棱AB上的一點(diǎn)，且1111h1E（1）設(shè)該棱臺(tái)的高為h，求證：；CE11B所成角的正弦值.1（2）求直線與平面y22x221ab0的上下焦點(diǎn)分別為21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線ab．已知點(diǎn)2和F(0,cFc,52e都在雙曲線上，其中為雙曲線的離心率．1（1）求雙曲線的方程；,By是雙曲線上位于軸右方的兩點(diǎn)，且直線AFBF平行，與交于點(diǎn)P．21（2）設(shè)（I）若與直線12AFBF22，求直線的斜率；112PF1PF（II）求證：22.已知函數(shù)是定值．2xasinxxa（）.fxx0恒成立，求a的取值范圍；（1）若f114在fx，證明：0.a（2）若有唯一的極值點(diǎn)x，且f0202中山市第一中學(xué)2023~2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)第五次統(tǒng)測數(shù)學(xué)本試卷共5頁，共150分，考試時(shí)長120分鐘.一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）xN2x331.集合的真子集個(gè)數(shù)為（B.3）A.2C.4D.5【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解集，用列舉法表示出集合即求解.【詳解】不等式|2x3|332x330x3，解得，因此{(lán)xN||2x3|{xN|0x，所以集合{xN||2x3|的真子集個(gè)數(shù)為3.故選：B2.復(fù)數(shù)z(1i)z，其中為虛數(shù)單位，則（i）iA.z2z20B.zz0C.zz0D.z2z20【答案】A【解析】z【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.i)2(1i)zi，得z1i，z1i，1ii)2z2i)i)0，A正確；對于A，z222對于B，zzi)i)2，B錯(cuò)誤；對于C，zzi)i)，C錯(cuò)誤；z2i)i)，D錯(cuò)誤.對于D，z故選：A222PBCBC上的靠近B的四等分點(diǎn)，D為APBD3.正三角形中，AB2，為（）121433A.B.C.D.42【答案】A【解析】12131APACAB，【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理可得，再由平面向量442的數(shù)量積運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)镻為BC上的靠近B的四等分點(diǎn)，1141434APABBPABBCABACABACAB則，4且D為BC的中點(diǎn)，1211BDBCACAB則又，22為等邊三角形，且AB2，1311APBDACABACAB則243421122ACABACAB8148143226022881112122.42故選：A4x10相切的兩條直線的夾角（銳角）為，則4.過點(diǎn)(0,4)與圓x2y2（）34612A.B.C.D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓方程可得圓心CC0r5為(0,4)60與圓心的距離可求得12cos可知.y25，2【詳解】將圓x2y24x10化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x2即圓心CC0，半徑r5為；如下圖所示：D(0,4)22425,AC5，又，易知CD251所以可得sin，又60；為銳角，可知2CD25212cos可得.故選：C中，成等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，則a1Snnna2,455.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列nSS（）104A.C.【答案】B【解析】B.D.40322a2aaq=2425公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q0，ana,aa2a24252因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，則，245a222q322q2q2q20，可得q=2，4q2q3且，則，1q03又因?yàn)?，則21102124所以SS2016.1041212故選：B.Alberobello，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛叫Trullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測量一個(gè)Trullo的屋頂，得其母線長為(即圓錐的側(cè)面積若從該屋頂?shù)酌鎴A周一點(diǎn)A繞屋頂側(cè)面一周至過A的母線的中點(diǎn)，安裝燈光帶，則該燈光帶的最短長度為（6m，屋頂?shù)谋砻娣e為12m2）B.35mC.37m6mD.A.33m【答案】C【解析】2ASB=πAB=37.1【分析】畫出圖形，根據(jù)圓錐的表面積求出側(cè)面展開圖頂角，再由余弦定理求出13【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，側(cè)面展開圖如圖所示，AB1由圖可知B為SA的中點(diǎn)，為所求長度的最小值，由于母線長為6m，則SA6，圓錐的側(cè)面積為12m2，S=rlTr=2則由圓錐的側(cè)面積公式可得，AA=4π1所以底面圓的周長即弧長，24π=6′ASBTASB=π又，113則在1中，由余弦定理可得1S2+SB2-1B262+32-1B212cos1SB===-，2ASSB×2′6′31AB=37m解得，1故選：Cx22y22x22y27.