數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告班級:數(shù)學(xué)師范153姓名：付爽學(xué)號：1502012060實(shí)驗(yàn)名稱:數(shù)列極限與函數(shù)極限基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)一數(shù)列極限與函數(shù)極限第一部分實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書解讀一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膹膭⒒盏母顖A術(shù)、裴波那奇數(shù)列研究數(shù)列的收斂性并抽象出極限的定義；理解數(shù)列收斂的準(zhǔn)則；理解函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)使用軟件Mathematic5.0三．實(shí)驗(yàn)的基本理論即方法1割圓術(shù)中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》方田章圓田術(shù)中創(chuàng)造了割圓術(shù)計(jì)算圓周率。劉徽先注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積；其次，當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時(shí)，正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積?！案钪畯浖?xì)，所失彌少。割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣?！边@幾句話明確地表明了劉徽的極限思想。以表示單位圓的圓內(nèi)接正多邊形面積，則其極限為圓周率。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列{}的收斂情況：m=2;n=15;k=10;For[i=2,i<=n,i++,l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];(圓內(nèi)接正多邊形邊長)s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];(圓內(nèi)接正多邊形面積)r[i_]:=Pi-s[i];d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i,"",r[i],"",l[i],"",s[i],"",d[i]]]t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}](數(shù)組)ListPlot[t](散點(diǎn)圖)2裴波那奇數(shù)列和黃金分割由有著名的裴波那奇數(shù)列。如果令，由遞推公式可得出，；。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列{}的收斂情況：n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k];(定義裴波那奇數(shù)列通項(xiàng))rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];Print[i,"",rn,"",Rn,"",dn];]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]3收斂與發(fā)散的數(shù)列數(shù)列當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；數(shù)列發(fā)散。4函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]觀察的圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，且函數(shù)值不存在，但在點(diǎn)處有極限。令，作函數(shù)的取值表，畫散點(diǎn)圖看其子列的趨向情況k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]分別取不同的數(shù)列(要求)，重做上述過程，并將各次所得圖形的分析結(jié)果比較，可知各子列的極限值均為上述函數(shù)的極限值。對于，類似地考察在點(diǎn)處的極限。三、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備認(rèn)真閱讀實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c實(shí)驗(yàn)材料后要正確地解讀實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上制定實(shí)驗(yàn)計(jì)劃（修改、補(bǔ)充或編寫程序，提出實(shí)驗(yàn)思路，明確實(shí)驗(yàn)步驟），為上機(jī)實(shí)驗(yàn)做好準(zhǔn)備。四、實(shí)驗(yàn)思路提示3.1考察數(shù)列斂散性改變或增大，觀察更多的項(xiàng)（量、形），例如，分別取50，100，200，…；擴(kuò)展有效數(shù)字，觀察隨增大數(shù)列的變化趨勢，例如，分別取20，30，50；或固定50；或隨增大而適當(dāng)增加。對實(shí)驗(yàn)要思考，例如，定義中的指標(biāo)與柯西準(zhǔn)則中的指標(biāo)間的差異；數(shù)列收斂方式；又例如，如何估計(jì)極限近似值的誤差。3.2考察函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系改變函數(shù)及極限類型，例如，考慮六種函數(shù)極限，既選取極限存在也選取極限不存在的例子；改變數(shù)列，改變參數(shù)觀察更多的量，考察形的變化趨勢；擴(kuò)展有效數(shù)字，提高計(jì)算精度。要對實(shí)驗(yàn)思考，歸納數(shù)列斂散與函數(shù)斂散的關(guān)系。第二部分實(shí)驗(yàn)計(jì)劃實(shí)驗(yàn)主要是從觀察數(shù)列的斂散性，觀察函數(shù)值的變化趨勢來理解極限的概念，進(jìn)一步體會實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)則割圓術(shù)

中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》方田章圓田術(shù)中創(chuàng)造了割圓術(shù)計(jì)算圓周率。劉徽先注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積；其次，當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時(shí)，正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積。

“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣?！边@幾句話明確地表明了劉徽的極限思想。

以nS表示單位圓的圓內(nèi)接正123n多邊形面積，則其極限為圓周率。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列{nS}的收斂情況：

m=2;n=15;k=10;

