2024高三復習計劃：歷年高考數(shù)學17個必考題型

怎樣迅速提高學習成績？小編老師特意整理出2024高三復習計劃之歷年高

考數(shù)學17個必考題型，希望能夠為廣大考生和家長提供幫助。

17個必考題型

01題型一

運用同三角函數(shù)關(guān)系、誘導公式、和、差、倍、半等公式進行化簡求值類。

33yY__TT

a=(cos-x,sin—x),b-(cos—?-sin-),

例1已知向量22222

（1）若。十八＞出，求x的取值范圍；P

⑵的數(shù)6+|a+b|,若對任意外多%㈤，恒有1/（百）-/（3＜，出的

取值范圍。，

解.(I)Qa1=(|=LaA=cos2rsa+61=j2+2cos2x=-2cosx>出

I■乃1.5萬,

cosx〈-1,.Qx€[—,zr],..—<x4乃

即226…

?3

/(x)=〃6+|〃+6|=cos2x-2cosx=2(cosx—)2--

⑵22。,

Q-l^cosx<0,.-./(x)=3,/(x).=-1

anttiJ又

Q/(4一/(七)//(x)ttlx-/(x)air.=4.」>4"

02題型二

運用三角函數(shù)性質(zhì)解題，通?？疾檎?、余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值、對

稱軸及對稱中心。

1--1

例2已知向量〃二(汕匕U),2cosa),G吐腦ae(01)

(1)求sm2吸sina的值；P

/(x)=5sin(-2x+Z+a)+2cos2x(xe[—,—])〃、

〈2)設(shè)出數(shù)2242,求x為何值時，/(X)取得最

大值，最大。

值是多少，并求,(X)的單調(diào)熠區(qū)間。~

11,24

ab=sina-cosa二一(sina-cosa)2=1-sin2a—sm2a=—

解：⑴25-25P

49734

(sina+cosa)2=1+sin2a=sina+cosa=—cosa=-sina=—

25}???5-5,5?

⑵/(X)=5cosQx-a)+1+cos2x=5(cos2xcosa+sin2xsina)+cos2x+1”

34/—T

=5(-cos2x+丁sin2x)+cos2x+1=4COS2J:+4sin21+1=4&sin(2x+])+1—<x<—

??242,

開/、7/57X

—<2x-?--<——x=—=、)=《)》",要使”歡單調(diào)遞吟

-344?.當24時,

--+2fcr^2x*—<—+2fcr一旦+fcrVx4±+Z)/嗚亭，...八歡的

?24288

,,?

單調(diào)增區(qū)間為%N.

03題型三

解三角函數(shù)問題、判斷三角形形狀、正余弦定理的應用。

例3在△曲中，角A,B,0的對邊分別為a,6,c.已知向量

m=(a+c,b-a)n=(a-c,b)j,?

sinJ+sin5=^

<1）求角0的大?。唬?）若2,求角A的信。"

解：（1）由次J~"得（4+0乂々-仁）+（°一口）6=0；整理得/+/—J—lb=0

!C=-

3.又因為0<c（汽所以一§

71,n2乃_17U

C=-4+3=—B="-■■■一月

(2)筋3,所以3,故3

sin月+sin萬

由

,尸5萬

.I-sn(?4+—)=0<A<-nn

所以，3sm4+cosN=J2.即62.因為3所以666產(chǎn)

,7C7t，乃3〃4=24=乂

A+—=—4+—=—

故64或6412或12

04題型四

數(shù)列的通向公式的求法。

A、定義法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。。

B、公式法：已知S”（即4+生+L+/=/（?））求%，用作差法:

_凡(〃=1)

一⑸-S/(H22)°

例.已知數(shù)列瓦｝的前〃項和S“滿足S"=2^+(-1)\?>1.求數(shù)列瓦｝

的通項公式。，

解：由q=Si=2q-1=q=1。

當“22時，有4=S3rs4i=2(q［-4,7)+2x(-1)”,。

%=2aM+2X(-1),H1.p

。41=247+2*(-1)1....,。2=2。1-2.’