設(shè)ab0，橢圓1的離心率為e1，雙曲線1的離心率為2e2ee1，若，12abba2ba則的值是（）b5115A.1B.2C.D.22【答案】D【解析】ee1【分析】由橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別表示出離心率，再根據(jù)運(yùn)算得解.12x22y22b2【詳解】因?yàn)閍又由雙曲線方程ee1b0，橢圓方程為1，可得e211，aba2x2y2a2bb22ab221，可得e2211，b2a2b222baa2b21130因?yàn)椋?，整理得?2a2b2b2a2a1x2353-5x1，上式轉(zhuǎn)化為x2302x令，解得或b22251a3562551.b2442故選：D.22ax2a,x1xfx8.已知函數(shù)aR，若關(guān)于x的不等式fxa0恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范exax,x1圍為（）0,2A.B.e0,eC.D.【答案】D【解析】a02ax2a0(,xeax0)在上恒成立，轉(zhuǎn)【分析】先判斷時(shí)，x2在上恒成立；若ex)上恒成立．化為a在xxa，【詳解】當(dāng)x1時(shí)，由x22ax2a0恒成立，二次函數(shù)的對稱軸為a1時(shí)，f(x)在(,上單調(diào)遞減，則f(x)f10恒成立，（1）當(dāng)1時(shí)，a0f(x)f(a)a(2a)00a1，所以（2）當(dāng)a,上恒成立；綜上可知，當(dāng)時(shí)，x22ax2a0在在(exx)上恒成立，當(dāng)x1時(shí)，eax0恒成立，即axexe(xx令g(x)，則g(x)，xx2ae，所以當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，函數(shù)單增，又ge；，0,ea綜上可知，的取值范圍是故選：D二、多選題（本大題共4小題，共20分.每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.山東省某地區(qū)2013年至年生產(chǎn)總值指數(shù)分別為112.2，108.1，108.7，108.7，109.5，108.9，108.1，104.0，107.3，104.3，則（A.這組數(shù)據(jù)的極差為8.2C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為108.4【答案】ACD）B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為D.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為108.9【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列得到104.0，104.3，107.3，108.7，108.7，108.9，，，109.5，112.2，再對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.112.2108.7，108.7109.5108.9104.0107.3，【詳解】將數(shù)據(jù)到大排成一列：，，，，，，，從小104.0，104.3，107.3，108.1，108.1，108.7，108.7，108.9，109.5，112.2對于選項(xiàng)A，極差為112.2104.08.2，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，眾數(shù)為108.1，108.7，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；108.1108.7108.4對于選項(xiàng)C，中位數(shù)為，所以選項(xiàng)C正確；2對于選項(xiàng)D，因?yàn)閕1075%7.5，故上四分位數(shù)為108.9，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.ABCD10.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的（1）1111PBCD1A.B.不可能垂直于11P//ACD1平面1APCC.三棱錐的體積不變98AAD.若正方體的棱長為1，且E，F(xiàn)分別為AD，的中點(diǎn)，則過E，F(xiàn)，P的截面面積最大值為1【答案】BC【解析】【分析】舉例說明、計(jì)算判斷AD；證明面面平行判斷B；證明線面平行判斷C.BCCCD1CBCCD，則，A111【詳解】對于A，當(dāng)P與1重合時(shí)，由于平面，平面1111錯(cuò)誤；AC,ABABCD1D是矩形，1對于B，連接，正方體的對角面11111111//ADAD1ACD1ACD1//ACD平面，1則，而平面，平面，于是1111//ACDACBCC,AC,BCABC平面，1同理平面，又1111111//ACDAPABCAP//ACD，B正確；1因此平面平面，而平面，所以平面ACD的距離等于點(diǎn)到平面的距離，111111//ACDACDC1對于C，由選項(xiàng)B知，平面，則點(diǎn)P到平面11為定值，1APC又△1的面積是定值，因此三棱錐對于D，當(dāng)P與1重合時(shí)，直線EF分別與連接CM,CNAB,CD交于點(diǎn)G,H的體積是定值，不變，C正確；DA,DDM,N，的延長線交于點(diǎn),，則五邊形1HEFG是過E,F,P的截111，分別與棱，連接11面，122322132AEAFCMCN1顯然，，2，112由平面ABCD//平面ABCDCMABCD，平面C1平面ABCDEH，平面C1平面1111，1111111322EH//1MSSSS，顯然則，，同理，，，119911132133243178SCM2()2()2(2)112222277172471724983381因此截面面積S1S，而()2()20198576649S所以，D錯(cuò)誤.18故選：BCx22y221a0b0的離心率為5，，F(xiàn)1F是雙曲線C，的兩個(gè)焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)211.