2023-2024學(xué)年上海市高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題（本題滿分40分，每題4分，共10題）

2

y=I—7

1.函數(shù)"x+l的定義域是.

【正確答案】（—1,+8）

【詳解】試題分析：函數(shù)滿足X+l>0,即函數(shù)定義域?yàn)椋ā?,+8）

考點(diǎn)：求函數(shù)定義域

2.已知基函數(shù)y=/（x）的圖象過點(diǎn)則/（3）=.

【正確答案】6

【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得函數(shù)丁=/（力的解析式，然后可得/（3）的值.

【詳解】由題意設(shè)》=f（x）=xa,

?.?函數(shù)V=/（x）的圖象過點(diǎn)（2,J5）,

.1

二2a=72=22）

1

?9（X—,

2

???/（3）=35=73-

故答案為JJ.

本題考查事函數(shù)的定義及解析式,解題時(shí)注意用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式,屬于基礎(chǔ)題.

3.已知函數(shù)/（X）=X2+X-1的兩個(gè)零點(diǎn)分別為占/2>貝UxJz+玉々2=.

【正確答案】1

【分析】依題意方程爐+x—1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根外、巧，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意令/(x)=0,BPx2+x-l=0)

所以方程f+x_i=o有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根外、巧，

所以菁+々=-1,x}-x2=-l,

所以+X/22=X/2(X1+%2)=-以(-1)=1；

故1

4.已知函數(shù)/(力="2+2工是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

【正確答案】0

【分析】由奇函數(shù)定義入手得到關(guān)于變量的恒等式后，比較系數(shù)可得所求結(jié)果.

【詳解】；函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

即ax2-2x=-ax2-2x>

整理得辦2=o在R上恒成立，

.?.<7=0.

故答案為0.

本題考查奇函數(shù)定義，解題時(shí)根據(jù)奇函數(shù)的定義得到恒等式是解題的關(guān)鍵.另外，取特殊值

求解也是解決此類問題的良好方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.若二次函數(shù)/(x)=#+2(a-l)x+2在區(qū)間(一?4]上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

【正確答案】(0,(

fa>0

【分析】由題知{2(a—l)>不再解不等式組即可得答案.

[--2a~~

【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)/（刈=#+2（"1"+2在區(qū)間（F,4］上為嚴(yán)格減函數(shù),

Q>0。>0

所以2(4-1)"4即《解得

0<^<—

2a5

所以，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0,（

故舊

6.古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán).已知某扇

形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長(zhǎng)為60cm,內(nèi)弧線的長(zhǎng)為20cm,連接外弧與內(nèi)弧的兩

端的線段均為18cm,則該扇形的中心角的弧度數(shù)為.

【正確答案】——

9

【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)與扇形的中心角的弧度數(shù)為1的關(guān)系，可求得OC=9cm,進(jìn)而可

得該扇形的中心角的弧度數(shù).

【詳解】解：如圖,

依題意可得弧Z8的長(zhǎng)為60cm,弧的長(zhǎng)為20cm,設(shè)扇形的中心角的弧度數(shù)為a

—.~.OA60

則==，則—=F=3，即04=30(7.

OC20

因?yàn)镹C=18cm,所以O(shè)C=9cm,所以該扇形的中心角的弧度數(shù)Q=0=型

OC9

故答案為.—

9

7.已知函數(shù)/(外=3+加一/一5,且/(-2)=2,那么/(2)=.

x

【正確答案】-12

【分析】代入x=-2,x=2,整體代換求值即可.

【詳解】由題意，/(-2)=-4^+a(-2)3-6x(-2)-5=2,即4+ax23—bx2=—7,

(-2)23

1a

故/(2)=—+ax23-2Z?-5=-7-5=-12,

故-12

8.已知函數(shù)/(》)=x+工—4,關(guān)于x的不等式/(x)?"〉一加+2在區(qū)間1,3上總有

x6

解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

3-岳3+而

【正確答案】

"-6~6~

【分析】由題知/(x),11axzm2一加+2,進(jìn)而根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解最值，解不等式即可.

【詳解】解：當(dāng)xe',3時(shí)，y=x+->2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得等號(hào),

_6Jx

因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，y=x+—=6+—=；

6x66

當(dāng)x=3時(shí)，j^=x+—=3+—=—；

x33

111「13'

所以，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)-,3時(shí)，y=x+一—4G-2—,

6x96

所以，當(dāng)XW：,3時(shí)，/(x)=x+g-4w吟

因?yàn)殛P(guān)于X的不等式/(X)2/一加+2在區(qū)間1,3上總有解,

6

所以，“j+24'解得三普〈腔三普’

3-V153+V15

所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為——,一＞

66

13-岳3+V15-

故-71，―7—

OO

[2-|x|,x<2

9.已知函數(shù)/(x)=《/2,函數(shù)g(x)=6-/(2-x),如果_y=/(x)-g(x)恰

[(x-2),x>2

好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是.

