高考數(shù)學(xué)全真模擬沖刺試卷

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分.

1.已知集合用=｛。,0｝,N=｛%,2-3%<0,》62｝,若MCNH。，則。等于（）

A.1B.2C.1或2D8

2.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,

那么函數(shù)解析式為y=/,值域為｛1,4｝的“同族函數(shù)”共有（）

A.7個B.8個C.9個D.10個

3.數(shù)列｛風(fēng)｝中，％=2，%=】，且數(shù)列?丁\?是等差數(shù)列，則等于（）

212

A.B.—C.—D.5

523

4.把函數(shù)y=cosx-JJsinx的圖象沿向量。=（一〃?,/"）（加>0）的方向平移后，所得的圖

象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（）

71?71C2萬r57

A.—B.—C.---D.—

6336

5、。是平面上一定點，A,B、C是平面上不共線的三個點，動點。滿點

OP=OA+〃尸產(chǎn)一+尸產(chǎn)一）,幾6[0,+8）,,則P點的軌跡一定通過A46C的

AflcosfiAGcosC

A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心（）

6.過點（一4,0）作直線/與圓/+y+2》—4y—20=0交于A、B兩點，如果|A8|=8,

則（）

A./的方程為5x+12y+20=0或x+4=0;

B./的方程為5x-12y+20=0或x:+4=0；

C.2的方程為5x+12y+20=0；

D./的方程為5x—12y+20=0；

22

7.F,>F2是雙曲線日一一二=1的焦點，點P在雙曲線上，若點P到焦點B的距離等于9,

則點P到焦點F2的距離為()

B.17C.1或17D.6

------7

2

8.已知復(fù)數(shù)Z1=a+i,z2=l+ai,若」是實數(shù)，則實數(shù)a的值等于

B.-1C.-2

10.條件中能使命題“a〃b且"/c=a〃c”為真命題的條件的個數(shù)是()

①a,b,c都表示直線；②a,b,c中有兩個表示直線，另一個表示平面；

③a,b,c都表示平面；④a,b,c中有兩個表示平面，另一個表示直線；

A.1個B.2個C.3個D.4個

11.如圖，虛線部分是四個象限的角平分線，實線部分是函數(shù)①

y=/(X)的部分圖像，則/(X)可能是()八

A.xsinxB.xcosx八

C.X2cosxD.x2sinxUIVH

12.一機器貓每秒鐘前進或后退一步，程序設(shè)計師讓機器貓以

前進3步，然后再后退2步的規(guī)律移動。如果將此機器貓放在數(shù)軸的原點，面向正方向，以

1步的距離為1單位長移動。令P(n)表示第n秒時機器貓所在位置的坐標(biāo)，且P(0)=0,

則下列結(jié)論中錯誤的是()

A.P(3)=3B.P(5)=1C.P(101)=21D.P(101)>P(104)

第II卷(非選擇題共120分)

二、填空題:本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，x軸的正半軸上有2006個點，y軸的正半軸上有2007個點，這

4013個點任意兩點連線，則所有連線段的交點落入第一象限的最多有個.(用式

子作答)

14.若不等式J4x—爐>公的解集為{卅0<%44},則實數(shù)的取值范圍是

211

15.若年+1卜一2)“=a°+aj(x-l)+a2(x-l)H--Faj^x-l),則

+3a3+,,,+1laH)—(2a2+4a4+,,,+10a10=(用數(shù)字作答).

16.對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點A(F，M)、B(x2,y2),定義它們之間的一種“距離”:

|A@=%一引十回一%|。給出下列三個命題：①若點C在線段AB上，則

|Aq+|C@=MM②在AABC中，若NC=90°,則|AC|「+|C叫之=慎.『③在4ABC中

MI+WI>IM-其中真命題的是

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本題12分)在AABC中，已知角4,B,C所對的三條邊分別是mb,c,且滿足從=

ac.

(1)求角B取值范圍；(2)求函數(shù)y=1+sin23的取值范圍.

'sinB+cosB

18.(本題12分)小張有一只放有a個紅球，b個黃球，c個白球的箱子，且a+b+c=6(a,b,

cwN),小劉有一只放有3個紅球，2個黃球，1個白球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任

取一球，規(guī)定：當(dāng)兩球同色時小張勝，異色時小劉勝.

(1)用a、b、c表示小張勝的概率；

(2)若又規(guī)定當(dāng)小張取紅、黃、白球而勝的得分分別為1分、2分、3分，否則得0分，求

小張得分的期望的最大值及此時a、b、c的值.

19.(本題12分)設(shè)函數(shù)/(x)=ax?+Zzx+c,其中aeN+，〃eN,ceZ.

(1)若匕>勿，且函數(shù)/(sinx)(xeR)的最大值為2,最小值為一4,求/(x)的解析式；

(2)在(1)的條件下設(shè)函數(shù)g(x)=-/(x)+7x—2在同〃］上的值域是［―5,4］,試求

加2+〃2的取值范圍.

