專題1.1直角三角形（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】直角三角形的性質(zhì)和判定1.直角三角形：有一個內(nèi)角是直角的三角形。（1）三角形內(nèi)角和等于180°。（2）三角形中線：連接三角形的一個頂點與它的對邊中點的線段。2.直角三角形的性質(zhì)（1）直角三角形的兩個銳角互余。（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（3）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（4）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。3.直角三角形的判定（1）有兩個角互余的三角形是直角三角形。（2）如果三角形一邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。【知識點二】勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊的c的平方，即a2＋b2=c2。2.在直角三角形中，已知任意兩條邊長，可以根據(jù)勾股定理求出第三邊的長。3.如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a2＋b2=c2，那么這個三角形是直角三角形?！局R點三】直角三角形全等的判定1.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）。2.直角三角形全等的條件（A表示對應(yīng)角相等、S表示對應(yīng)邊相等）【知識點四】角平分線的性質(zhì)1.角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。2.角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在叫的平分線上。【考點一】直角三角形的性質(zhì)與判定（1）【例1】（2024上·上海虹口·八年級上外附中?？计谀┮阎喝鐖D，在中，，，高與高相交于點F，G為的中點．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理．（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進(jìn)而可以解決問題；（2）由（1）得，然后證明，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．解：（1）證明：∵，，，，在和中，，，，∵G為的中點．，，∴E為的中點．，；（2）證明：由（1）知：，，在和中，，，，，，，，，．【舉一反三】【變式1】（2022上·山東德州·八年級?？茧A段練習(xí)）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判定三角形是否為直角三角形，即計算各個角的度數(shù)，有一角為直角就是直角三角形，若無直角就不是直角三角形．解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合題意；D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意故答案為：C【點撥】本題考查了直角三角形的定義及判定，根據(jù)三個角的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行細(xì)致的計算是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2024上·云南曲靖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點為邊上一點，連接，．若，則．【答案】4【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、等角對等邊，先求出，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，再由三角形外角的定義及性質(zhì)得出，最后由等角對等邊得出，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．解：，，，，，，，，，故答案為：．【考點二】直角三角形的性質(zhì)與判定（2）【例2】（2024上·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）在中，，進(jìn)行如下操作：（1）如圖1，將沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點與重合，折痕為，若，，求的長；（2）如圖2，將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，且與重合，若，，求的長．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查勾股定理與折疊問題以及一元一次方程的應(yīng)用．（1）由折疊的性質(zhì)可得，然后設(shè)，，然后根據(jù)勾股定理即可求出．（2）由勾股定理求出，由折疊的性質(zhì)可得：，進(jìn)而求出，設(shè)，則，，然后根據(jù)勾股定理即可求出．（1）解：由折疊的性質(zhì)可得：，∴在中，設(shè)，則，即解得：，即．（2）在，∵，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，設(shè)，則，，則，解解得：，即．【舉一反三】【變式1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一個直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，利用勾股定理解題即可；解：設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得到：；故選A．【點撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而應(yīng)用勾股定理解題．【變式2】（2023上·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點A、B表示的數(shù)分別為0、2，于點B，且，連接，在上截取，以A為圓心，的長為半徑畫弧，交線段于點E，則點E表示的實數(shù)是．【答案】/【分析】本題主要考查了勾股定理及實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理及實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理可得的長，由題意可得，即，因為，即可得出答案．解：∵，∴，∵，∴，∴，則點E表示的實數(shù)是．故答案為：．【例3】（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，已知點是等邊內(nèi)一點，連接，，，為外一點，且，連接，，．（1）求證：．（2）若，，，求∠APB的度數(shù)．【答案】（1）見分析；（2）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出是等邊三角形，得到，，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，于是得到結(jié)論．解：（1）證明：是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，在與中，，；（2）解：，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，．【舉一反三】【變式1】（2023下·山東濱州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，，，，，都是格點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，通過平行線的性質(zhì)可得，，則，通過勾股定理的求得、、的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理確定的形狀，即可求解．解：連接，找到格點，連接，如下圖：由題意可得：∴，∴由勾股定理可得：，，∴，∴為等腰直角三角形∴即故選A【點撥】此題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．【變式2】（2023下·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)有一塊四邊形空地，為了美化小區(qū)環(huán)境，現(xiàn)計劃在空地上鋪上草坪，經(jīng)測量、米，米，米，米，若鋪一平方米草坪需要50元，鋪這塊空地需要投入資金元．【答案】11700【分析】連接，先利用勾股定理求出的長，再用勾股定理逆定理證明是直角三角形，即可求出四邊形的面積，再求出答案即可．解：連接，、米，米，（米），米，米，，是直角三角形，四邊形的面積為：（平方米），則（元），即鋪這塊空地需要投入11700元，故答案為：11700．【點撥】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【考點三】直角三角形全等的判定【例4】（2024上·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）在中，，點分別在邊上，（1）如圖（1），若，求證：．（2）如圖（2），若，則線段與線段相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．【答案】（1）證明詳見分析；（2）相等，理由詳見分析．【分析】本題考查了直角三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)直角三角形的全等判定證明即可．（2）過點作交的延長線于，過點作交的延長線于．仿照（1）證明直角三角形全等即可．解：（1），均為直角三角形，又．（2）相等，理由如下：如圖所示，過點作交的延長線于，過點作交的延長線于．，，，，，．【舉一反三】【變式1】（2023上·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，把繞點旋轉(zhuǎn)至的位置，延長交于點．若，．則的長為（）A．9 B．6 C．8 D．7【答案】B【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題關(guān)鍵．連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，再利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，易得，即可獲得答案．解：如圖，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．故選：B．【變式2】（2023上·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點D，在上取點F，使得，連接并延長交于點E，則．【答案】【分析】此題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出，得到，再證明，然后利用等面積法求出即可．解：∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，,∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得，故答案為：．【考點四】角平分線的性質(zhì)【例5】（2024上·湖南長沙·八年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，平分交的延長線于點，且．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．（1）過點作，角平分線的性質(zhì)，得到，證明，得到，根據(jù)，即可得證；（2）證明，得到，利用，求出的長，進(jìn)一步求出的長即可．解：（1）證明：過點作，∵平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，和的平分線交于點，連接，若，，的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，過作于點，作于點，由角平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)求面積公式即可，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：過作于點，作于點，∵平分，∴，∵的面積為，∴，則，∴的面積為，故選：．【變式