For[i=2,i<=n,i++,

l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];

(圓內(nèi)接正123n多邊形邊長)

s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];

(圓內(nèi)接正123n多邊形面積)

r[i_]:=Pi-s[i];

d[i_]:=s[i]-s[i-1];

Print[i,"

",r[i],"

",l[i],"

",s[i],"

",d[i]]

]

t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}]

(數(shù)組)

ListPlot[t]

(散點(diǎn)圖2裴波那奇數(shù)列和黃金分割由有著名的裴波那奇數(shù)列。如果令，由遞推公式可得出，；。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列{}的收斂情況：n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k];(定義裴波那奇數(shù)列通項(xiàng))rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];Print[i,"",rn,"",Rn,"",dn];]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]，；。3.收斂與發(fā)散的數(shù)列數(shù)列當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；數(shù)列發(fā)散。4.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]觀察的圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，且函數(shù)值不存在，但在點(diǎn)處有極限。令，作函數(shù)的取值表，畫散點(diǎn)圖看其子列的趨向情況k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]分別取不同的數(shù)列(要求)，重做上述過程，并將各次所得圖形的分析結(jié)果比較，可知各子列的極限值均為上述函數(shù)的極限值。對于，類似地考察在點(diǎn)處的三實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果設(shè){xn}為實(shí)數(shù)列，a為定數(shù)，若對任給的正數(shù)b,總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，有|xn-a|<b,則稱數(shù)列收斂與a定數(shù)a稱為數(shù)列的極限，程序如下：程序結(jié)果運(yùn)行如下:裴波那奇數(shù)列和黃金分割1.考察數(shù)列斂散性改變或增大，觀察更多的項(xiàng)（量、形），例如，分別取50，100，200，…；擴(kuò)展有效數(shù)字，觀察隨增大數(shù)列的變化趨勢，例如，分別取20，30，50；或固定50；或隨增大而適當(dāng)增加。對實(shí)驗(yàn)要思考，例如，定義中的指標(biāo)與柯西準(zhǔn)則中的指標(biāo)間的差異；數(shù)列收斂方式；又例如，如何估計(jì)極限近似值的誤差。2.考察函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系改變函數(shù)及極限類型，例如，考慮六種函數(shù)極限，既選取極限存在也選取極限不存在的例子；改變數(shù)列，改變參數(shù)觀察更多的量，考察形的變化趨勢；擴(kuò)展有效數(shù)字，提高計(jì)算精度。要對實(shí)驗(yàn)思考，歸納數(shù)列斂散與函數(shù)斂散的關(guān)系。例：用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]觀察的圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，且函數(shù)值不存在，但在點(diǎn)處有極限。令，作函數(shù)的取值表，畫散點(diǎn)圖看其子列的趨向情況k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]分別取不同的數(shù)列(要求)，重做上述過程，并將各次所得圖形的分析結(jié)果比較，可知各子列的極限值均為上述函數(shù)的極限值。對于，類似地考察在點(diǎn)處的極限。四實(shí)驗(yàn)結(jié)論以表示單位圓的圓內(nèi)接正多邊形面積，則其極限為圓周率。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列{}的收斂情況2.由有著名的裴波那奇數(shù)列。令，由遞推公式可得3.數(shù)列當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；數(shù)列發(fā)散。4.分別取不同的數(shù)列(要求)，重做過程，并將各次所得圖形的分析結(jié)果比較，可知各子列的極限值均為上述函數(shù)的極限值。