【正確答案】U(2,+s)

【分析】

求出函數(shù)V=/(x)-g(x)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x)+/(2-x),作出函數(shù)Z?(x)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】???g(x)=b—/(2—x),

y=f(x)-g(x)=f(x)-b+/(2-x),

由/(x)-b+/(2—x)=0,

得b=/(x)+/(2—x),

設(shè)//(x)=/(x)+/(2-x),

若x40,則-xNO,2-x22,

則h{x)-/(x)+f(2-x)=2+x+x2,

若0<xW2,則—24—x<0,0W2-x<2,

則h(x)=f(x)+/(2—x)=2—x+2-\2-x\=2—x+2—2+x=2,

若x>2,則一x<—2?2—x<0,

則h(x)=f(x)+/(2_x)=(x—2)2+2—12—x|=爐_5x+8,

x2+x+2,x<0

即h(x)=<2,0<x<2

x2-5x+8,x>2

作出〃(x)的圖象如圖，

77

2->-

當(dāng)xW0時(shí)，〃(x)=2+x+x?=(x+—)4-4?

77

X->-

當(dāng)x>2時(shí)，/z(x)—x2—5x+8=(x—)I4-4

由圖象知要使V=/(X)-g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即〃(x)=方有四個(gè)根，

7

則滿足b=一或6〉2,

4

故｛?U(2,+oo)

函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令人幻=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，切上是連續(xù)不斷的曲線，且/位)：/(6)<0,

還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

10.設(shè)/'(x)=xT,g(x)=--,若存在x”％,…,x“e[L,4],使得

.f(xl)+f(x2)+---++g(X,)=g(X1)+g(X2)+…+g(X“T)+/(4)成立,則正整數(shù)

〃的最大值為

【正確答案】6

【分析】

由題設(shè)/*,,)-g6)N3且”[；,4]上有/(x?)-g(x?)e[吟]，所以

叫,々,…,X“€耳,4],使得/(xj-g(xj+…+/(X._i)-g(X,T)=/(X,)-g(X“)成立，只

需"(X“)-g(X.)]max?3(〃-1)即可，進(jìn)而求得正整數(shù)〃的最大值.

【詳解】由題意知：…,x,w[；,4],使

/Ul)-g(X])+…+/(X,T)-g(X“T)=f(Xn)~g(xn)成立，

4I4-1

而/(/)一g(x?)=x?-l+—>2xn——1=3當(dāng)且僅當(dāng)X?=2G[-,4]時(shí)等號(hào)成立，

X.yX”4

.?"(%)-g(Q3(〃-1),而匕心4],即〃工)一g(x,,)e[3學(xué)，

；.僅需3(〃一1)〈春成立即可，有〃4卷，故正整數(shù)〃的最大值為&

故答案為.6

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合基本不等式有/a)-g?)+...+/(x,T)—g(x,i)23(〃一1),即

/(x“)-g(x“)Z3(〃-l),應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求值域，并將存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)閉區(qū)間

內(nèi)有解，只要解(%只一g(x.)]皿23(〃-1)即可求最值.

二、選擇題(本題滿分16分，每題4分，共4題)

11.已知久b為實(shí)數(shù)，若a:ab=O,0:a2+K=O,則。是用的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷方法來判斷即可.

【詳解】當(dāng)。6=0時(shí)，若。=1力=0,不能推出/+6=o,不滿足充分性；

當(dāng)/+指=0,則。=6=0,有ab=Q,滿足必要性；

所以a是夕的必要不充分條件.

故選：B.

119

12.已知實(shí)數(shù)，。+196=1,則一+一的最小值為()

ah

A.100B.300C.800D.400

【正確答案】D

【分析】應(yīng)用“1”的代換，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為362+—+——，再利用基本不等式求最小

ab

值即可，注意等號(hào)成立的條件.

【詳解】由。］>0,。+196=1,

.11911919619。119b19a必口彳口也

---+—=(—+—)(a+19b)=362+——+——>362+2--------=400,當(dāng)且僅當(dāng)

abababVab

a=b時(shí)等號(hào)成立.

