2023-2024學年湖南省岳陽十二中九年級（下）入學數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．x（x+6）＝0 C．a(chǎn)2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝22．（3分）某農(nóng)科院對甲、乙兩種甜玉米各用10塊相同條件的試驗田進行試驗，得到兩個品種每公頃產(chǎn)量的兩組數(shù)據(jù)，其方差分別為s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，則（）A．甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定 B．乙比甲的產(chǎn)量穩(wěn)定 C．甲、乙的產(chǎn)量一樣穩(wěn)定 D．無法確定哪一品種的產(chǎn)量更穩(wěn)定3．（3分）若∠A為銳角，且sinA＝，則cosA等于（）A．1 B． C． D．4．（3分）線段AB＝8，P是AB的黃金分割點，且AP＜BP（）A．4﹣4 B．8+8 C．8﹣8 D．4+45．（3分）怎樣移動拋物線就可以得到拋物線（）A．左移1個單位、上移2個單位 B．左移1個單位、下移2個單位 C．右移1個單位、上移2個單位 D．右移1個單位、下移2個單位6．（3分）如圖，河堤的橫斷面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6m（）A．10m B． C． D．7．（3分）如圖所示，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49（）A． B． C． D．8．（3分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，對稱軸為x＝（2，0），下列說法：①abc＞0；②a+b＝0；④若（﹣2020，y1），（2022，y2）是拋物線上的兩點，則y1＞y2；⑤b＞m（am+b），（其中m≠）；其中說法正確的是（）A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）已知＝，則的值是．10．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，則cosA的值為．11．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若，DE＝6，則DF的長為．12．（3分）在平面直角坐標系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是關(guān)于原點O的位似圖形，若點A的坐標為（2，4）1的坐標是．13．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．若蓄電池電流為3A時Ω．14．（3分）若點A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函數(shù)（K為常數(shù)）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為．15．（3分）如圖，在△ABC中，點D，AC上，∠AED＝∠BAC，若四邊形BCED的面積為7．16．（3分）如圖，菱形ABCO的邊長為5，對角線OB的長為4，則AP+OP的最小值等于．三、解答題（本大題共9個小題，共72分）17．（6分）（1）計算：2sin30°+tan45°+sin245°+cos245°；（2）解方程：x2﹣3x＝x﹣4．18．（6分）如圖，在△ABC與△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求證：△ABC∽△ADE．19．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范圍．20．（8分）某學校為了進一步豐富學生的體育活動，欲增購一些體育器材，為此對該校一部分學生進行了一次“你最喜歡的體育活動”的問卷調(diào)查（每人只選一項）（不完整）：請根據(jù)圖中提供的信息完成下列問題：（1）在這次問卷調(diào)查中，一共抽查了名學生，并在圖中補全條形統(tǒng)計圖．（2）如果全校有3600名學生，那么全校學生中最喜歡“踢毽”活動的學生約有多少人？21．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，3），B（n，2）（1）求一次函數(shù)表達式和反比例函數(shù)表達式；（2）直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＜的解集；（3）求△AOB的面積．22．（8分）2023年杭州亞運會勝利閉幕，本次亞運會中國代表團共獲得383枚獎牌，位居獎牌榜第一位，買一件印有亞運會元素的T恤去看比賽，成為了體育迷們的“儀式感”．商店以40元每件的價格購進一批這樣的T恤，四月份的銷售量為192件，六月份的銷售量為300件．（1）求該款T恤四月份到六月份銷售量的月平均增長率．（2）從七月份起，商場決定采用降價銷售回饋顧客，經(jīng)試驗，每降1元，月銷售量就會增加20件．如何定價才能使利潤最大？23．