貴州省貴陽市高一年級第一屆“π”杯數(shù)學競賽試題一、填空題（本大題共7小題）1．彝族圖案作為人類社會發(fā)展的一種物質(zhì)文化，有著燦爛歷史.按照圖案的載體大致分為彝族服飾圖案，彝族漆器圖案，彝族銀器圖案等.其中蘊含著豐富的數(shù)學文化，如圖1：漆器圖案中出現(xiàn)的“阿基米德螺線”，該曲線是由一動點沿一條射線以等角速度轉(zhuǎn)動所形成的軌跡.這些螺線均勻分布，將其簡化抽象為圖2所示，若OA長為2個單位，則∠AOB所對應(yīng)的弧長為.圖1圖22．已知不等式的解集為（2，3），則不等式的解集為.3．已知，則.4．在數(shù)學文化節(jié)活動中，被稱為“數(shù)學小王子”的小明同學參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個數(shù)之外的每一個方格中，填入一個數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和分別相等，且均為m.小明同學抽取到的題目如圖所示，他運用所學的數(shù)學知識，很快就完成了這個游戲，則.16745．已知，表示兩個夾角為的單位向量，O為平面上的一個固定點，P為這個平面上任意一點，當時，定義為點P的斜坐標.設(shè)點Q的斜坐標為，則.6．已知，是夾角為120°的兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則.7．魏晉南北朝時期，我國數(shù)學家祖沖之利用割圓術(shù)，求出圓周率約為，是當時世界上最精確的圓周率結(jié)果，直到近千年后這一記錄才被打破，若已知的近似值還可以表示成4cos38°，則的值為.二、解答題（本大題共2小題）8．，的夾角為120°，，.（1）求；（2）若與互相垂直，求.9．設(shè)實數(shù)，函數(shù).（1）若的最小正周期是，求在上的最大值與最小值；（2）若在上有且僅有2個零點，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】【分析】根據(jù)題意∠AOB所對應(yīng)的弧長為整個圓的，從而得到結(jié)果.【詳解】∠AOB所對應(yīng)的弧長為整個圓的，整個圓周長為，故∠AOB所對應(yīng)的弧長為.2．【正確答案】【分析】根據(jù)韋達定理求出a，b，代入解二次不等式即可.【詳解】由不等式的解集為（2，3），則，則，則，即為，解得.故3．【正確答案】5【分析】設(shè)，再用k表達ab求解即可.【詳解】設(shè)，則，，，故.故54．【正確答案】39【分析】由圖，設(shè)，由題可得，，，，表達式即可得答案.【詳解】由圖，設(shè)，則由第一列，.由第二排，有.又由從左到右對角線，，又由第三列，后由從右到左對角線，.故3916745．【正確答案】【分析】根據(jù)條件得到，再利用模長的定義及數(shù)量積的運算，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，又，表示兩個夾角為的單位向量，所以，故6．【正確答案】【分析】由投影向量計算公式可得答案.【詳解】在向量上的投影向量為..7．【正確答案】8【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及倍角公式，進行轉(zhuǎn)化運算，即可求解.【詳解】因為，所以.故8.8．【正確答案】（1）7（2）.【分析】（1）利用，展開后代入數(shù)量積公式求得答案；（2）由與互相垂直，得，展開后化為關(guān)于的方程求解.【詳解】（1），的夾角為120°，，，.故.（2）若與互相垂直，得，即.所以，整理得，即，解得.9．【正確答案】（1）最大值，最小值1；（2）.【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)，由周期求出，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出最值即得.（2）由（1）的信息，求在上使成立的x值僅只兩個的的范圍.【詳解】（1）依題意，，由的最小正周期是