東莞外國語學校2024學年高二（下）第一次階段性考試數學試卷命題人：一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數，則該函數在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有（

）種.A．81 B．64 C．24 D．43．x-25的展開式中的系數為（

）A．40 B．-40 C．80 D．-804．函數的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（

）A． B．C． D．5．若函數在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或6．已知函數，其導函數記為，則（

）A． B．0 C．1 D．27．已知為函數的導函數，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．8．已知，則（

）A． B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．丹麥數學家琴生（Jensen）是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上恒成立，則稱函數在上為“凸函數”，以下四個函數在上是凸函數的是（）A． B．C． D．10．若，，且，則下列結論中不一定成立的是（

）A．B．C． D．11．已知函數存在個不同的正數，，使得，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5 B．的最大值為4C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．要從甲、乙、丙3名工人中選出兩名分別上日班和晚班，有______種不同的選法．13．若函數，則______.14．已知函數，，則實數的取值范圍是________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．投石入水，水面會產生圓形波紋區(qū)，且圓的面積隨著波紋的傳播半徑的增大而增大（如圖）．計算：(1)半徑從增加到時，圓面積S相對于的平均變化率；(2)半徑時，圓面積S相對于的瞬時變化率．16．已知6件不同的產品中有2件次品，4件正品，現(xiàn)對這6件產品一一進行測試，直至確定出所有次品則測試終止.（以下請用數字表示結果）(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，且第4次測試時，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試情況？(2)若至多測試4次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？17．已知.(1)若，求中含項的系數（請用數字表示結果）；(2)若，求的值（請用指數形式表示結果）．18．已知函數（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若恒成立，求的最小值。19．（17分）英國數學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數都存在時，．注：表示的2階導數，即為的導數，表示的階導數，該公式也稱麥克勞林公式．（1）根據該公式估算的值，精確到小數點后兩位；（2）由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明；（3）設，證明：．東莞外國語學校2023-2024學年高二第一次段考參考答案1．C.2．A【解析】每封信可以投個不同的信箱中的其中一個，由分步乘法計數原理可得，不同的投法種數為種.3．A.【解析】首先寫出展開式的通項，再代入計算可得；【解析】x?25的展開式的通項T令5?r=3，解得r=2，所以T3=C524．B【解析】由函數的圖象可知：當時，單調遞增，且增速變緩慢，，表示直線的斜率，根據導數的幾何意義可知，，5.C【解析】，則當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，即在處取得最值，則有，解得.6．B【解析】函數定義域為，可得，兩邊同時求導，則有所以.7．C【解析】對兩邊同時求導，得，令，得.8.D【解析】法一：，由于在恒成立，故在遞減。．法二：而故，則有．(無腦洛)9．ABC【解析】對于A，由，得，則，因為，所以，所以此函數是凸函數；對于B，由，得，則，因為，所以，所以此函數是凸函數；對于C，由，得，則，因為，所以，所以此函數是凸函數；對于D，由，得，則，因為，所以，所以此函數不是凸函數，故選：ABC10．ABC【解析】令，，則，∵當時，，，即，∴在上單調遞增，∵的定義域關于原點對稱，，∴為偶函數，圖象關于軸對稱，∴在上單調遞減，∵，即，∴，故D正確，而ABC不一定成立.11．【答案】ABD【解析】由得，令，與單調性一致，，易知在上單調遞減，在上單調遞增，在時，取得極小值（最小值），所以，在上單調遞增，在上單調遞增，即B正確；在時，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯誤.故選：ABD.12．【答案】6【詳解】13．【答案】0【詳解】因為，所以兩邊同時求導數可得令，則，所以，即，，所以，，則，14.【解析】15．【解析】（1）圓面積S相對于半徑的平均變化率為．（2）在表達式中，讓d趨近于0，得到圓面積S相對于的瞬時變化率為。（恰為此時圓的周長）16．【解析】（1）需測試4次，按順序可看作為4個位置，兩件次品置于第二，四位，有放法數；其余二個位置放二個正品，有放法數由乘法原理方法數為：種不同的測試情況；（2）至多4次可分為恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，恰好2次，即前2次測試都是次品，方法數為；恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法數為；恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法數為；也可以是前四次全是正品，方法數為故共有種不同的測試情況17．【詳解】（1），因為展開式中的第項，所以展開式中含項分別為，故中含的項為，所以中含項的系數為99.（2），令得①，令得②，兩式相減①-②：，所以.18．【解析】（1）當時，，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為。（2）令，則有，（觀察前的系數，則，必要性探路，下一步驗證等號成立即可，由中，結合圖象可知為左右函數的切點，在此點處有公切線，在時成立，則，結合，從而有）下面證