關于線性系統(tǒng)的數學模型§2-1線性系統(tǒng)的輸入-輸出時間函數描述一、線性系統(tǒng)輸入-輸出微分方程描述的建立（機理分析法）例1機械位移系統(tǒng)第2頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例2R-L-C系統(tǒng)第3頁,共41頁，2024年2月25日，星期天其中n＞＝m微分方程的一般形式：第4頁,共41頁，2024年2月25日，星期天描述線性定常系統(tǒng)的微分方程為：實驗辨識方法的理論依據：C(t)=H(t)r(t)假設線性系統(tǒng)是定常的，初始條件為零或初始狀態(tài)為零，其響應和輸入之間滿足齊次和線性關系，即：二、脈沖響應（實驗辨識法）第5頁,共41頁，2024年2月25日，星期天給定輸入是單位脈沖函數時實驗辨識基本原理脈沖函數的表達式為：A為脈沖面積或脈沖強度。脈沖強度A=1時的脈沖函數記為，令并求取極限，則稱為單位脈沖函數。，令第6頁,共41頁，2024年2月25日，星期天零初始條件的線性定常系統(tǒng)的輸入δ(t)，得到的輸出稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應，也稱為權函數，記作g(t)。第7頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§2.2線性系統(tǒng)的輸入—輸出傳遞函數描述為什么采用傳遞函數來描述？微分方程描述不直觀、求解困難。線性常微分方程經過拉氏變換，即可得到系統(tǒng)在復數域中的數學模型，稱之為傳遞函數。將單位脈沖響應g(t)的曲線轉換成相應的傳遞函數。表示其輸入輸出關系。第8頁,共41頁，2024年2月25日，星期天R(s)輸入r(t)的像函數，即輸入函數的拉氏變換；C(s)輸出c(t)的像函數，即輸出函數的拉氏變換。傳遞函數——初始條件為零的線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。幾點說明：只適用于線性定常系統(tǒng)。是系統(tǒng)的動態(tài)數學模型。分母的階數一定高于分子的階數。(為什么？）有慣性元件和受到功率的限制第9頁,共41頁，2024年2月25日，星期天一個傳遞函數只能表示一個輸入量對一個輸出量的關系。單輸入-單輸出系統(tǒng)，若多輸入多輸出要采用傳遞函數矩陣。傳遞函數可以表示成有理分式，也可以表示成零極點表示的形式。也可以表示成時間常數的形式相似原理:有相同的數學模型，有相同的運動形態(tài)第10頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§2-3非線性數學模型的線性化非線性方程難于求解，用線性數學模型近似表示非線性數學模型。在一定工作范圍內進行線性化處理。將非線性函數在平衡點附近展成泰勒級數，并忽略高次項。例：直流發(fā)電機X軸表示勵磁電流Y軸表示輸出電勢由于存在磁路飽和，y和x呈非線性關系y=f(x)可以在(x0,y0)附近泰勒級數

第11頁,共41頁，2024年2月25日，星期天忽略高次項，然后用增量表示經上述處理后，就變成了線性方程。第12頁,共41頁，2024年2月25日，星期天上述方法稱為小偏差線性化方法。它是基于這樣一種假設：輸入量和輸出量只是在靜態(tài)工作點附近作微小變化。幾點注意：(1)只適用于不太嚴重的非線性系統(tǒng)，其非線性函數是可以利用泰勒級數展開的（非本質非線性）。(2)實際運行情況是在某個平衡點(即靜態(tài)工作點)附近，且變量只能在小范圍內變化。(3)不同靜態(tài)工作點得到的方程是不同的。(4)對于嚴重的非線性，例如繼電特性，因為處處不滿足泰勒級數展開的條件，故不能做線性化處理。(5)線性化后得到的是增量微分方程。第13頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§2-4

典型環(huán)節(jié)的數學模型

比例環(huán)節(jié)

如：剛性杠桿(水位控制中的杠桿)、理想運放、測速發(fā)電機的電壓與轉速的關系

特征：輸入輸出成比例，不失真，無延遲

控制系統(tǒng)數學模型的處理方法：使用簡單的典型的環(huán)節(jié)模型，通過串、并聯組成復雜系統(tǒng)。第14頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

慣性環(huán)節(jié)如：R-C、R-L、勵磁環(huán)節(jié)特征：輸出不能立即跟隨輸入的變化

--慣性環(huán)節(jié)時間常數。越大，響應越慢。R-C串聯電路與直流電壓接通，電容上電壓建立過程。第15頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

積分環(huán)節(jié)微分方程輸入不為零則輸出無限增加，一旦輸入為零，輸出不回零，而是保持在輸入為零時刻的值（記憶）。第16頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

微分環(huán)節(jié)

特征：輸出與輸入的變化成正比（預測功能）帶慣性微分環(huán)節(jié)

實際：一階微分環(huán)節(jié)微分方程第17頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

振蕩環(huán)節(jié)如：R-L-C、彈簧阻尼系統(tǒng)特征：具有一般系統(tǒng)的特征，輸出會振蕩1>ζ>0第18頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

純滯后環(huán)節(jié)特征：輸出是輸入的延遲如：傳送帶、間隙等G（s）=第19頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§2-5框圖及其化簡方法一、框圖（方塊圖或結構圖）的基本概念

