關(guān)于整體把握數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

“數(shù)學(xué)思想”往往是觀念的、普遍的、深刻的、內(nèi)在的、概括的；數(shù)學(xué)方法——用數(shù)學(xué)思想解決具體問題時逐漸形成的程序化操作。如換元法，代入法，配方法等。

“數(shù)學(xué)方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。

“知識”和“技能”是顯性的，“思想”“經(jīng)驗”是隱性的

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓！數(shù)學(xué)思想——將具體的數(shù)學(xué)知識都忘掉以后剩下的東西。第2頁,共121頁，2024年2月25日，星期天《課標(biāo)》中的基本思想：數(shù)學(xué)抽象的思想：分類、集合、數(shù)形結(jié)合、符號表示、對稱、對應(yīng)、有限與無限等數(shù)學(xué)推理的思想：歸納、演繹、化歸、聯(lián)想、類比、特殊與一般、代換、逐步逼近等數(shù)學(xué)建模的思想：簡化、量化、函數(shù)、方程、優(yōu)化、隨機、抽樣統(tǒng)計等。第3頁,共121頁，2024年2月25日，星期天例21圖形分類。如圖6所示，桌上散落著一些扣子，請把這些扣子分類。想一想：應(yīng)當(dāng)如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)？根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)可以把這些扣子分成幾類？然后具體操作，并用文字、圖畫或表格等方式把結(jié)果記錄下來。圖6第4頁,共121頁，2024年2月25日，星期天例.將七個杯子放在桌子上，三個杯口朝上，四個杯口朝下，現(xiàn)要求每次同時翻轉(zhuǎn)其中四個，使杯口朝向相反。問能否經(jīng)過有限次翻轉(zhuǎn)后，使所有杯子杯口均朝下？關(guān)鍵：如何“符號表示”第5頁,共121頁，2024年2月25日，星期天歷史表明，數(shù)學(xué)的發(fā)展，不僅表現(xiàn)為量的積累，而且還表現(xiàn)為質(zhì)的飛躍。數(shù)學(xué)思想方法在歷史上經(jīng)歷了三次重大轉(zhuǎn)折：

◆從算術(shù)到代數(shù)；

◆從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)；

◆從確定數(shù)學(xué)到隨機數(shù)學(xué)。

回顧、總結(jié)和分析這三次重大轉(zhuǎn)折，將有助于我們?nèi)媪私鈹?shù)學(xué)思想方法演變的歷史及其規(guī)律。第6頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

§1從算術(shù)到代數(shù)什么是算術(shù)呢？算術(shù)的局限性、代數(shù)的產(chǎn)生和代數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)的形成第7頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

一、什么是算術(shù)呢？

算術(shù)（arithmetic)是每一個人開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時必須學(xué)習(xí)的、不可回避的內(nèi)容，也是一門古老的、原始的數(shù)學(xué)。而算術(shù)的思維是一個人數(shù)學(xué)思維發(fā)展的基礎(chǔ)。那么什么是算術(shù)呢？

古代算術(shù)的主要內(nèi)容是正整數(shù)、零和正分?jǐn)?shù)的性質(zhì)與四則運算。第8頁,共121頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容包括兩部分：討論自然數(shù)的讀法、寫法和基本運算；進(jìn)位制和記數(shù)法；

分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)計算，各種量及其計算；比和比例。

算術(shù)運算的方法與原理的應(yīng)用。加、減、乘、除的方法；算術(shù)應(yīng)用題。第9頁,共121頁，2024年2月25日，星期天在中國古代，算術(shù)一詞正式出現(xiàn)于《九章算術(shù)》中。當(dāng)時的“算術(shù)”是泛指數(shù)學(xué)的全體，與現(xiàn)代的意義不同。

直到宋元時代，才出現(xiàn)了“數(shù)學(xué)”這一名詞，在數(shù)學(xué)家的著作中，往往“數(shù)學(xué)”與“算學(xué)”并用。

從19世紀(jì)起，西方的一些數(shù)學(xué)學(xué)科，包括代數(shù)、三角等相繼傳入中國。1937年，清華大學(xué)仍設(shè)“算學(xué)系”。1939年為了統(tǒng)一起見，才確定專用“數(shù)學(xué)系”