（8分）“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會搭建一種“天幕”，對稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點E處，D，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的高度可控制“天幕”的開合，BF＝3m．（1）天晴時打開“天幕”，若∠α＝65°，求遮陽寬度CD（結(jié)果精確到0.1m）；（2）下雨時收攏“天幕”，∠α從65°減少到45°，求點E下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）24．（10分）綜合與實踐如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，點P以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā)，同時點Q以每秒1個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CA方向向終點A勻速運動（1）求AQ的長（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當t＝3秒時，求△APQ的面積．（3）如圖2，連結(jié)BQ，當△BPQ為直角三角形時25．（10分）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣（﹣1，0）、B（4，0）兩點，連接BC，直線BM：y＝2x+m交y軸于點M．P為直線BC上方拋物線上一動點，分別交直線BC、BM于點E、F．（1）求拋物線的表達式；（2）當點P落在拋物線的對稱軸上時，求△PBC的面積；（3）若點N為y軸上一動點，當四邊形BENF為矩形時，求點N的坐標．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．x（x+6）＝0 C．a(chǎn)2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2【解答】解：A、該方程是分式方程，故本選項不符合題意；B、該方程是關(guān)于x的一元二次方程；C、當a＝0時，故本選項不符合題意；D、該方程是關(guān)于x的一元三次方程；故選：B．2．（3分）某農(nóng)科院對甲、乙兩種甜玉米各用10塊相同條件的試驗田進行試驗，得到兩個品種每公頃產(chǎn)量的兩組數(shù)據(jù)，其方差分別為s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，則（）A．甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定 B．乙比甲的產(chǎn)量穩(wěn)定 C．甲、乙的產(chǎn)量一樣穩(wěn)定 D．無法確定哪一品種的產(chǎn)量更穩(wěn)定【解答】解：∵s甲2＝0.002、s乙4＝0.03，∴s甲2＜s乙3，∴甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定．故選：A．3．（3分）若∠A為銳角，且sinA＝，則cosA等于（）A．1 B． C． D．【解答】解：∵∠A為銳角，且sinA＝，∴∠A＝60°，∴cosA＝cos60°＝，故選：D．4．（3分）線段AB＝8，P是AB的黃金分割點，且AP＜BP（）A．4﹣4 B．8+8 C．8﹣8 D．4+4【解答】解：∵線段AB＝8，P是AB的黃金分割點，∴BP＝AB＝﹣7．故選：A．5．（3分）怎樣移動拋物線就可以得到拋物線（）A．左移1個單位、上移2個單位 B．左移1個單位、下移2個單位 C．右移1個單位、上移2個單位 D．右移1個單位、下移2個單位【解答】解：將拋物線先向左平移1個單位（x+1）2﹣7，故選：B．6．（3分）如圖，河堤的橫斷面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6m（）A．10m B． C． D．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度，∴，∴（米），在Rt△ABC中，由勾股定理得，，故選：C．7．（3分）如圖所示，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，∵小正方形面積為49，大正方形面積為169，∴小正方形的邊長是7，大正方形的邊長是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即AC2+（5+AC）2＝132，整理得，AC4+7AC﹣60＝0，解得AC＝4，AC＝﹣12（舍去），∴BC＝＝12，∴sinα＝＝，cosα＝＝，∴sinα?cosα＝×＝，故選：B．8．（3分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，對稱軸為x＝（2，0），下列說法：①abc＞0；②a+b＝0；④若（﹣2020，y1），（2022，y2）是拋物線上的兩點，則y1＞y2；⑤b＞m（am+b），（其中m≠）；其中說法正確的是（）A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸為，∴，∴b＝﹣a＞0，∵拋物線與y軸的交點在正半軸上，∴c＞0，∴abc＜7，故①錯誤；∵b＝﹣a＞0，∴a+b＝0，故②正確；∵拋物線過點（8，0），∴4a+3b+c＝0，故③錯誤；∵拋物線的對稱軸為，∴點（﹣2020，y1）與點（2021，y1）對稱，∵a＜8，2021＜2022，∴y1＞y2，故④正確；當時，函數(shù)有最大值，當x＝m時，y＝am7+bm+c，∵，∴，即，故⑤正確．