已知雙曲線C:ab2直線l垂直于雙曲線C的一條漸近線，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若ABF的面積為24，則1（）1yxA.雙曲線C的漸近線方程為2B.雙曲線C的實(shí)軸長為6C.線段AB的長為8ABFD.是直角三角形1【答案】BCD【解析】cb22b【分析】雙曲線心率e1，求出的值，得到漸近線方程，判斷A；聯(lián)立直線與雙曲線方aaa程，表示ABF的面積，求出的值，判斷B；利用弦長公式得到線段點(diǎn)坐aAB的長，判斷C；求出,B11,標(biāo)，進(jìn)而得到【詳解】c斜率，根據(jù)斜率判斷是否垂直，判斷D.1ba22b∵e15，∴2，即：b2a，c5a，aay2x∴漸近線方程為，故A錯(cuò)誤；1F2直線l垂直于雙曲線Ck的一條漸近線，不妨設(shè)直線l的斜率為l經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為2x2yc，x2yc222x得15y2165ay16a20Δ165a41516a2=320a0，2xy，消去，則1a2b2165151615設(shè)，，則Ax,yBx,yyya2，1y2a，1122121185a83121y212yy241y2ca224，所以SABF1222151解得a3，即：2a6，故雙曲線C的實(shí)軸長為6，故B正確；16516551615485ayy2a因?yàn)?y2，，12152所以AB14yy41y28，故正確；C12因?yàn)閍3，b2a6，c5a35，x2y21，直線l的方程為x2y35所以雙曲線方程為，9x2y35x得5y2165y4802y2，消去，x193695127x5x5512545F35,0則或，又115y2512455053550259k2k，，1711153555此時(shí)kl1，所以AF1AB，所以ABF是直角三角形，故D正確，1k1故選：BCD.表示，中的較小值，表示，中的較大值；關(guān)于函數(shù)：mina,ba,b12.數(shù)學(xué)中一般用abab3x,sinx3，有如；fxsinx3x,sinx3xgxsinx下四個(gè)命題，其中是真命題的是（）A.與fx的最小正周期均為gxB.與fx圖象均關(guān)于直線gx對稱x的2C.的最大值是fx的最小值gxD.與的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱gxfx【答案】BD【解析】【分析】先求出f(x)，與的圖象即可求解fx，結(jié)合函數(shù)g(x)gxh(x)sinx3x2sin(xt(x)sinx3x2sin(x【詳解】設(shè)332sin(x2kx2k,322f(x)h(xt(x)則，2sin(x2kx2k,3222sin(x2kx2k,322g(x)h(xt(x)2sin(x2kx2k,322函數(shù)與的大致圖象如下所示：gxfx對A，由圖知，與的最小正周期均為2π；故A錯(cuò)誤；gxfxx與的對稱軸，故B正確.fxgx對B，由圖知，為函數(shù)22對C，的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；f1，由圖知∶函數(shù)fxgx2,1對D，由圖知，與的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故D正確；gxfx故選：BD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）61x312x的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_________(用數(shù)字作答)13.x【答案】61【解析】【分析】根據(jù)題意借助于二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析求解.162x【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為xr1123rC2r6x6r2C6rr6x,r,6r12，x12r3，解得r6，可得TC66x3x3；令令7212r0，解得r4，可得522C6460；2x3x316061.所以展開式中常數(shù)項(xiàng)是故答案為：61.214.接種流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某學(xué)校的學(xué)生接種了流感疫苗，已知在流感高發(fā)時(shí)511期，未接種疫苗的感染率為，而接種了疫苗的感染率為4.現(xiàn)有一名學(xué)生確診了流感，則該名學(xué)生未接種疫苗的概率為___________1519【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A“感染流行感冒”，事件B“未接種疫苗”，312119313PAPAB則故，，545101005420P15PAPB|A.1915故答案為：．19x22y221a0b0的左、右焦點(diǎn)分別為，F(xiàn)1F，圓2x2y2a2b與雙曲線在215.已知雙曲線、ab310第一象限的交點(diǎn)為P，且sinPFF1，則該雙曲線的離心率為_________．21021210【答案】【解析】##31010x2y2a2b2c2及sinPFF從而求解.