=r1q+r1x(-I)+2n-2x(-q)2-+L+2x(-/,

=2^+(-?。?-產(chǎn)+(37+A+(-切

孑―)*")*

、［產(chǎn)X-DB

經(jīng)驗證劣=1也滿足上式，所以a”=32標2+(-l)x卜

C、累加法…

若4+1-4=/(〃)求4：4=(4一。~1)+(67-。標2)+1+(4-q)+q("N2)。~

D、累乘法：已知—="〃)求明,用累乘法：4=旦一321蟲9("22)。，

4-1q

E、已知遞推關(guān)系求外,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。~

①/⑻為常數(shù)，即遞推公式為"】=P*+q(其中P，q均為常數(shù)，

(pq(p-l)HO))。，

解法:轉(zhuǎn)化為：叫「”「(/T)，其中七4一，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)

1—y?

例.已知數(shù)列中，ax=1,=2an+3,求4：,

解?設(shè)遞推公式。.尸2%+3可以轉(zhuǎn)化為a.iT=2(%T)即

=2an-t=>r=-3.故遞推公式為+3=2(an+3)，令bn=an+3,則

4=q+3=4且弧=色色=2.所以也，｝是以與=4為苜項，2為公比的等比數(shù)

以an+3

歹I],則勾=4x2^=2叫所以勺=23-3?

列求解?！?/p>

例.已知數(shù)歹U瓦｝巾，ax=1,.1=2%+3,求4."

解，設(shè)遞推公式,i=2%+3可以轉(zhuǎn)化為-r=2(a?-t)即

=2an-rnr=-3.故遞推公式為+3=2(a.+3)，令"=4+3,則

餌=4+3=4且弧=色色=2.所以現(xiàn)｝是以4=4為首項,2為公比的等比數(shù)

b“4+3

列，則以=4x2*1=2"土所以4=22-3*

05題型五

數(shù)列的前n項求和的求法。

1.公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，〃

特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分

類討論*

常用公式：1+2+3+L+n=in(n+1),1"+22+L+n2=-in(n+lX2n+l),“

2o

2.分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先

合并在一起，再運用公式法求和.，

3.倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合

數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)

列前〃和公式的推導方法)一

及特征)P

1+11+111+…+111231P

=扣】-1)+1(102-1)+1(103-1)+..-+^(10>2-1)(分組求和).

=—(IO】+10,+10,+.—F10)——Q+4*2旬-綾1)<

99仆1

w

—_—1.10(10-l),—_ny

910-19

=A(ioM+1-lO-9n)^

06題型六

利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

1.”/=/-3/+2在區(qū)間［T/上的最大值是？，

2.已知函數(shù),=〃x)=x(i)?在x=2處有極大值，則常數(shù)c?。

3.函數(shù)3+3x4有極小值?，極大值?p

07題型七

利用導數(shù)幾何意義求切線方程。

1.曲線y=4x_d在點(-L-3)處的切線方程是y=X-2"

2.若曲線在P點處的切線平行于直線n->=。，則JP點的坐標為

(1,0)p

4.求下列直線的方程：，

(1)曲線>=?+/+1在P(-1,1)處的切線；(2)曲線》=/過點P(3,5)的切線;"