第10頁,共121頁，2024年2月25日，星期天在晚清(1903)頒布學(xué)制小學(xué)設(shè)算術(shù)課，中學(xué)設(shè)數(shù)學(xué)課（包括算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角、簿記）。民國初年(1912～1913)學(xué)制，中學(xué)由五年改為四年，數(shù)學(xué)課程不再講授簿記。

1922年公布的學(xué)制，將小學(xué)、中學(xué)都改為六年，各分初高兩級，初小四年,高小二年,初高中皆三年。這個學(xué)制基本沿用到1949年。

第11頁,共121頁，2024年2月25日，星期天現(xiàn)代算術(shù)和古代算術(shù)的區(qū)別：

（1）算術(shù)的內(nèi)容是古代的成人（包括數(shù)學(xué)家）所研究的對象，現(xiàn)代這些內(nèi)容已變成了少年兒童的數(shù)學(xué)。

（2）在現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)里，總結(jié)了長期以來所歸結(jié)出來的五條基本運算性質(zhì)，即加法、乘法的交換律和結(jié)合律，以及乘法對加法的分配律。不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)里所學(xué)習(xí)的數(shù)運算的重要性質(zhì)，也是整個數(shù)學(xué)里著重研究的主要性質(zhì)。

（3）在現(xiàn)代的小學(xué)數(shù)學(xué)里，還孕育著近代數(shù)學(xué)里的“集合”、“函數(shù)”、“算法”、“概率”等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的思想。第12頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

二、算術(shù)的局限性

主要表現(xiàn)在它限制抽象的未知數(shù)參與運算，只允許具體的、已知的數(shù)進(jìn)行運算。因而導(dǎo)致其在解決問題的方法上存在局限性。第13頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

『古代名題』：一個農(nóng)夫有若干只雞與兔，它們共有50個頭，140只足，問雞兔各幾只？解1．假設(shè)50只全是雞，則共有502只足。多出（140－502＝40）40只足。原因何在？在于每只兔子當(dāng)作一只雞時少計兩只足，故40÷2＝20應(yīng)是兔子的頭數(shù)。列式：（140－502）÷（4－2）=20（兔頭數(shù)）50－20＝30（雞頭數(shù)）×××第14頁,共121頁，2024年2月25日，星期天不同的同學(xué)因思路不同，解法也迥然不同。有一位同學(xué)就曾給出如下的算式：解2．140÷2－50＝20（兔頭數(shù)）50－20＝30（雞頭數(shù)）第15頁,共121頁，2024年2月25日，星期天學(xué)生的解釋：把雞的腿捆在一起都看成金雞獨立的“單腳雞”，把兔看成前腳抱著大蘿卜站著的“雙腳兔”。這時有頭50，有足（140÷2）70只。因為每只“雙腳兔”比“單腳雞”多計一只腳，共計多計70－50＝20只腳，這也正是免的頭數(shù)！這個解釋簡直叫人拍案叫絕！但這個同學(xué)若不講出來，怎么能從140÷2－50=20的算式中看到上述的思維過程呢？第16頁,共121頁，2024年2月25日，星期天代數(shù)解法：解3．設(shè)農(nóng)夫有雞x只，共足2x，有兔50－x只，共足4（50－x）由雞兔總足數(shù)為140，得

2x＋4（50－x）=140解得x=30（雞的只數(shù)）50－30=20（兔的只數(shù))第17頁,共121頁，2024年2月25日，星期天【課

標(biāo)】從上面的討論可以看到，用四則運算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計算較繁瑣。在教學(xué)過程中，可以結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容使用這個例子，最后進(jìn)行比較，啟發(fā)學(xué)生思考。解3．設(shè)雞x只，兔子數(shù)為y，可得

x+y=502x+4y=140，求解得到x=30和y=20。代數(shù)解法：第18頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

算術(shù)方法因題而異，因思路而異。

算術(shù)解題方法的基本思想是：首先要圍繞所求的數(shù)量，收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問題的條件列出用已知數(shù)據(jù)表示所求數(shù)量的算式，然后通過四則運算求得算式的結(jié)果。

