課時(shí)規(guī)范練42拋物線

一課時(shí)規(guī)范練B冊第27頁

基礎(chǔ)鞏固組

1.己知拋物線爐=4興存0）的焦點(diǎn)為尸,準(zhǔn)線為/,該拋物線上的點(diǎn)〃到X軸的距離為5,且|四尸|=7,則焦

點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離是（）

A.2B.3

C.4D.5

S]c

廨福因?yàn)閨m=7,點(diǎn)〃到x軸的距離為5,所以號(hào)=75,所以同=8,因此焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離是煤=4,故

選C.

2.0為坐標(biāo)原點(diǎn)尸為拋物線C:》2=4A/2X的焦點(diǎn),P為拋物線C上一點(diǎn)，若|PF|=4四,則APO尸的面積為

（）

A.2B.2V2C.2V3D.4

H]c

畫利用|PF|=xp+/=4近，可得xP=3V2.

.：＞戶=±2連..江”行二夕。日?[ypLZg.故選C.

3.（2019內(nèi)蒙古呼和浩特模擬,7）已知拋物線的焦點(diǎn)為尸,MN是拋物線上兩點(diǎn)，若明尸|+|%/|=|,

則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為（）

3355

BC

A.2-4-8-D.4-

答案|c

解制拋物線x2=1v的焦點(diǎn)為（o[）,準(zhǔn)線為沙毛，過M,N分別作準(zhǔn)線的垂線，則|M"|=|MF|,|MV1=|NF|,

所以|MM|+|MV1=|MF|+|N尸|=宗

所以中位線仍尸1JMM'\+\NN'\=之所以中點(diǎn)尸到x軸的距離為\pp'\l=:一＜=|.故選c.

L4o4oo

4.尸是拋物線產(chǎn)=2%的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)。在拋物線的準(zhǔn)線上，若丙=2而，則|P°|=（）

A；9B.4C/7D.3

萌A

解洞設(shè)拋物線的準(zhǔn)線和對稱軸的交點(diǎn)為K.過點(diǎn)尸作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M則I尸-由AOEKs

△。尸M,得盟=黑，即擊=!所以|/“|=3.故閘=3,以|=|,所以|PQ=|PF|+|0F|=|?故選A.

5.(多選)已知拋物線E:/=4y與圓/:/+0，1)2=16交于48兩點(diǎn)，圓心M(0,1),點(diǎn)尸為劣弧?上不同于

點(diǎn)48的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),平行于y軸的直線尸N交拋物線于點(diǎn)N,則APA/N的周長的可能取值是()

A.8B.8.5

C.9D.10

答案|BC

畫如圖,可得圓心M(0,1)也是拋物線的焦點(diǎn)，過尸作準(zhǔn)線的垂線,垂足為“，根據(jù)拋物線的定義，可得

MN=NH,故"MN的周長l=NH+NP+MP=PH+4,由代="丫，得8(2%,3).

\xl+(y-l)z=16,

易知PH長的取值范圍為(4,6).

則,MN的周長PH+4的取值范圍為(8,10),選項(xiàng)B,C滿足條件.故選BC.

6.(2019河南焦作三模,8)已知拋物線區(qū)產(chǎn)=2力(0>0)的準(zhǔn)線為。圓。:(%02+/=4,/與圓。交于48,

圓C與E交于若為同一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，則E的方程為()

A.j，=xB.y2=V3x

C.y2=2xD.y2=2V3x

HJc

解析如圖，圓C:2)+爐=4的圓心C&0)是拋物線紇/=2*(/;>0)的焦點(diǎn).

「圓。:卜用二產(chǎn)4的半徑為2,.：|NC|=2,根據(jù)拋物線定義可得:|M4|=|NC|=2.：48,MN為同一

個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，

?:點(diǎn)4H關(guān)于直線工得對稱，

即XN+XA=^x2=p,

?3

,.XN=R,

.：|AM|=|p(-Q=2,

即2p=2,

則E的方程為f=2x.故選C.