解.(I)?點尸(T怵曲繚nx'+f+1上，=>3X2+2X二k=y\-IU3-2T

所以切線方程為y-Jx+i，防-尸2.。，

(2)顯然點P(3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點為“保2。)，則為=療①又函

數(shù)的導數(shù)為爐=〃，~

所以過祖動前點的切線的斜率為卜=>-7=2X0,又切線過"％JO)、P(3,5)點，所

%_九7]4=1或[勺=>

以有"x°-3②，由①?聯(lián)立方程組得，佻=「忻=25,即切點為(1,1)時,

切線斜率為%=為=3當切點為(5,25)時，切線斜率為3=24=1。；所以所

求的切線有兩條，方程分別為1=2(1)熟-25=10(xf即)=2xT典=10x-25p

08題型八

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值

1.已知函數(shù)/(X)=f+#+6x+c,過曲線y=/(x)上的點P(1J(1))的切線方程

為y=3x+l

(I)若函數(shù)/(X您=-2處有極值，求，(x)的表達式；，

(口)在(I)的條件下，求函數(shù)，=〃x)在［-3,1］上的最大值；"

(III)若函數(shù)J'=〃x)在區(qū)間1―2,1］上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍，

解.(1)由/(入)=2+蘇+云+6求導數(shù)葡'。)=3工'+2"+6中

過)=/(x)上點尸(L/。))的切線方程為：，

)-/(1)=/'(lXx_1),即￥-9+6+c+1)=(3+24+6XX-1).,

而過歹=f(x)上RL〃1)］的切線方程物=3X+1*

［3+%+8=3［2a+d=0①，

故!*"=-3［a-c=-3/②.

?.?y=/(x)在x=-2時有極值，故尸(-2)=0,，7a+b=-12③/

J

由①得a=2,b=-4,c=5/,/(x)=?+2x-4x+5..

(2)/'(x)=3x：+4x-4=(3x-2Xx+2).「

,-34x<-2fl寸J(x)>0:當-24x<2時,r(x)<0:

當J。

當卜X，時/⑴>。"⑶==f(_2R3又""4"x)在㈠，業(yè)最大值

是13o￥

⑶尸f(x)在［-2,1］上單調(diào)遞增，又/'(x)=3x；+%x+瓦由①知2a+b=0。

依題意,'(X)在［-2,1］上恒有/'(X)三0,即3、：-執(zhí)+匕20.。

x=裊田寸J'(x)g=八1)=3—6+。>0,26

①當63P

②當x=14-對J'。)曰=r(-2)=12+>+b20,.”€0

一24。4田寸,/'。)四=^^20貝J04A46.

③當方12~

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是［0，《)~

09題型九

利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像。

只可能是(D)。

<A)(B)(D)，

的圖像為，、

2.跚3(A)P

10題型十

求參數(shù)取值范圍、恒成立及存在性問題。

A、分離常數(shù)法，

例1、已知函數(shù)〃x)=xlnx.(I)求/(x)的最小值；(II)若對所有X21都有

/(x)>ar-l,求實數(shù)a的取值范圍.，

解：(I)/(x)=Inx+1，令/(x)=0解得x=L，

e

又易知/(X電(0,-)上單調(diào)遞遍,P

Q

/(X庭(e,+8)上單調(diào)遞增，，

所以/⑴的最小值為fd)=-

ee

(U)依題意，得/(X)2ar-1在[1,+8)上恒成立，即不等式a《lnx+工對于

x

X€[l,+8)恒成立(分離常數(shù))2

令g(x)=lnx+L則g，(x)=2?一！=1'1一口.當X>1時，因為

XXX*X\XJ

故g(x)是(1,十8)上的增函數(shù)，所以g(x)的最小值是g⑴=1,所以a的取值

范圍是(-XJL?

B、與二次量的性質(zhì)、單調(diào)性、不等式等相聯(lián)系P

求解策略：，

1、利用“要使/(X)>a成立，只需使函數(shù)的最小值/(x)>a恒成立即可；

min

要使/(x)<a成立，只需使函數(shù)的最大值/(X)<a恒成立即可P

max

2、已知函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于導數(shù)大于或者小于。在給定區(qū)

間上恒成立的問題“

3、利用子空間的思想，即首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓題所給的區(qū)

間是所求區(qū)間的子集。

類型1.參數(shù)放在醴表達式上。

例1.設(shè)函數(shù)/@)=2*3—33-1)乂2—6^^8其中々^滅.。

⑴若=班得極值,求常數(shù)a的值.