這種方法的關(guān)鍵之處是列算式。

但是面臨具有較為復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的實際問題時，列算式是非常困難的，因此這種方法比較笨拙，甚至無法解決問題。第19頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

三、代數(shù)的產(chǎn)生

算術(shù)的這種局限性，在很大程度上限制了其應(yīng)用范圍。但卻由此促使新的數(shù)學(xué)分支——代數(shù)的產(chǎn)生。第20頁,共121頁，2024年2月25日，星期天代數(shù)方法則正如牛頓所說：

“要想解一個有關(guān)數(shù)目的問題或有關(guān)量的抽象關(guān)系的問題，只要把問題里的日常語言翻譯成代數(shù)的語言就成了”。

第21頁,共121頁，2024年2月25日，星期天1、“代數(shù)”術(shù)語的來源

“代數(shù)”（algebra）一詞最早來自阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米：《還原和對消的科學(xué)》（830）

“代數(shù)”作為一個數(shù)學(xué)專有名詞，在我國正式使用，最早是在1859年。清代數(shù)學(xué)家李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書，譯本的名稱就叫做《代數(shù)學(xué)》。

第22頁,共121頁，2024年2月25日，星期天李善蘭在翻譯中首創(chuàng)了一批漢語數(shù)學(xué)名詞：

◆代數(shù)學(xué)：方程式、代數(shù)、函數(shù)、常數(shù)、變數(shù)、系數(shù)、未知數(shù)、虛數(shù)等近30個名詞?！艚馕鰩缀危涸c、圓錐曲線、拋物線、雙曲線、漸近線、切線、法線、（超）越曲線，擺線、蚌線、螺線等20多個名詞；

◆微積分：無窮、極限、曲率、歧點、微分、積分等20多個名詞。這批譯名受到后世學(xué)者的好評,它標(biāo)志著這批數(shù)學(xué)概念的標(biāo)準(zhǔn)化已完成，為普及數(shù)學(xué)掃除了障礙.第23頁,共121頁，2024年2月25日，星期天三種數(shù)——有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)三種式——整式、分式、根式三種方程(組)——整式方程、分式方程、根式方程

初等代數(shù)基本內(nèi)容第24頁,共121頁，2024年2月25日，星期天三大規(guī)則五條基本運算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；兩條等式基本性質(zhì)：等式兩邊同時加上一個數(shù)，等式不變；等式兩邊同時乘以一個非零的數(shù)，等式不變；三條指數(shù)律：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)的乘方,底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方等于乘方的積。第25頁,共121頁，2024年2月25日，星期天置換培訓(xùn)：南充X中觀摩課教學(xué)內(nèi)容：同底數(shù)冪的除法（指數(shù)相減，冪相除）（冪相除，指數(shù)相減）強調(diào)“m,n是正整數(shù)”,“指數(shù)相減，作除法”。第26頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

關(guān)于“零指數(shù)”教學(xué)方案的設(shè)計可作如下考慮：教學(xué)目標(biāo)不僅要包括了解零指數(shù)冪的“規(guī)定”、會進(jìn)行簡單計算，還要包括感受這個“規(guī)定”的合理性，并在這個過程中學(xué)會數(shù)學(xué)思考、感悟理性精神。例81“零指數(shù)”的教學(xué)設(shè)計。本實例希望體現(xiàn)課程目標(biāo)在課堂教學(xué)中的整體落實——通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅理解和掌握有關(guān)的知識技能，而且初步了解指數(shù)概念是如何擴充的，感受零指數(shù)“規(guī)定”的合理性。指數(shù)的擴充：第27頁,共121頁，2024年2月25日，星期天通過計算提出問題：如果應(yīng)用同底數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以得到那么有什么意義呢？等于多少呢？我們需要做出解釋，數(shù)學(xué)面臨了挑戰(zhàn)。我們先回顧簡單的事實：，于是可以自然提出猜想：，然后采用各種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受規(guī)定“”的合理性。第28頁,共121頁，2024年2月25日，星期天例如：用細(xì)胞分裂作為情境，提出問題：一個細(xì)胞分裂1次變2個，分裂2次變4個，分裂3次變8個……那么，一個細(xì)胞沒有分裂時呢？觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪16，8，4，2，等等點的位置變化，可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化，可以發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律：第29頁,共121頁，2024年2月25日，星期天這樣，在學(xué)生感受“”的合理性的基礎(chǔ)上，做出零指數(shù)冪意義的“規(guī)定”，即在規(guī)定的基礎(chǔ)上，再次驗證這個規(guī)定與原有“冪的運算性質(zhì)”是無矛盾的，原有的冪的運算性質(zhì)可以擴展到零指數(shù)。例如，計算第30頁,共121頁，2024年2月25日，星期天綜上，學(xué)生在學(xué)習(xí)“零指數(shù)”時將經(jīng)歷如下的過程：