20.（本題12分）直四棱柱ABCD-A\B\C\D］中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且

ZABC=60,側(cè)棱AAi長等于3m。為底面A8CD對角線的交點.

（1）求證：04〃平面BCG；

（2）求異面直線AC與A1所成的角；

（3）在棱A4|上取一點凡問4尸為何值時，Ci八L平面8。尸?

21.（本題12分）已知雙曲線M：/一9=1，直線/與雙曲線M的實軸不

垂直，且依次交直線）=x、雙曲線V、直線y=-x于A、B、C、D四點，。

為坐標(biāo)原點.

(1)若ABBC=CD,求△4。。的面積;

⑵若△BOC的面積等于△AOD面積的;，求證：

AB=BC=CD.

22.(本題14分)已知數(shù)列｛4｝滿足>0,且對一切“6N+,有自al=S?,其中S”=￡

Qi,

(1)求證：對一切〃￡N+,有i-an+i=2Sn；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑶求證:￡*<3。

答案

一、選擇題

1、答案C。由集合N中的不等式得0<x<3,又由于xeZ,故7={1,2},所以a=l或2

2、答案C。分別令x2=l和4得*=±1和±2。要使得值域為{1,4},定義域必含±1中的至

少一個和±2中的至少一個。所以組合起來有如下9種：{1,2},

{1,-2}{-1,2}{-1,-2){1,-1,2}{1-1-2}{1,2,-2}{-1,2,-2){-1,1,-2,2}

1______

3、答案B。數(shù)列」」一的公差為&+I,所以=-J—+4x=2,

%+17—324q]+1%+1243

因此4」

4、答案C。y=cosx-V3sinx=2cos(x+y),按a平移得y=2cos(x+機+5)+m，

TT7T27r

令m+—=k兀，得加=kr,當(dāng)k=l時m取得最小正值——。

333

AR

5、答案Bo由結(jié)構(gòu)j二一.想到向量的數(shù)量積，原式即為

AqcosB

——?=AR—+產(chǎn)A令C—)，等式兩邊同時點——乘?,得

AficosBACcosC

AP*BC=A(|BC|-|BC|)=O,所以P過AABC的垂心。

6、答案A。由d=._(g)2得圓心到直線/的距離為3,再由點到直線的距離公式得直

線/的斜率是-』，得到一個解，說明可能存在的另一條直線的斜率不存在，故去驗證

12

得A答案。

7、答案D。由于雙曲線中a+c=4+6=10>9,所以點P只能在靠近焦點F,的那一支上，故

|*=2a+|P6|=2x4+9=17

8、答案Bo上二^-----尸-----"故a3+1=0,得a=-l.

Z1a+1

9、答案Co由二次函數(shù)的性質(zhì)知三點可確定一條拋物線，但兩點連線不能與縱軸平行,

CA-2X43

故其概率為—=-

10、答案B。①由公理4可得，③是兩平面平行的判定定理，②和④可通過一一驗證來否定。

11、答案A。由圖知此函數(shù)是偶函數(shù)，故排除B與D,又函數(shù)圖象落在區(qū)域內(nèi)，所以

選Ao

12、答案D。由于“機器貓以前進3步，然后再后退2步的規(guī)律移動”，因此可以認(rèn)為機器

貓的運動以5為周期向前前進1步。易推A與B成立，101除以5得20余1,所以P（101）

=21,而104除以5得20余4,i^P（104）=22>P（101）

二、填空題：

13、答案為c；0G6.Cio7。構(gòu)造凸四邊形，凸四邊形對角線的交點在凸四邊形內(nèi)，故最多

有C；o/C4o7個點。

14、答案為。<0。令必=^4x-X2,它表示以（2,0）為圓心、2為半徑的上半個圓；

令力=?！?，它表示一條過原點的直線?，F(xiàn)要使得y>必在0<xW4成立，即在0<xW4時

直線落在半圓下方，故斜率。<0。

15、答案為0。兩邊求導(dǎo)，再分別把x賦值x=2,x=0,最后把所得兩式相乘即得.