(2徹(x)在(-x,0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍”

(1)由/(3)=0解箴=3.經(jīng)檢蛉知7=3吐x=3為/口削極值顯

(2)方法1：f(x)=6x'-6(a-l)x+6a=6(x-aXx-l)p

當a>犯寸J(x)在(-gJ),(a,+8)上遞增，符合條件.

當"時J(x)=6(x-l)：>0?恒成立J(x府(-8,y)上遞增.

當a<IB寸J(x拉(―上遞增，要保證/(x府(-8,0)上遞熠，則04a<1

綜上所述。>耐電上遞增.

因為3)在(-皿0)上遞增

所以/1(x)之曲e(f0)上恒成立

方法2:即Mx-1)2a(x-1)在x6(-8,0)上恒成立P

0x<Os.-.x-l<0

二xMa

從而a之0

方法3."

保證f(x)=6x--6(a-l)x-6a在(-x,0]Jz最小值大于或等于零

[a-17+1、人

4A士----<O-Il.......-O

故有；2或，2“

|_A40|/(0)=0

可解得。士0

類型2.參數(shù)放在區(qū)間邊界上,

例2.已知出數(shù)f(x)=/一療+cx-曲=0處取得極值曲線片/(x)過原點和

點P(12)若曲線j=/(x)在點P處的切線與直線J，=2x的夾角為45。且切線的傾

斜角為鈍角一，

(1)求/(x)的表達式"

(2)若/(x)在區(qū)間[2m-l,m+l]上遞熠，求m的取值范圍*

C、已知不等式在某區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍，

類型1.參數(shù)放在不等式上，

例3.已知/(X)=X，+ox：6x-<:在》=一1'與X=10寸都取得極值”

(1)求a、b的值及函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間.2

(2)若對xe[-L2],不等期(x)<1恒成立，求c的取值范圍."

類型2.參數(shù)放在區(qū)間上，

例4.已知三次函數(shù)/(x)=-—5x?-cx-d圖象上點(1,8)處的切線經(jīng)過點(3,0),

并且了。)在x=3處有極值3

(1)求/(x)的解析式*

(2)當時，/(x)>0恒成立求實數(shù)m的取值范圍.”

分析：(1)/(X)=f-5x，-3x-94

(2).f(x)=3x2-1Ox*3=(3x-l)(x-3)

由f(x)=。得七=；工=3^xw時/(x)>0J(x)單調(diào)遞胤所以/。)>/(0)=9

當xe(；,3時f(x)<0J(x)單調(diào)遞減，所以*x)>f(3)=0

所以當m>對/(x)>0在(0〃內(nèi)不恒成立，當且僅當m€(03時f(x)>疏(0,加內(nèi)恒成立

所以加的取值范圍為(0刃

D、知函數(shù)圖象的交點情況，求參數(shù)的取值范圍.，

思路：1畫出兩個圖像，即穿線圖和趨勢圖(先增后減再增或者先減后增再減)