面對挑戰(zhàn)進(jìn)行思考—-提出“規(guī)定”的猜想—-通過各種途徑說明“規(guī)定”的合理性—-做出“規(guī)定”—-驗證這種“規(guī)定”與原有知識體系無矛盾—-指數(shù)概念和性質(zhì)得到擴展。

這樣的過程較充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，有助于學(xué)生感悟指數(shù)概念是如何擴展的，他們借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)”所獲得的經(jīng)驗，可以進(jìn)一步嘗試對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”。這樣的過程較充分地展示了“規(guī)定”的合理性，有助于發(fā)展學(xué)生的理性思維。第31頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

初等代數(shù)的基本思想

首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出方程，然后通過對方程進(jìn)行恒等變換求出未知數(shù)的值。方程思想是初等代數(shù)的核心！第32頁,共121頁，2024年2月25日，星期天【雞兔同籠】思想方法的演變雞數(shù)+兔數(shù)=502×雞數(shù)+4×兔數(shù)=140算術(shù)X+Y=502X+4Y=140X+Y=m2X+4Y=n(特殊到一般)(特殊到一般)代數(shù)第33頁,共121頁，2024年2月25日，星期天(特殊到一般)方程組或直線（引入矩陣）矩陣方程第34頁,共121頁，2024年2月25日，星期天(引入行列式)線性代數(shù)第35頁,共121頁，2024年2月25日，星期天初等代數(shù)的兩條主線數(shù)系：正整數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→實數(shù)→復(fù)數(shù)運算：加、減、乘、除、乘方、開方、指數(shù)、對數(shù)等代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)！第36頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

2．?dāng)?shù)學(xué)符號思想數(shù)學(xué)符號是代數(shù)的基本特征，數(shù)學(xué)符號的誕生和發(fā)展在一定程度上體現(xiàn)了初等代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程。

第37頁,共121頁，2024年2月25日，星期天初等代數(shù)的數(shù)學(xué)符號：（1）數(shù)量符號：1,2；1.54,4.3；（2）運算符號：=，≈，<,>.≤,≥,∥,⊥,≌,∽等＋,－,×,÷,（3）關(guān)系符號：（4）結(jié)合符號：（），［］，｛｝（５）性質(zhì)符號：＋，－，︱︱，（６）縮略符號：第38頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

第一階段：文字代數(shù)開始向簡寫代數(shù)轉(zhuǎn)變

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（246—330年）

第39頁,共121頁，2024年2月25日，星期天『代數(shù)學(xué)之父』丟番圖西方人將古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖看作是代數(shù)學(xué)的鼻祖。希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過幾何論證的命題才是可靠的。一切代數(shù)問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來。他認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜於解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨樹一幟。他被后人稱為『代數(shù)學(xué)之父』。第40頁,共121頁，2024年2月25日，星期天『丟番圖的墓志銘』這里是一座石碑，里面安葬著丟番圖。他的壽命有多長，下面這些文字可以告訴你。他的童年占一生的1/6，接著1/12是少年時期，又過了1/7的時光，他找到了終生伴侶。5年之后，婚姻之神賜給他一個兒子，可是兒子命運不濟，只活到父親壽數(shù)的一半，就匆匆離去。后來4年，丟番圖因為失去愛子而傷悲，終于告別科學(xué)，離開了人世。第41頁,共121頁，2024年2月25日，星期天丟番圖《算術(shù)》創(chuàng)造了一套縮寫符號，比如，用表示未知數(shù)，用表示常數(shù)項。二次冪---；三次冪---；四次冪---；五次冪---；減號---。丟番圖的《算術(shù)》是數(shù)學(xué)史上的一個里程碑。第42頁,共121頁，2024年2月25日，星期天方程中所有的負(fù)項都放在一個減號后，未知數(shù)乘冪的系數(shù)是用放在該冪號后的希臘數(shù)字表示，方程記作第43頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