16、答案為①。設(shè)A（x「y）、B（Z，為）、C（%3，乂），利用定義知①成立；②③驗證可

以先這樣建系：以C為原點，CA為x軸的正向建系，則

伊球二總,|。⑼2=只,恒歐=區(qū)+%）2,故②不成立，③不成立。

三、解答題：

17.（1）由/=ac和由余弦定理，得

2分

2ac

lac—ac1

.4分

lac2

71

又：Be(0,n),：.OVBW—.6分

3

1+sin2B(sinB+cosB)~

(2)y=-------------=----------------

sin3+cos3sinB+cosB

=cos3+sinB=V2sin(B+^),......................8分

八一九.乃兀兀

又0VBW—,?■—VBHW.......................10分

34412

Al<V2sin（B+^）<V2）即原函數(shù)的值域是（1，V2）..............12分

18、解：（1）P（小張勝）=P（兩人均取紅球）+P（兩人均取黃球）+P（兩人均取白球）

a3b2c13a+2b+c

=-X—+—X---F—X——--------------5分

66666636

(2)設(shè)小張的得分為隨機變量則

“c1”b2上a3

P(J=3)=-X-,P(J=2)=—X—,P(J=1)=-X—,

666666

I_i_「

P(^=O)=1一P(小張勝)=1-——,.........................................9分

36

；.E3x2x2+1—(I3a+2b+c

36)

666666

3Q+4/7+3C3(Q+/?+C)+81b

----------------=--------------------=—?

3636236

a,b,c《N,a+b+c=6,b=6,此時a=c=O,

,當(dāng)b=6時，Ej=—H-----=—+—=—,此時a=c==O,b=612分

236263

Ab

19.解：(1)因為/(sinx)=a(sina+-)2-------

2a4a

b

又b>2a,所以----<-1,因為cz>0,-1<sinx<1,2分

2a

所以當(dāng)sinx=l時，/(sinx)max=〃+〃+c=2,

當(dāng)sinx=-l時，/(sinx)min=a-b+c=-4；..........................4分

解得：h=3,v2。<b,aG7V+,.\a=l,c=-2

所以/(X)=X2+3X-2；..........................6分

(2)因為g(x)=—(x-2)2+4<4

又/(—1)=一5,/(5)=-5..........................8分

因為當(dāng)工￡麻,〃］時，值域為［-5,4］.

所以〃2=-1且2<〃45或一14m<2且〃=5,..........................10分

所以5<m2+n2<26^25<m24-n2<29,

所以5<m2+?2<29...........................12分

故異面直線AC與AjB所成的角為arccos爺?...........................7分

(3)是菱形，；.5￡>J_AC又AA，BO,，3。，平面AAgC.

?；C、Fu平面AA,C,C,；.BD1C[F......................................................................9分

故GF_L平面BOFOC,F1OF.：.tanZ^C,F=tanZAFO...................10分

a

設(shè)則4F=3a-x.；.=3a-x,即2/-6以+/=0,

xa

解得彳=延立4.

2

故當(dāng)4尸=3士ya時,G尸J■平面BOF.....................................12分

(方法二)以。為原點，0C、0。所在直線分別為

x軸、y軸，貝1]。(0,0,0),C號，0,0),A(-|,0,0),

8(0,-4a,0),Q(0,0,3a),A,(--1,0,3a),B0一4a,3a),

D,(0,坐a,3a),D(0,乎40),R(g,0,3。)..........3分

⑴0c=(1,0,0)-(0,0,-3a)=(1,0,—30,

OA=(--1,0,3a).

???OA,=—QC，。4〃QC，℃u平面B、CD1,。4u平面Bg,

.?.04〃平面BiCDi.............................................................................................................5分

(2)AC=(1,0,0)-(-1,0,0)=(a,0,0),

A1B=(0,-^-a,0)-(—^,0,3a)=~^~a,-3a),

AC-AB

于是cos〈AC，AB〉=t

故異面直線AC與A\B所成的角為arccos3k.8分

⑶設(shè)尸（一彳，0,z）為例上任意一點，則G尸=（一彳，0,z）-號，0,3?）=（-a,0,z-3。）.

?:C、FBD=Q,于是CIF,平面BOFOGFOF=0=4+z(z-3a)=0.

解得z=3土由a.即4尸=3±"a時,GFJ_平面80F....................................12分

22

21.(1)設(shè)/:y=fcc+b代AA，-y?=1,

^(l-k2)x2-2bkx-b2-1^0.(1)................................................................2分

顯然2H±1,A^4b2k2+4(\+b2)[\-k2)>0,

即6+(1-/)>0.

設(shè)B(x,,y,),C(x2,y2),則%,x?是方程⑴的兩個根，有

2hk-(+/)

x.=—,X,X4分

1+22}-k2

設(shè)A(W，K),D(x4,y4)

由產(chǎn)"+"得寸上；由'='得l2。

y=x,\-k[y=-x,[+%

|AM=|8C|=|C￡)|,所以卜一&1=學(xué)芻_%|。.........................6分

所以，（豫J+好Ml卷〉整理’得七件F

■,b2>0,k2>1.又|OA|=&--,\OD\=V2,ZAOD=90°,

1〃29

S^OB=-|OA|-|OD|=p—="-............................................................................8分

（2）設(shè)BC的中點為尸.AD的中點Q,則勺=與上=上,％=±要=4,

2\-k-02\-k2

xP=xQ,又P,。都在