2由趨勢圖結(jié)合根的個數(shù)寫不等式(主要看極值與0的關(guān)系〉3解不等式J

11

題型十一

數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系。

解題思路：①聯(lián)立方程組ff②求出式③利用韋達定理、判別式+，

ff④尋求“目標”的實現(xiàn)2

(1)相交：△>0O直線與圓錐曲線相交3P

(2)相切：△=()=直線與圓錐曲名講目切；，

(3)相高：△<0o直線與圓錐曲線相離；,

例題1、已知直線，3=匕+1與橢圓C：￡+匯=1始終有交點，求加的取值范圍。

4m

解：根據(jù)直線/：)，=匕+1的方程可知，直線恒過定點(0,1),橢圓C：「+匕=1

4m

過動點(0,士向)，目"W4,如果直線/：yufcc+1和橢圓C：「+匚=1始終有交

4m

點,貝且冽潛4,即14冽且冽w4。P

規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點：，

/:y=Ax+ln過定點(0Q。

/:y=lx+l)=ii^點<-b0)~

/:y-2=%(x+l)n過定點(-1,2)，

12

題型十二

焦點三角函數(shù)、焦半徑、焦點弦問題。

<1)焦點三角牘

定義：橢圓(雙曲線)上一點和兩焦點組成的三角形叫焦點三角形；有一個角力

直角的焦點三角形叫焦點直角三角形。，

1：該三角形一邊長為焦距，另兩邊的和(差)為定值?！?/p>

2：橢圓焦點三角形中，頂點在橢圓上的點到另兩點的張角中，以短軸端點到這

兩點的張角最大?！?/p>

(2)焦半徑，焦點弦。

E

若拋物線的方程為y;=2px(p>0),過拋物線的焦點F2,0)的直線交拋物

線與A(XI,yi)、B(x2,y2>兩點，則，

pi

(1)yiy2=-P2；X1X2=M3->

(2)1AB尸XI+X2+P3通徑=2P"

11_2

⑶兩+麗=6…

(4)過A、B兩點作準線的垂線，垂足分別為A、B,F拋物線的焦點,則NAFB

=90°；~

(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切。。

(6)設(shè)A,B是拋物線y2=2px上的兩點，O為原點，則OA1OB的充要條件

是直線AB恒過定點(2p,Op

題型十三

動點軌跡方程問題。

1、直接法

當所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按“建系設(shè)點、列出條件、代

入坐標、整理化簡、限制說明“五個基本步驟求軌跡方程，稱之直接法?

例1.點”與定點、R02)的距離和它到定直線y=S的距離的比是1:2,求點的軌

跡方程式，并說明軌跡是什么圖形.Q

變式:已知動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4,求P的軌跡方程

2、待定系數(shù)法：J

已知軌跡是什么圖形，先設(shè)出其標準方程.再求出參數(shù)。2

3、定義法：定義法是指先分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線(如圓、橢

圓、雙曲線、拋物線等)的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌

跡方程?

變式：(1)、一動圓與圖》+爐+6x+5=0外切,同時與圓f-6x-91=0內(nèi)切，

求動圓圓心的軌跡方程式，并說明它是什么曲線.。

<2、已知MBC的底邊BC長為12,且底邊固定，頂點A是動點，使

sinB-sinC,求點A的軌跡.《」

分析：首先建立坐標系，由于點A的運動規(guī)律不易用坐標表示，注意條件

的運用，可利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意有關(guān)限制條件8

解：以底邊BC為x軸，底邊BC的中點為原點建立X。)坐標系，這時“

B(-6,0),C(6,0),由sinB-sinC=；sinH得。

。一c=ga=6,即|/C|-1481=6.所以，點A的軌跡是以3(-6,0)0(60)為焦點,

2a=6的雙曲線的左支.其方程為：y-^-=l(x<-3)^

4、代入法，

當題目中有多個動點時，將其他動點的坐標用所求動點尸的坐標X，來表示,

再代入到其他動點要滿足的條件或軌跡方程中，整理即得到動點P的軌跡方程，

稱之代入法，也稱相關(guān)點法、轉(zhuǎn)移法上

變式：如圖，從雙曲線。：/-舅=1上一點。引直線“漢浮

，：x+y=2的垂線，垂足為N,求線段0M的中點尸的軌跡方程就、品

解：設(shè)Rxj),。區(qū),%)，則N(2x-x1,2y-j，1)eN在直線/上，P

2x-XI+2y-y1=2.①又尸NJ?/得——=1,即x-y+%—X1=0.②。

3x+y-2

聯(lián)解①②得”=-2—.又點。在雙曲線。上，

3y+x-2

(3-2)2-(3-~'~~2y=1,化簡整理得：