第二階段：符號系統(tǒng)地引進(jìn)到數(shù)學(xué)十六世紀(jì)時，韋達(dá)將符號系統(tǒng)地引進(jìn)到數(shù)學(xué)中。例如韋達(dá)用元音字母表示未知量，用輔音字母表示已知量。在韋達(dá)以前，通常使用不同的字母或符號來表示一個量的各次冪。韋達(dá)則使用同一個字母，再加以適當(dāng)?shù)恼f明，來表示這些冪。如韋達(dá)把我們現(xiàn)在所寫的x，x2，x3分別記為A，Aquadratum，Acubum。第44頁,共121頁，2024年2月25日，星期天第三階段：數(shù)學(xué)符號的完善與創(chuàng)新

笛卡爾、萊布尼茲和歐拉改進(jìn)和創(chuàng)設(shè)了一些新的數(shù)學(xué)符號，使數(shù)學(xué)符號成為數(shù)學(xué)的基本特征。例如，笛卡爾在1637年用字母表中后幾個字母表示未知量，如x，y，z，而用前幾個字母表示已知量，如a，b，c等，這就是現(xiàn)在我們?nèi)匀徊捎玫膽T例。第45頁,共121頁，2024年2月25日，星期天對于一個量的各次冪，笛卡爾還引入了現(xiàn)在仍然采用的指數(shù)的統(tǒng)一寫法：x，x2，x3等。笛卡爾提出和使用的許多符號基本上現(xiàn)在一直在沿用。

笛卡爾等人對抽象符號的普遍使用，表明初等代數(shù)已開始進(jìn)入成熟時期。

第46頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

17世紀(jì)以后，代數(shù)在解方程的基礎(chǔ)上，先后沿兩個方向發(fā)展：

代數(shù)方程論---當(dāng)代數(shù)方程的次數(shù)增加時圍繞代數(shù)方程的根式解法發(fā)展而形成。

線性代數(shù)---當(dāng)未知數(shù)的個數(shù)與代數(shù)方程的個數(shù)同步增加時圍繞方程組的解法而形成。第47頁,共121頁，2024年2月25日，星期天二次方程求根公式第48頁,共121頁，2024年2月25日，星期天三次方程求根公式第49頁,共121頁，2024年2月25日，星期天四次方程求根公式第50頁,共121頁，2024年2月25日，星期天到19世紀(jì)中期，法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦明確而徹底的解決了哪些方程可以用代數(shù)運算求解。抽象代數(shù)階段---引進(jìn)了群和域的概念，從而使代數(shù)學(xué)進(jìn)入結(jié)構(gòu)時代。這種理論的重要意義不在于解決高次方程根式解的問題，而在于通過它的研究使代數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個更高階段。伽羅瓦(varisteGalois,1811-1832)第51頁,共121頁，2024年2月25日，星期天什么是結(jié)構(gòu)？

四、代數(shù)結(jié)構(gòu)思想的形成結(jié)構(gòu)，就是事物間的相互聯(lián)系和規(guī)律?！敖Y(jié)構(gòu)”是詩詞的生命?！痉ā坎紶柊突?-----“數(shù)學(xué)是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論”第52頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