7.(2019江西吉安質(zhì)檢,8)已知直線/:小門用=0過拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)凡且與拋物線C交于點(diǎn)

A,B兩點(diǎn)，過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為MM則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.拋物線的方程為產(chǎn)=4x

B.線段28的長度為學(xué)

C.NMFN=90°

D.線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為g

S]D

畫直線l：y/3xyV3=0經(jīng)過點(diǎn)尸(1,0),

可得p=2,即拋物線。:爐=4*,準(zhǔn)線方程為x=l,聯(lián)立直線遍沙丹=0和拋物線可得

3/10x+3=0,可得43,2療),8&-苧)，

即有|/8|=/(3-§2+0百+苧j=學(xué)，

2N/3

由M(1,2W),N(-1，-竽)，尸(1,0),可得kwkMF旺爸=\,

則MFLNF,即NMFN=90°,線段48的中點(diǎn)為(|,竽)，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為|?.綜

上可得A,B,C正確,D錯(cuò)誤.故選D.

&設(shè)拋物線則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為.

醯(0,1)片1

解狗根據(jù)題意，拋物線的方程為x2=4%其焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且p=2,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

準(zhǔn)線方程為y=\.

2

9.已知拋物線C:y=4x的焦點(diǎn)是凡直線lv.y=x\交拋物線于A,B兩點(diǎn),分別從A,B兩點(diǎn)向直線l2:x=2

作垂線，垂足是DC,則四邊形ABCD的周長為.

§1]18+4V2

解析由題知F(1,0),準(zhǔn)線/的方程是x=l,p=2.設(shè)Z(xi,yi),8(x2,y2),由一二；'消去必得/=6*+1=0.因?yàn)?/p>

直線人經(jīng)過焦點(diǎn)廠(1,0),所以|N8|=xi+x2+p=8.由拋物線上的點(diǎn)的幾何特征知|/。|+|8。|=|48|+2=10,

因?yàn)橹本€小的傾斜角是%

所以|卬=|明sin2=8xy=4V2,所以四邊形ABCD的周長是

|/4D|+|5C|+MS|+|CD|=10+8+4V2=18+4V2.

10.(2019廣東一模,16)己知尸為拋物線C:%2：2??！?。)的焦點(diǎn)，曲線G是以廠為圓心考為半徑的圓，直

線2恁6y+3P=0與曲線C,Ci從左至右依次相交于弋0,7?,5,則喘=.

=2py,

=12920/9+3P.因?yàn)橹本€2百x6y+3P=0與曲線C,G從左至右依次相交

：V3x-6y+3p=0

于P,QR,S,所以沖=!必=1

由直線2gx6y+3P=0過拋物線C:x2=2/，y(/?>0)的焦點(diǎn)F,

3p,p7

幽=ISF住聲嶗_4_21

grp---y-

兩一|PF〔q6.412

綜合提升組

11.（2019貴州貴陽模擬,9）己知拋物線/=4x上一點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為五到直線/:4x3y+ll=0為必，

則小+刈的最小值為（）

A.3B.4

C.V5D.V7

醒A

解羽拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)少的距離，所以過焦點(diǎn)F作直線4x3y+11=0的垂線，則

該點(diǎn)到直線的距離為4+必最小值，如圖所示；

由21,0）,直線4x3y+l1=0,所以"|+"2=與竽駕=3,故選A.

V42+32

12.（2019河南洛陽聯(lián)考（四）,8）已知拋物線G:產(chǎn)=2px（p>0）與圓CzP+/lZx+l1=0交于/，氏CQ四點(diǎn).

若BC±x軸,且線段5c恰為圓C2的一條直徑，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（）

A.?B.3

6

C.yD.6

萌A

解析圓C2,.x2+y2\2x+11=0可化為（工6）2+產(chǎn)=52,

故圓心為（6,0）,半徑為5,由于BULx軸和線段8C恰為圓。2的一條直徑，故8（6,5）,C（6,5）.