對于目錄一、問題重述 2二、符號說明 2三、模型假設(shè) 3四、問題分析 3五、模型建立與求解 4六、模擬程序設(shè)計(jì) 6七、誤差分析 7八、模型的應(yīng)用 7九、模型評價(jià) 7十、小結(jié) 8十一、參考文獻(xiàn) 10一、問題重述某儲蓄所每天的營業(yè)時(shí)間是上午九點(diǎn)到下午五點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)每天不同的時(shí)間段所需要的服務(wù)員數(shù)量如下：時(shí)間段（時(shí)）9-1010-1111-1212-11-22-33-44-5服務(wù)員數(shù)量43465688儲蓄所可以雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員。全時(shí)服務(wù)員每天報(bào)酬100元，從上午9;00到下午5:00，但中午12:00到下午2:00之間必須安排一小時(shí)的午餐時(shí)間。儲蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時(shí)服務(wù)員，每個(gè)半時(shí)服務(wù)員必須連續(xù)工作4小時(shí)，報(bào)酬40元。問該儲蓄所應(yīng)如何雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員？如果不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，每天至少增加多少費(fèi)用？如果雇傭半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，每天可以減少多少費(fèi)用？二、符號說明y1,y2,y3,y4,y5——————1:00至2:00為x2.半時(shí)服務(wù)員從9:00至1:00以小時(shí)為單位的人數(shù)；x1————————————12:00至1:00為為全時(shí)服務(wù)員人數(shù)；x2————————————1:00至2:00為為全時(shí)服務(wù)員人數(shù)；三、模型假設(shè)題中所給的數(shù)據(jù)是在微小的范圍內(nèi)變化的數(shù)據(jù)。所給的數(shù)據(jù)基本上有效。目標(biāo)函數(shù)就是所求的資源分配方案。四、問題分析本問題是一個(gè)資源決策分配的最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型。主要是針對根據(jù)不同的報(bào)酬雇傭全時(shí)與半時(shí)服務(wù)員的如何分配問題,首先應(yīng)定義了相關(guān)的決策變量，對不同的條件約束,列出對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù),利用相關(guān)的工具進(jìn)行操作,最后對結(jié)果進(jìn)行分析.問題的關(guān)鍵1. 定義相關(guān)的決策變量.列出目標(biāo)函數(shù)。2.轉(zhuǎn)化為定量說明。3.列出目標(biāo)函數(shù)。分析問題，收集資料。需要搞清楚需要解決的問題，分析有可能的情況。建立模擬模型，編制模擬程序。按照一般的建模方法，對問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。也就是說，模擬模型未必要將被模擬系統(tǒng)的每個(gè)細(xì)節(jié)全部考慮。模擬模型的優(yōu)劣將通過與實(shí)際系統(tǒng)有關(guān)資料的比較來評價(jià)。如果一個(gè)“粗糙”的模擬模型已經(jīng)比較符合實(shí)際系統(tǒng)的情況，也就沒有必要建立費(fèi)時(shí)、復(fù)雜的模型。當(dāng)然，如果開始建立的模型比較簡單，與實(shí)際系統(tǒng)相差較大，那么可以在建立了簡單模型后，逐步加入一些原先沒有考慮的因素，直到模型達(dá)到預(yù)定的要求為止。編寫模擬程序之前，要先畫出程序框圖或?qū)懗鏊惴ú襟E。然后選擇合適的計(jì)算機(jī)語言，編寫模擬程序。運(yùn)行模擬程序，計(jì)算結(jié)果。為了減小模擬結(jié)果的隨機(jī)性偏差，一般要多次運(yùn)行模擬程序。分析模擬結(jié)果，并檢驗(yàn)。模擬結(jié)果一般說來反映的是統(tǒng)計(jì)特性，結(jié)果的合理性、有效性，都需要結(jié)合實(shí)際的系統(tǒng)來分析，檢驗(yàn)，以便提出合理的對策、方案。以上步驟是一個(gè)反復(fù)的過程，在時(shí)間和步驟上是彼此交錯(cuò)的。比如模型的修改和改進(jìn)，都需要重新編寫和改動(dòng)模擬程序。模擬結(jié)果的不合理，則要求檢查模型，并修改模擬程序。五、模型建立與求解問題一的回答設(shè)全時(shí)服務(wù)員每天雇傭時(shí)間從12:00至1:00人數(shù)為x1,1:00至2:00為x2.半時(shí)服務(wù)員從9:00至1:00以小時(shí)為單位分別為y1,y2,y3,y4,y5.