【分析】根據(jù)雙曲線定義并結(jié)合圓21x2y2a2b2c2，得圓是以FF為直徑的圓交于雙曲線在第一象限點(diǎn)為P，【詳解】由題意知圓12πF且，12231010PF1PFPF2asinPFF由雙曲線定義得，又因?yàn)椋?22112PF13，2210cosPFFF13所以所以解得，得，得212121012RtPF1F22222PF1a，2a，在中2PF12，即aa2c，2211042e2，即e.10故答案為：.2310101F為直徑的圓并結(jié)合雙曲線定義及sinPFF【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圓是以從而可求解22116.已知O為的外心，4，當(dāng)C最大時(shí)，AB邊上的中線長為_________．【答案】15【解析】8C最大時(shí)ba的值，從而得解.2c2ACD，連接OD、BD，則，【詳解】取中點(diǎn)1BOACBDACBDACBCBABCBA4則，222BC6a6所以BCBA8，即ac28，又2，所以，，c27，a2b2c2b282b282則C當(dāng)且僅當(dāng)b2abbb328，即b22時(shí)取等號(hào)，此時(shí)角C最大，a2bc2，所以A60，2同時(shí)所以AB邊上中線長為CE故答案為：15.27815.2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用面向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化BOAC，得到BCBA8，從而得解.22三、解答題（共6小題，第17題滿分10分，其它各題滿分12分，共70分.）sinAsinCacbsinAsinB，③17.在①2ab2ccosB，②1casinAbsinBcsinC這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答．△2問題：在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且____．（1）求角C；c22ab的取值范圍．（2）若，求π【答案】（1）C3（2）4【解析】2sinAsinB2sinCcosB1）選①：由正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡得到2sinCsinB0acacbab求解；選②利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；，再利用余弦定理求解.121abcca2b2c2選③利用三角形面積公式和正弦定理得到2abc433433433（2）由正弦定理得到,asin,bsinB，從而有sinAsinBsinCπ683343A2absinAsinB求解.3【小問1詳解】解：若選①：由正弦定理得2sinAsinB2sinCcosB，BCsinBCB，則2sinBcosC2cosBsinCsinB2sinCcosB2sinCsinB0，，12πBπ,sinBcosC,C,C．3若選②：sinAsinCacbsinAsinB，由正弦定理得acacbab，a2b2c212a2b2c2abC，2abππ,CC，312casinAbsinBsinC，S若選③：11casinAbsinBsinC，absinC則2211abcca2b2c2由正弦定理得，22a2b2c212a2b2c2abcosC，2abπCπ,C【小問2詳解】a．3bc43343343,asin,bsinB，由正弦定理得sinAsinBsinC38343383433π3則2absinAsinBsinAsinA，33π2A2cosAA，62π3πππ662π1．A,A,,sinA,16242ab.18.為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場比賽（每場比賽都采取5局3軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以3:2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.p0p1（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為.fp①求出的最大值點(diǎn)fpp；0ppXX②若以作為的值，這輪比賽張三所得積分為，求的分布列及期望.04766340【答案】（1）2）①；②分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】1）利用互斥事件的概率公式即得；fpC（2）由題可求23p31p，然后利用導(dǎo)數(shù)可求最值，再利用條件可求隨機(jī)變量的分布列，即得.C13C14C41C1531C154766p1）比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；C2fpC（2）①由題可知23p31p3p31p，33p1pp322，3p34pfp134令，得，fp0pf3p3p00fp當(dāng)當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；443p,13pfpf,1上單調(diào)遞減.時(shí)，在443所以的最大值點(diǎn)0，fp4②X的可能取值為0，1，2，3.33343313313313PX01pCp1p1C1；442563334512272322Cp1p322PXC4()1；44233438122Cp1ppC()222PX1；44445123333189p3pCp1p()C()2323232.PX14444256所以X的分布列為X01231892561325627P5122713811891323X的期望為EX0123.256512512256512m,nZn0mn與互質(zhì)）的形式，進(jìn)而有理數(shù)集19.（1）已知：有理數(shù)都能表示成（，且，nmnQ|,nZn0．mn與互質(zhì)，且，i）1.573是有理數(shù)．