將8點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得25=12p,故p=^,拋物線方程為y2=^-x.

225

聯(lián)立方程y="居

x2+y2-12x+ll=0,

消去歹得x2^x+11=0,

解得x=曰?或x=6（舍去），

故/點(diǎn)橫坐標(biāo)為?.故選A.

13.（2019河南南陽模擬,14）設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為凡過F的直線/交拋物線于48兩點(diǎn)，過48的中

點(diǎn)M作y軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)尸，若|尸尸|=|,則直線/的方程為.

答案|八；八*0

「拋物線方程為V=4x,.：拋物線焦點(diǎn)為尸（1,0）,準(zhǔn)線為l:x=1,

設(shè)A（x））,8（X2g），：/在第一象限，.：直線的斜率k>0,

設(shè)直線AB方程為y=?xl）,代入拋物線方程消去y,得k2x2（2k2+4）x+k2=0,.'.x\+x2=^p^,xiX2=1,:

過的中點(diǎn)A/作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)尸,

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xow),可得yo=1(y1+H),

9lr2?44?

?\\=k(x\1)^2=k(x21),?：yi+y2=k(x\+x2)2k=h〃2kl，得至牛丁嗔，

?：xo$，可得pQ[).

：i尸娼T，,Ja去》+強(qiáng)=i，

解得F=2,.：/=&,直線方程為產(chǎn)近(xl),

即缶y&O.

14.(2019黑龍江齊齊哈爾二模,20)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)尸在y軸的正半軸上，點(diǎn)才是拋物

線上的一點(diǎn)，以/為圓心,2為半徑的圓與y軸相切，切點(diǎn)為F.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6,且與拋物線交于P,Q兩點(diǎn)，連接。尸并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R,

當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí),求直線m的方程.

域|(1)設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0).

「以力為圓心,2為半徑的圓與》軸相切，切點(diǎn)為￡.：p=2,.：該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.

(2)由題知直線m的斜率存在，

設(shè)其方程為尸丘+6,

4y'消去V整理得x24fcv24=°，顯然/=16尸+96>0

%i+x2=4k,

xx-x2=-24.

由，=4y,得y=*.：y'=1.

拋物線在點(diǎn)"巧,?)處的切線方程為*=表XX1),令>=1,得X-；；：可得點(diǎn)R^「1)，

由Q,F,R三點(diǎn)共線得kQF=kFR,

x2

力_-1-1

2%]

即(宕4)優(yōu)4)+16xiX2=0,

整理得(X1X2)24[(X1+%2)22XIX2]+16+16X1X2=O,

111

?：(24)24[(的22x(24)]+16+16x(24)=0,解得即攵=轉(zhuǎn)，，所求直線m的方程為尸3+6或

1

y=^c+6.

創(chuàng)新應(yīng)用組

15.（2019山西湛江一模,8）已知直線/:4x3y+6=0和拋物線Cy=4x,P為C上的一點(diǎn)，且尸到直線/的距

離與尸到C的焦點(diǎn)距離相等，那么這樣的點(diǎn)尸有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

S]c

曲由題P為C上的一點(diǎn)，設(shè)尸件,y）,P到直線/:4x3y+6=0的距離小=喟岑.又因?yàn)閽佄锞€上的

點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等,

所以P到C的焦點(diǎn)距離刈號(hào)+1,

貝產(chǎn)3y+65

1存而

①當(dāng)當(dāng)T+

1,

即爐+1274=0時(shí),/>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即尸點(diǎn)有兩個(gè)；

②當(dāng)一（y6+6]_產(chǎn)

即9/12y+44=0時(shí)/KO,方程無實(shí)根，所以尸點(diǎn)不存在.綜上，點(diǎn)P有2個(gè)，故選C.

16.（2019河南安陽模擬,21）已知直線/的方程為y=x2,點(diǎn)尸是拋物線C:P=4