則列出模型如下:Min=100x1+100x2+40y1+40y2+40y3+40y4+40y5約束條件如下:x1+x2+y1>=4x1+x2+y1+y2>=3x1+x2+y1+y2+y3>=4x2+y1+y2+y3+y4>=6x1+y2+y3+y4+y5>=6x1+x2+y4+y5>=8x1+x2+y5>=8y1+y2+y3+y4+y5<=3x1,x2,y1,y2,y3,y4,y5>=0,且為整數(shù).所求的結(jié)果如下由結(jié)果分析：問題一的回答：雇傭全時(shí)服務(wù)員7人,半時(shí)服務(wù)員3人.其中12:00-1:00全時(shí)服務(wù)員3名，1：00-2：00全時(shí)服務(wù)員4名。11：00-12：00雇傭半時(shí)服務(wù)員2人，12：00-1：00雇傭半時(shí)服務(wù)員1人。.問題二的回答：不能雇傭半時(shí)服務(wù)員,則全時(shí)服務(wù)員11人,其中12:00-1:00全時(shí)服務(wù)員5名，1：00-2：00全時(shí)服務(wù)員6名。最小費(fèi)用1100元,即每天至少增加280元.問題三的回答：如果雇傭半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒有限制,則應(yīng)雇傭全時(shí)服務(wù)員0人,半時(shí)服務(wù)員14人,其中雇傭半時(shí)服務(wù)員9：00——10：00為4人，11：00-12：00為2人，12：00-1：00為8人。且最少費(fèi)用560元,即每天減少260元.六、模擬程序設(shè)計(jì)Max=-100*x1-100*x2-40*y1-40*y2-40*y3-40*y4-40*y5;x1+x2+y1>=4;x1+x2+y1+y2>=3;x1+x2+y1+y2+y3>=4;x2+y1+y2+y3+y4>=6;x1+y2+y3+y4+y5>=6;x1+x2+y4+y5>=8;x1+x2+y5>=8;y1+y2+y3+y4+y5<=3;y1+y2+y3+y4+y5<=3;end七、誤差分析對于題目中給出的數(shù)據(jù)，采用了直接使用,這對問題的回答不會造成影響。對于問題中的要求人員應(yīng)為整數(shù)解，這對于模型的建立沒有影響，但對模型的求解法求解是基于表達(dá)式的，所以在模型求解時(shí)存在一定的誤差。八、模型的應(yīng)用本模型可用于資源決策分配的最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的問題，適用范圍廣,操作簡單。如產(chǎn)品分發(fā)問題,時(shí)間安排問題,股票投資問題等九、模型評價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：模型實(shí)用范圍較廣，問題結(jié)果清晰透徹，具有合理可靠性，適用于多個(gè)同類問題。模型的缺點(diǎn)：模型操作得細(xì)心，需使用多種數(shù)據(jù)處理工具。十、小結(jié)數(shù)學(xué)建模是一個(gè)經(jīng)歷觀察、思考、歸類、抽象與總結(jié)的過程，也是一個(gè)信息捕捉、篩選、整理的過程，更是一個(gè)思想與方法的產(chǎn)生與選擇的過程。它給學(xué)生再現(xiàn)了一種“微型科研”的過程。數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)探索的情感體驗(yàn)；有利于學(xué)生自覺檢驗(yàn)、鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)知識的深化、發(fā)展；有利于學(xué)生體會和感悟數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)教師自身具備數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建意識與能力，才能指導(dǎo)和要求學(xué)生通過主動(dòng)思維，自主構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型，從而使數(shù)學(xué)課堂彰顯科學(xué)的魅力。為了使描述更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時(shí)候我們需要做一些實(shí)驗(yàn)，但這些實(shí)驗(yàn)往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實(shí)際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)本身也是實(shí)際操作的一種理論替代。1.只有經(jīng)歷這樣的探索過程，數(shù)學(xué)的思想、方法，才能沉積、凝聚，從而使知識具有更大的智慧價(jià)值。動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)主動(dòng)、活潑的、生動(dòng)和富有個(gè)性的過程。因此，在教學(xué)時(shí)我們要善于引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，對學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)主動(dòng)歸納、提升，力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。教師不應(yīng)只是