119

*,?—1~~的最小值為400.

ab

故選：D

13.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于下列命題：

①若存在常數(shù)加，使得對(duì)任意xeR,有/(x)NM,則〃是函數(shù)/(x)的最小值；

②若函數(shù)/(x)有最小值，則存在唯一的x°eR,使得對(duì)任意xeR,有/(x)?/(%)；

③若函數(shù)/(x)有最小值，則至少存在一個(gè)/eR,使得對(duì)任意xeR,有/(x"/(xo)；

④若/(x。)是函數(shù)/(x)的最小值，則存在xeR,使得

則下列為真命題的選項(xiàng)是()

A.①②都正確B.①③都錯(cuò)誤C.③正確④錯(cuò)誤D.②錯(cuò)誤

④正確

【正確答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)最小值的定義依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于①，w不一定是函數(shù)/(X)的函數(shù)值，所以可能/(X)的最小值大于

故錯(cuò)誤；

對(duì)于②，函數(shù)/(x)有最小值，則可能存在若干個(gè)使得對(duì)任意xeR,有

/(x)>/(x0),故錯(cuò)誤；

對(duì)于③，函數(shù)/(x)有最小值，則由最小值的定義，至少存在一個(gè)/eR，使得對(duì)任意xeR,

有/(x)?/(%),故正確；

對(duì)于④，若/(%)是函數(shù)/(x)的最小值，則存在xeR,使得故錯(cuò)誤；.

故真命題的選項(xiàng)是②錯(cuò)誤④正確.

故選：D

14.設(shè)為，巧分別是函數(shù)/'(X)="一/和g(x)=xbg“xT的零點(diǎn)(其中a〉l),則

%+9々的取值范圍是()

A.[6,+00)B.(6,+00)C.[10,+00)D.

(10,+oo)

【正確答案】D

【分析】

根據(jù)零點(diǎn)定義，可得分別是優(yōu)=:和108“8=:的解.結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系可知

玉，演分別是函數(shù)夕=(與函數(shù)夕=/和函數(shù)y=b及1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可得

0<%<1,%>1.而y=優(yōu)與互為反函數(shù)，則由反函數(shù)定義可得否=1.再根據(jù)

基本不等式，即可求得否+X2的最小值，將不+9X2化為王+X2+8X2，即可得解.

【詳解】因?yàn)闉?，巧分別是函數(shù)/")=x-尸和g(x)=xlogux-1的零點(diǎn)

則,x2分別是a"=-和log”x=-的解

所以不，々分別是函數(shù)y=（與函數(shù)夕=優(yōu)和函數(shù)y=lo&x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

所以交點(diǎn)分別為zX1,—,Bx,一

IX\JI2X2）

因?yàn)閍>1

所以0<X]<1,》2>1

由于函數(shù)N=g與函數(shù)y=相和函數(shù)歹=k）g“1都關(guān)于y=x對(duì)稱

所以點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于V=x對(duì)稱

[1>（1

因?yàn)?X,,—關(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為一,引

、XJ\X1>

1

所以X|--

%

即X]/2=1,且陽

所以X1+9X2

=X]+w+8X2

>2J%]?x2+8X2

>2+8%,由于否hw，所以不能取等號(hào)

因?yàn)椋?gt;1

所以2+8七>2+8=10

即％+9X2G（10,+OO）

故選:D

本題考查了反函數(shù)的定義及性質(zhì)綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用，基本不等式求最值，綜合

性強(qiáng)，屬于難題.

三、解答題（本題滿分44分，共4題）

15.已知sina=2cosa.

（1）求tan（a+：）的值;

2sin2a+1

(2)求「的值.

sin(兀一a)cosa

【正確答案】（1）-3

13

(2)

T

【分析】（1）由題知tana=2,再根據(jù)正切的和角公式求解即可;

（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合齊次式求解即可.

【小問1詳解】

解：由sina=2cosa知tana=2,

(71tana+1_2+1

所以tan[a+w

1-tan?1-2

【小問2詳解】

解：由sina=2cosa知由na=2；

22a+2a+s2aan2a+113

所以---------------=----------------=-----------=—.

sin（7r-a）cos?sin?cosatana2

16.2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.在黨和

政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)

工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉

行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷

費(fèi)用機(jī)萬元（〃?20）滿足x=4——匚（人為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售

量只能是2萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入

16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平

均成本按紅叵元來計(jì)算）

X

（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；

（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

1r

【正確答案】(1)y=36------------m(m>0)

m+l

（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬元

【分析】（1）根據(jù)題意列方程即可.