故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）已知＝，則的值是．【解答】解：由分比性質(zhì)，得＝＝，故答案為：．10．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，則cosA的值為．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，∴AB＝＝＝13，∴cosA＝＝，故答案為：．11．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若，DE＝6，則DF的長為15．【解答】解：∵l1∥l2∥l8，∴＝＝，∵DE＝5，∴EF＝9，∴DF＝EF+DE＝9+7＝15．故答案為：15．12．（3分）在平面直角坐標系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是關(guān)于原點O的位似圖形，若點A的坐標為（2，4）1的坐標是（4，8）或（﹣4，﹣8）．【解答】解：∵△ABC和△A1B1C5的相似比等于，并且是關(guān)于原點O的位似圖形，而點A的坐標為（3，4），∴點A對應點A1的坐標為（4×2，2×5）或（﹣2×2，即（7，8）或（﹣4．故答案為（2，8）或（﹣4．13．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．若蓄電池電流為3A時12Ω．【解答】解：設(shè)用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I＝，∵過（4，9），∴k＝6×9＝36，∴I＝，當蓄電池電流為3A時，8＝，解得：R＝12．故答案為：12．14．（3分）若點A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函數(shù)（K為常數(shù)）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為y3＞y1＞y2．【解答】解：∵k2+1＞2，∴反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象位于一，且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵點A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象上，∴點A（﹣2，y5）、點B（﹣1，y2）位于第三象限，C（5，y3）位于第一象限，∴y2＜y8＜0，y3＞3，∴y3＞y1＞y8，故答案為：y3＞y1＞y2．15．（3分）如圖，在△ABC中，點D，AC上，∠AED＝∠BAC，若四邊形BCED的面積為79．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∵AD＝，∴，∴，∴，∵四邊形BCED的面積為7，∴S△ABC＝16，∴S△ADE＝9．故答案為：2．16．（3分）如圖，菱形ABCO的邊長為5，對角線OB的長為4，則AP+OP的最小值等于4．【解答】解：如圖，連接AC交OB于點M，過點A作AG⊥OC于點G，∵四邊形ABCO是菱形，邊長為5，∴AC⊥OB，OA＝AB＝BC＝CO＝3OB＝8，，∴AM＝MC＝＝＝，∴AC＝4AM＝2，∵MH⊥OC，AC⊥OB，∴，∴×8×＝，∴MH＝2，∵sin∠MOH＝＝＝＝，即PG＝OP，∴AP+OP＝AP+PG，∴當A，P，G三點共線且AG⊥OC時OP取最小值，∵菱形ABCO的面積＝，∴AG＝＝＝4，∴AP+OP的最小值是4．故答案為：4．三、解答題（本大題共9個小題，共72分）17．（6分）（1）計算：2sin30°+tan45°+sin245°+cos245°；（2）解方程：x2﹣3x＝x﹣4．【解答】解：（1）2sin30°+tan45°+sin245°+cos545°＝2×+1+1＝7；（2）原方程可化為x2﹣4x+5＝0，∵a＝1，b＝﹣3，x＝，∴Δ＝b2﹣4ac＝6，∴原方程有兩個相等的實根，x1＝x2＝﹣＝2．18．（6分）如圖，在△ABC與△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求證：△ABC∽△ADE．【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵，∴△ABC∽△ADE．19．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范圍．【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥2，解得m≤4；（2）根據(jù)題意得x1+x4＝6，x1x6＝2m+1，而7x1x2+x3+x2≥20，所以2（7m+1）+6≥20，解得m≥5，而m≤4，所以m的范圍為3≤m≤2．20．