蓬溪中學(xué)高2022級第四學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，故其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.已知直線與直線夾角為，則的傾斜角為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】先求直線斜率及傾斜角，再根據(jù)夾角為求出的傾斜角即可.【詳解】直線斜率則傾斜角為，直線與直線夾角為，則的傾斜角為或.故選：C.3.已知數(shù)列滿足，，=（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】由，結(jié)合題意可、、為偶數(shù)，為奇數(shù)，代入所給關(guān)系式計(jì)算即可得.【詳解】由，故、、為偶數(shù)，為奇數(shù)，故.故選：A.4.已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.相離【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的方程求得圓心和半徑，再由圓心距和兩半徑之間的關(guān)系可得兩圓外切.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為；圓可化為，圓心，半徑為；圓心距，所以兩圓外切.故選：B5.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為，乙中靶的概率為0.9，且兩人是否中靶相互獨(dú)立．若甲、乙各射擊一次，恰有一人中靶的概率為0.26，則（）A.兩人都中靶的概率為0.63 B.兩人都中靶的概率為0.70C.兩人都中靶的概率為0.72 D.兩人都中靶的概率為0.74【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，先求得，然后求得正確答案.【詳解】依題意，解得，所以兩人都中靶的概率為.故選：C6.如圖，已知四面體的所有棱長都等于，，，分別是棱，，的中點(diǎn)．則與分別等于（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】A【解析】【分析】依題意以、、為基底，表示出、、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】依題意，所以，，，所以.故選：A7.雙曲線：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出，再由離心率公式即可得出答案.【詳解】設(shè)漸近線與該圓交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)在中，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，屬于中檔題.8.已知橢圓C的方程為：，點(diǎn)A是橢圓的下頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到點(diǎn)，再假設(shè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)闄E圓C的方程為：，則，設(shè)，則，故，且，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故.故選：C.二、多選題9.已知平面與平面平行，若平面的一個(gè)法向量為，則平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)分別判斷與四個(gè)選項(xiàng)中的向量是否平行即可得解.【詳解】因?yàn)槠矫媾c平面平行，所以平面的法向量與平面的法向量平行，對于選項(xiàng)A:若，則此時(shí)，滿足平面的法向量與平面的法向量平行，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B:若，則此時(shí)無解，不滿足平面的法向量與平面的法向量平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C:若，則此時(shí)，滿足平面的法向量與平面的法向量平行，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D:若，則此時(shí)無解，不滿足平面的法向量與平面的法向量平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線距離為B.已知直線過點(diǎn)，且在x，y軸上截距相等，則直線的方程為C.“直線與直線平行”是“”的必要不充分條件D.過兩點(diǎn)的直線方程為【答案】AC【解析】【分析】利用平行線間的距離公式可得A正確；若截距都為零也符合題意，即B錯(cuò)誤；利用兩直線平行可得或，即可知C正確；兩點(diǎn)式的前提是分母不為零，即D錯(cuò)誤.【詳解】對于A，易知兩直線平行，所以距離，A正確；對于B，直線過原點(diǎn)時(shí)也滿足題意，所以直線方程還可以是，即B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)橹本€與直線平行，所以，則，解得或，由取值的結(jié)果可得C正確；對于D，兩點(diǎn)式直線方程的前提是，可得D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知非零實(shí)數(shù)，，不全相等，則下列說法正確的是（）A.如果，，成等差數(shù)列，則，，能構(gòu)成等差數(shù)列B.如果，，成等差數(shù)列，則，，不可能構(gòu)成等比數(shù)列C.如果，，成等比數(shù)列，則，，能構(gòu)成等比數(shù)列D.如果，，成等比數(shù)列，則，，不可能構(gòu)成等差數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)，，以及等差數(shù)列、等比數(shù)列定義，利用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)性質(zhì)，并對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可求得結(jié)論.【詳解】由非零實(shí)數(shù)，，不全相等，若，，成等差數(shù)列，可得；易知，要使，，能構(gòu)成等差數(shù)列，需滿足，即可得，即為，即A錯(cuò)誤；若，，成等差數(shù)列，可得，則，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，則，需滿足，這與前提矛盾，因此，，不可能構(gòu)成等比數(shù)列；可得B正確；若，，成等比數(shù)列，則，，能構(gòu)成等比數(shù)列，例如時(shí)，可知C正確；由，，成等比數(shù)列，可知，此時(shí)，則則，，不可能構(gòu)成等差數(shù)列，即D正確.故選：BCD12.如圖，在正方體，，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在唯一點(diǎn)，使得B.當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，直線與直線所成角不變C.直線與平面所成角的最小值為D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓的一部分【答案】BD【解析】【分析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建系設(shè)點(diǎn)，利用數(shù)量積公式，即可判斷AB；利用線面角的向量公式，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍，即可判斷C；由條件得到，根據(jù)圓的定義，即可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，得，所以點(diǎn)的軌跡為線段，有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，滿足，故A錯(cuò)誤；B.當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，，，，即，所以直線與直線所成角為，故B正確；C.，平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，，當(dāng)時(shí)，的最小值為，的最小值不是，故C錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理可知，，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在正方形的一部分，故D正確.