把方塊圖和傳遞函數結合起來，是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號傳遞關系的一種數學圖形。結構圖既給出了信息傳遞的方向又給出了輸入、輸出信號的拉氏變換的定量關系。即C(s)=R(s)G(s)。第20頁,共41頁，2024年2月25日，星期天二、結構圖的組成和建立由四種基本圖形符號組成。（1）函數方塊(2)信號線(3)分支點(引出點)（4)綜合點(比較點或相加點)第21頁,共41頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)結構圖的建立第22頁,共41頁，2024年2月25日，星期天三框圖變換和化簡1、環(huán)節(jié)串聯G(s)=G1(s)*G2(s)C(s)=G2(s)*C1(s)=G2(s)*G1(s)*R(s)常用的結構圖變換方法有二：一是環(huán)節(jié)的合并，二是信號分支點或綜合點的移動。原則是：變換前、后的數學關系(輸入量、輸出量）保持不變。第23頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

負載效應問題上圖中，后一個網絡的輸入接到前一個的輸出，由于存在負載效應，就不能進行上述的變換，即第24頁,共41頁，2024年2月25日，星期天G(s)=G1(s)+G2(s)2、環(huán)節(jié)并聯3、反饋聯接C(s)=G1(s)*[R(s)±G2(s)*C(s)]整理得.請注意這里的符號！第25頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4、引出點的移動

始終保持輸出不變第26頁,共41頁，2024年2月25日，星期天5、相加點的移動

同樣，始終保持輸出不變第27頁,共41頁，2024年2月25日，星期天四、方框圖簡化

引出點前移引出點交換G4(s)輸入不變

下一步怎樣移？第28頁,共41頁，2024年2月25日，星期天按前移做—變?yōu)闊o交叉的兩部分：反饋相加G(s)第29頁,共41頁，2024年2月25日，星期天§2-6信號流圖一、基本概念是一種將線性代數方程用圖形表示的方法。支路有三個特點：聯接有因果關系的節(jié)點；有方向性；有加權性。第30頁,共41頁，2024年2月25日，星期天二、術語和定義節(jié)點：表示變量或信號的點。支路：起源于一個節(jié)點，終止于另一個節(jié)點，這兩個節(jié)點之間不包含或經過第三個節(jié)點。出支路：離開節(jié)點的支路。入支路：指向節(jié)點的支路。源(節(jié))點：只有出支路的節(jié)點，對應于自變量或外部輸入，如x0。匯節(jié)點：只有入支路的節(jié)點，對應于因變量，如x6

。第31頁,共41頁，2024年2月25日，星期天開通道：如果通道從某節(jié)點開始終止在另一節(jié)點上，而且通道中每個節(jié)點只經過一次，則該通道稱為開通道。通道：又稱路徑，從一個節(jié)點出發(fā)，沿著支路的箭頭方向相繼經過多個節(jié)點的支路?；旌瞎?jié)點：節(jié)點既連接入支路又連接出支路。閉通道：如果通道的終點就是通道的始點，并且通道中每個節(jié)點只經過一次，該通道稱為閉通道或反饋環(huán)、回環(huán)、回路等。如果從一個節(jié)點開始，只經過一個支路又回到該節(jié)點的，稱為自回環(huán)。第32頁,共41頁，2024年2月25日，星期天前向通道：在開通道中，從源節(jié)點開始到匯節(jié)點終止，而且每個節(jié)點只通過一次的通道，稱為前向通道。不接觸回環(huán)：如果一些回環(huán)沒有任何公共節(jié)點，就稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。支路傳輸：兩個節(jié)點之間的增益。通道傳輸或通道增益：沿通道各支路傳輸的乘積。回環(huán)傳輸或回環(huán)增益：閉通道中各支路傳輸的乘積。第33頁,共41頁，2024年2月25日，星期天混合節(jié)點的消除回路的消除自回路的消除串聯支路的合并并聯支路的合并三、信號流圖的簡化第34頁,共41頁，2024年2月25日，星期天四、梅遜(Mason)公式及其應用梅遜公式為：T—從源節(jié)點到任何節(jié)點的傳輸；Pk—第k條前向通道的傳輸；Δ—信號流圖的特征式ΣL1—為所有不同回環(huán)的傳輸之和；ΣL2—為任何兩個互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；ΣL3—為任何三個互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；ΣLm—為任何m個互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；Δk—為余子式，即從Δ中除去與第k條前向通道Pk相接觸的回環(huán)的回路增益后余下的部分特征式。第35頁,共41頁，2024年2月25日，星期天四、梅遜(Mason)公式及其應用梅遜公式為：T—從源節(jié)點到任何節(jié)點的傳輸；Pk—第k條前向通道的傳輸；Δ—信號流圖的特征式ΣL1—為所有不同回環(huán)的傳輸之和；ΣL2—為任何兩個不互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；ΣL3—為任何三個不互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；ΣLm—為任何m個不互不接觸的回環(huán)傳輸的乘積之和；Δk—為余子式，即從Δ中除去與第k條前向通道Pk相接觸的回環(huán)的回路增益后余下的部的特征式。第36頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例1L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij

1-31-41-52-42-53-55-6L3=abefijL1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb回環(huán)6個：兩個互不接觸回環(huán)7對：三個互不接觸回環(huán)1組：⊿=1-L1+L2-L3 61 2 3 4 5第37頁,共41頁，2024年2月25日，星期天L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbijL3=abefijL1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdbacegi+kgi(1-cd)總傳遞函數＝1-L1+L2-L3第38頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例2前向通道：P1＝G1G