（ii）5是無理數(shù)．2anbnnnan15a}b}*b（2）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，nN．設(shè)，nn2b2nn1annN*，且a}a和b的值．11是等比數(shù)列，求n5235【答案】（1iii2）15,b12【解析】1i）根據(jù)有理數(shù)的表示、等比數(shù)列求和可得答案；（ii）假設(shè)5是有理數(shù)，利用反證法可得答案；q(q0)q1，利用等比數(shù)列的定義得bn（2）利用基本不等式可得2an132，設(shè)公比為，可得21bna1也為等比數(shù)列，再根據(jù)已知得此方程至多只有兩個(gè)根可得答案.2a2n11110115243331.573131057315731i）因?yàn)椋?10610911103mn5,nZnm，且n與（ii）假設(shè)5是有理數(shù)，則（故n2m2①，所以存在tZ，使得mt，代入①式可得n2t2，sZn5s，所以存在，使得m,n這與互質(zhì)矛盾．所以5是無理數(shù)；3b2a2bna2nb2n2anb2a（2）因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以2n2，a,bnnnnna2nn2a2n2a2n2nn3b3abna2nb2n2anb2an22n22annn3n332類似地，可得，a2n2a2n2a2nn2ann22nn因此，2an132．又因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，設(shè)其公比為q(q0)，anq1an1320q12a矛盾，所以q1，若，則與矛盾，若，則與n1nann1n55又因?yàn)閚15，所以b，故也為等比數(shù)列，nan12anbn21ban1a1n4a0*，1912b2n12b412又因?yàn)?，所以，?2n2a2bnnan15而此方程至多只有兩個(gè)根，所以的公比1，即q，bn1，所以151分將15代入*式得4b21121505235，5235解得b或b11225235所以15,b1．273ABCD的體積為120.如圖，已知四棱臺(tái)DC//AB，且滿足，111BC,AAABBBBCCDABECE//11A平面.1為棱AB上的一點(diǎn)，且1111h1E（1）設(shè)該棱臺(tái)的高為h，求證：；CE11B所成角的正弦值.1（2）求直線與平面【答案】（1）證明見詳解36（2）8【解析】1AAE，然后利用棱臺(tái)的體積公式求11）利用線面平行條件求AE，再結(jié)合等腰梯形出h可證；可求得1ACE1B，再用等體積法求出點(diǎn)E到平面的距離，然后可得.1（2）利用三角形【小問1詳解】AD可求111C11B1C11BCDC，可得1111連接，由棱臺(tái)性質(zhì)可知，，1ABBC2//CD，CD//1D，所以CD//AE,E,1,D，所以四點(diǎn)共面1又111又因?yàn)?E//1AADDAD1E1D平面1平面，平面平面，111111CE//AD1D所以，所以四邊形為平行四邊形，1111AECD所以，1121AAB又四邊形AE為等腰梯形，111111AAE易知為梯形的高，即11113AEAA21AE21所以142111313(,2)1易得上下底面的面積分別為：，2228221333373163由體積公式有()h，解得h328282h1E所以【小問2詳解】AC,BE,BC,EC連接1111h1EAE平面ABCD，1由（1）知，所以AE11AABBA，所以平面平面ABCD，11因?yàn)槠矫嫫矫?ABCD，又BCBA，平面ABB1A平面ABCD，BC平面1所以平面1A1BB11ABCBB因?yàn)橐椎闷矫妫?1131212SBCBE,SBCBB1BCEBCB124EBCBh，1記三棱錐的高為113311334則由VEBCB得1，解得h11BCE13423215AEACACAB111221又，111114235ECAE2122所以114433CE11Bh11368所以直線與平面所成角的正弦值為421y22x221ab0的上下焦點(diǎn)分別為21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線ab．已知點(diǎn)2和F(0,cFc,52e都在雙曲線上，其中為雙曲線的離心率．1（1）求雙曲線的方程；,ByAFBF平行，與交于點(diǎn)P．21（2）設(shè)（I）若是雙曲線上位于軸右方的兩點(diǎn)，且直線與直線12AFBF22，求直線的斜率；112PF1PF（II）求證：【答案】（1）是定值．2y2x2122（2I）II）證明見解析2【解析】1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程求解即可；FCFB22，然后利用弦長公式求直線II）利1（2I）構(gòu)造平行四邊形，求出12222PF1PF11用三角形相似和雙曲線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.2AFCF11【小問1詳解】將點(diǎn)2和,5代入雙曲線方程得：2a2a2b222b2，化簡得：4a22a2b1，25c21，結(jié)合ca，解得a2a2ab22y2x1．2雙曲線的方程為2【小問2詳解】（Ⅰ）設(shè)Cx,y33，Ax,y,Bx,y,B關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)記為1122xx,yy則．323213y23y23k,k,k2kk因?yàn)?所以，1A121x2x21kkk，AF1∥BFk又因?yàn)?，所以，?1A21A1,1,C故三點(diǎn)共線．BCFFFCFBCBF為平行四邊形，故，2又因?yàn)榕c互相平分，所以四邊形1212CF=22所以由題意知，直線AF1斜率一定存在，．1211設(shè)的直線方程為y3，