故選：BD三、填空題13.已知樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意分別求得，，，結(jié)合獨(dú)立事件的定義，可判定事件與相互獨(dú)立，再結(jié)合對立事件的概念關(guān)系可運(yùn)算得解.【詳解】由題意，，，，，所以事件與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，.故答案為：.14.已知平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在平面外，若的一個(gè)法向量為，則到平面的距離為______________．【答案】1【解析】【分析】依題意求得，再利用點(diǎn)到平面距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)，所以，又的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為.故答案為：1．15.設(shè)雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，它的實(shí)軸長為4，P是C上的一點(diǎn)且滿足，的面積是4，則C的方程是______.【答案】【解析】【分析】由實(shí)軸長為4可得，利用雙曲線定義以及的面積和勾股定理可求得，可求出C的方程.【詳解】根據(jù)題意可知不妨取在雙曲線左支上，如下圖所示：根據(jù)實(shí)軸長為4可得，即可得；又可得，由的面積是4可得，即；由，解得，所以，可得C方程是.故答案為：16.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線上的兩點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為______.【答案】3【解析】【分析】的中點(diǎn)到軸距離為，由，利用拋物線性質(zhì)求得的最小值即可.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如下圖所示：由可知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立；則有，可得；所以的中點(diǎn)到軸距離為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立；即的中點(diǎn)到軸距離的最小值為.故答案為：四、解答題17.已知直線：與垂直，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的一般式方程；（2）若與圓：相交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由直線的方程和垂直關(guān)系可得的斜率為，由點(diǎn)斜式方程整理可得結(jié)果；（2）求出圓心C到直線的距離為，再由圓的弦長公式即可求得.【小問1詳解】由直線：，可得斜率，因?yàn)椋灾本€的斜率為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由圓C：，可得圓心，半徑，則圓心C到直線：的距離為，又由圓的弦長公式可得弦長18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公差和首項(xiàng)，進(jìn)而可求通項(xiàng)，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得,解得：，所以【小問2詳解】因?yàn)樗裕?9.某商場舉行購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中放有編號分別為的五個(gè)小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動(dòng)規(guī)則如下：從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球，若抽到的小球編號為，則獲得獎(jiǎng)金元；若抽到的小球編號為偶數(shù)，則獲得獎(jiǎng)金元；若抽到其余編號的小球，則不中獎(jiǎng).現(xiàn)某顧客依次有放回的抽獎(jiǎng)兩次.（1）求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒有中獎(jiǎng)的概率；（2）求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用列舉法得到所有的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率公式可得事件發(fā)生的概率；（2）根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解可得結(jié)果．【詳解】（1）由題意得，該顧客有放回抽獎(jiǎng)兩次的所有可能結(jié)果為：共有25種情況．設(shè)“該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒有中獎(jiǎng)”為事件A，則事件A包含的結(jié)果為，共4種，所以．即該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒有中獎(jiǎng)的概率為．（2）兩次抽獎(jiǎng)獎(jiǎng)金之和為100元包括三種情況：①第一次獎(jiǎng)金為100元，第二次沒有獲獎(jiǎng)，其包含的情況為，概率為；②第一次沒中獎(jiǎng)，第二次獎(jiǎng)金為100元，其包含的情況為，概率為；③兩次各獲獎(jiǎng)金50元，包含的情況有，概率為．由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式可得所求概率為，即該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為元的概率為．【點(diǎn)睛】（1）求古典概型概率的關(guān)鍵是得到基本事件的個(gè)數(shù)，常用的方法是列舉法，解題時(shí)要分清抽取是有放回的還是無放回的，列舉時(shí)要做到不重不漏．（2）對于一些復(fù)雜的事件，在求概率時(shí)可將其分解為若干個(gè)互斥事件的和來求解，然后利用概率的加法公式可得結(jié)果．20.如圖，四棱錐，底面是正方形，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面和平面所成夾角大小【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，即可得其夾角大小為.【小問1詳解】取AB中點(diǎn)M，連結(jié)EM，F(xiàn)M，如圖所示：∵ABCD是正方形，∴，又∵，，，∴又∵E，F(xiàn)，M都是中點(diǎn)，∴，，，，，MF，平面，∴平面，平面，∴；【小問2詳解】由（1）中，且,平面；所以平面，又，是正方形，所以；即可得兩兩垂直；取AD中點(diǎn)O，過O作AB平行線，連接OP，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：由題意得，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得；令，則，得，因此，所以平面和平面所成夾角大小為21.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，借助距離公式計(jì)算化簡即可得；（2）聯(lián)立直線與曲線，借助韋達(dá)定理、弦長公式及點(diǎn)到直線距離公式即可表示出面積，即可得解.【小問1詳解】設(shè)滿足，整理可得，軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，可得，因?yàn)橹本€與軌跡交于、兩點(diǎn)，所以，解得，由韋達(dá)定理可得，，由弦長公式可得，點(diǎn)O到直線l的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號，所以面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程為.22.已知拋物線C：，其焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，如果A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)F的距離是2.（1）求拋物線的方程；（2）某同學(xué)想通過調(diào)整直線的傾斜程度，在拋物線C的準(zhǔn)線上能找到一點(diǎn)Q滿足為等邊三角形，你試一試，若直線存在，求出直線的方程和Q坐標(biāo)；若不存在，說