（2）根據(jù)基本不等式，可求出一旦+（加+1）的最小值，從而可求出36-----〃?的最大

777+1777+1

值.

【小問1詳解】

由題意知，當(dāng)〃7=0時(shí)，x=2（萬件），

2

則2=4—%，解得左=2,：.x=4-----

m+1

所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5x出處（元），

X

/.2020年的利潤(rùn)y=1.5xx'I'—8—16）一加=36——----m（m＞0）.

xm+\

【小問2詳解】

???當(dāng)〃？20時(shí)，機(jī)+1〉0,

.?.*-+（加+1）22舊=8,

加+1

當(dāng)且僅當(dāng)一旦=（m+1）即〃?=3時(shí)等號(hào)成立.

m+1

”-8+37=29,

即〃7=3萬元時(shí)，Vmax=29（萬元）.

故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬元.

17.已知函數(shù)/（x）=log?（2x-3）+1（。＞0,aw1）.

（1）當(dāng)。=2時(shí)，求不等式/（x）＜3的解集；

（2）當(dāng)a=10時(shí)，設(shè)g（x）=/（x）-l,且g（3）=肛g（4）=〃,求皿45（用加，”表示）;

（3）在⑵的條件下，是否存在里擎數(shù)左，使得不等式2g（》+1）＞@/）在區(qū)間［3,5］上

有解，若存在，求出左的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

（37）2m+〃

【正確答案】（1）；（2）——；（3）存在，3.

＜22）m-n+\

【分析】（1）。=2時(shí)，不等式即log2（2x—3）＜2,解不等式可得結(jié)果;

(2)依題意得機(jī)=lg3,〃=lg5,進(jìn)而由換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果;

(2x-1)2(21)2

(3)依題意得力＜在區(qū)間［3,5］上有解；令人⑴,xe[3,5])則

X2X2

左＜〃(x)1rax，因此求得〃(x)的最大值即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)。=2時(shí),/(x)=log2(2x-3)+1<3

故0＜2x-3＜4,所以不等式/(x)＜3的解集為

(2)當(dāng)a=10時(shí)，g(x)=/(x)-l=lg(2x-3),

m=g(3)=lg3,w=g(4)=lg5,

.In?45=幽=—+妙=2m+〃

lg6Ig3+lg2m-n+\

(3)在(2)的條件下，不等式2g(x+l)＞lg(小)化為炮(2*-1『＞炫(小),

(21)2

即人＜—if在區(qū)間［3,5］上有解.令"x)=,xe[3,5]，貝必<Mx)max，

X2X2

(2x7)2、21]_]_

,/7/(x)=--2—e

25,3

X7X

Q1

?'/＜人(司2=A(5)=福，又%是正整數(shù)，故％的最大值為3.

18.若函數(shù)/(X)對(duì)定義域內(nèi)的任意X都滿足/(x)=/(￡j,則稱/(X)具有性質(zhì)

(I)判斷/(x)=x+：是否具有性質(zhì)“，并證明〃x)在(0,1)上是嚴(yán)格減函數(shù);

(2)已知函數(shù)g(x)=|lnx|,點(diǎn)力Q,0),直線y=f(f〉O)與g(x)的圖象相交于8、C兩

點(diǎn)(B在左邊)，驗(yàn)證函數(shù)g(x)具有性質(zhì)/并證明?卸＜?。；

1

(3)已知函數(shù)"(x)=X--,---是否存在正數(shù)〃?，〃，k,當(dāng)力(x)的定義域?yàn)樵凇?〃］時(shí)，其

X

值域?yàn)椋鄱?，?］,若存在，求左的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【正確答案】(1)具有，證明見解析;

（2）證明見解析:（3）不存在，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)具有性質(zhì)M的定義判斷即可，結(jié)合單調(diào)性的定義證明即可；

（2）根據(jù)具有性質(zhì)〃的定義判斷即可，再根據(jù)|lnx|=/得進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)

間的距離公式作差法比較即可；

（3）根據(jù)題意，分0＜加＜〃＜1或1＜加＜〃，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性討論求解即可.

【小問1詳解】

}=/(x)

解:，所以函數(shù)/（X）具有性質(zhì)〃,

X

任取0<x,<x2<1,

xx-1

則/(…)一/(了2)=^|+—X?H---=(Xj-/)+-{2

X

I%27\X\

因?yàn)?<$<W<1，所以1>>°，玉—12<0，

所以/（須）-/（%）＞0,即/（須）〉/（馬），

所以，/（x）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】