（8分）某學校為了進一步豐富學生的體育活動，欲增購一些體育器材，為此對該校一部分學生進行了一次“你最喜歡的體育活動”的問卷調(diào)查（每人只選一項）（不完整）：請根據(jù)圖中提供的信息完成下列問題：（1）在這次問卷調(diào)查中，一共抽查了200名學生，并在圖中補全條形統(tǒng)計圖．（2）如果全校有3600名學生，那么全校學生中最喜歡“踢毽”活動的學生約有多少人？【解答】解：（1）在這次問卷調(diào)查中，一共抽查學生：80÷40%＝200（名），跳繩人數(shù)為200﹣80﹣30﹣40＝50（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：200；（2）3600×＝540（人），答：全校學生中最喜歡“踢毽”活動的學生約有540人．21．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，3），B（n，2）（1）求一次函數(shù)表達式和反比例函數(shù)表達式；（2）直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＜的解集；（3）求△AOB的面積．【解答】解：（1）把A（1，3）代入，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；把B（n，2）代入y＝，∴B（，2），把A（1，6），2）代入y＝kx+b，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣2x+5；（2）觀察圖象，關(guān)于x的不等式kx+b＜；（3）令y＝0，即﹣3x+5＝0，解得：x＝，∴C（，0），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×5﹣．22．（8分）2023年杭州亞運會勝利閉幕，本次亞運會中國代表團共獲得383枚獎牌，位居獎牌榜第一位，買一件印有亞運會元素的T恤去看比賽，成為了體育迷們的“儀式感”．商店以40元每件的價格購進一批這樣的T恤，四月份的銷售量為192件，六月份的銷售量為300件．（1）求該款T恤四月份到六月份銷售量的月平均增長率．（2）從七月份起，商場決定采用降價銷售回饋顧客，經(jīng)試驗，每降1元，月銷售量就會增加20件．如何定價才能使利潤最大？【解答】解：（1）設(shè)4月份到6月銷售量的月平均增長率為a，則192（4+a）2＝300，解得：，（舍去），答：4月份到8月份銷售量的月平均增長率為25%；（2）設(shè)定價為x元，利潤為y元，則y＝（x﹣40）[300+20（60﹣x）]＝﹣20x2+2300x﹣60000，對稱軸為，∵﹣20＜0，∴當x＝57.5時，y有最大值，∴定價為57.6元時利潤最大．23．（8分）“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會搭建一種“天幕”，對稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點E處，D，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的高度可控制“天幕”的開合，BF＝3m．（1）天晴時打開“天幕”，若∠α＝65°，求遮陽寬度CD（結(jié)果精確到0.1m）；（2）下雨時收攏“天幕”，∠α從65°減少到45°，求點E下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）【解答】解：（1）由對稱知，CD＝2OD，∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，∴sinα＝，∴OD＝AD?sinα＝2×sin65°≈5×0.90＝1.80m，∴CD＝6OD＝3.6m，答：遮陽寬度CD約為6.6米；（2）如圖，過點E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝3m，在Rt△AHE中，tana＝，∴AH＝，當∠α＝65°時，AH＝≈，當∠α＝45°時，AH＝，∴當∠α從65°減少到45°時，點E下降的高度約為3﹣1.40＝4.6m．24．（10分）綜合與實踐如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，點P以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā)，同時點Q以每秒1個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CA方向向終點A勻速運動（1）求AQ的長（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當t＝3秒時，求△APQ的面積．（3）如圖2，連結(jié)BQ，當△BPQ為直角三角形時【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，∴AC＝＝＝8，∵CQ＝6×t＝t，∴AQ＝AC﹣CQ＝8﹣t，∴AQ的長為8﹣t．（2）如圖7，作PD⊥AC于點D，∵t＝3秒，∴AP＝2t＝8×3＝6，AQ＝5﹣t＝8﹣3＝5，∵＝＝sinA＝＝，∴PD＝AP＝，∴S△APQ＝AQ?PD＝＝9，∴△APQ的面積是8．（3）如圖2，△BPQ為直角三角形，則∠APQ＝90°，∵＝cosA＝＝＝，∴AP＝AQ，∴2t＝（8﹣t），解得t＝；如圖4，△