數(shù)學(xué)中研究的對象本無所謂結(jié)構(gòu)但引入關(guān)系后就形成了結(jié)構(gòu)。如，初等代數(shù)中，研究的對象為全實數(shù)及字母組成的集合G；引入運算關(guān)系：＋,－,×,÷,則（1）G中只有“×”運算叫單項式；（2）G中只有“＋，－”運算叫多項式；（3）G中只有“＋，－，×”運算叫整式；（4）G中只有“＋，－，×，÷”運算叫有理式；（5）G中含有“”運算叫無理式；（6）G中含有“”運算叫代數(shù)式；＋,－,×,÷,第53頁,共121頁，2024年2月25日，星期天第54頁,共121頁，2024年2月25日，星期天例全體正有理數(shù)集對于數(shù)的乘法運算構(gòu)成一個群同樣，全體整數(shù)Z對于數(shù)的加法運算構(gòu)成一個群（Z，+）第55頁,共121頁，2024年2月25日，星期天BCAAAAAABBBBBCCCCC旋轉(zhuǎn)變換：軸反射變換：軸OA軸OB軸OC第56頁,共121頁，2024年2月25日，星期天BCAAAAAABBBBBCCCCC置換第57頁,共121頁，2024年2月25日，星期天（1）封閉性（2）結(jié)合律（3）存在單位元（4）存在逆元第58頁,共121頁，2024年2月25日，星期天現(xiàn)在的抽象代數(shù)有群、環(huán)、域、模、格、同調(diào)以及范疇等代數(shù)結(jié)構(gòu)。

這些代數(shù)結(jié)構(gòu)無論就數(shù)學(xué)本身或在其應(yīng)用中都具有重大的意義，以前所累積的大量的代數(shù)內(nèi)容是創(chuàng)造抽象代數(shù)的基礎(chǔ)。第59頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

抽象代數(shù)與初等代數(shù)在思想方法上的差別：

初等代數(shù)屬于計算性的，并且只限于研究實數(shù)和復(fù)數(shù)等特定的數(shù)系，而抽象代數(shù)是概念性、公理化的，它的對象是一般的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)。因此，抽象代數(shù)比初等代數(shù)具有更高的抽象性和更大的普遍性，這就使抽象代數(shù)的應(yīng)用范圍更加廣泛。第60頁,共121頁，2024年2月25日，星期天§2從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)

算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角，構(gòu)成了初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。它們都以常量即不變的數(shù)量和固定的圖形為其研究對象。因此這部分內(nèi)容也稱為常量數(shù)學(xué)。運用常量數(shù)學(xué)可以有效地描述事物和現(xiàn)象相對穩(wěn)定的狀態(tài)?？墒?，對于描述運動和變化，卻是無能為力的。于是便產(chǎn)生了從量上描述事物的運動和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)部分——變量數(shù)學(xué)。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)在思想方法上的又一次重大轉(zhuǎn)折。第61頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

1．自然科學(xué)中研究變量的幾個典型問題

十七世紀(jì)以前生產(chǎn)和自然科學(xué)所提出的問題，常量數(shù)學(xué)大都可以解決，對變量數(shù)學(xué)的需求缺乏迫切性。

然而，到了十七世紀(jì)，隨著歐洲封建社會開始解體和資本主義工場手工業(yè)向機器大生產(chǎn)的過渡，生產(chǎn)和自然科學(xué)部門，向數(shù)學(xué)提出一系列必須從運動變化和發(fā)展觀點來研究事物的新問題。

第62頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

這些新問題，大體可以分為以下五種類型：

第一，描述非勻速運動物體的軌跡。

開普勒在總結(jié)大量觀測資料的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)行星圍繞太陽運動的軌跡是橢圓；伽利略明確提出，各種拋射物體諸如炮彈和石頭的運動軌跡是拋物線。他們的工作引起了人們對圓錐曲線重新研究。圓錐曲線本來早在古希臘時代就被認(rèn)真研究過，不過在十六世紀(jì)之前人們只是出自純數(shù)學(xué)的興趣，而且是用靜態(tài)的觀點來研究圖形的性質(zhì)，即把它們看作是由平面從不同角度截錐體而來的。行星繞日運動和拋體運動則要求人們用運動和變化的觀點來研究圓錐曲線，即把曲線看成是經(jīng)物體運動而生成且隨時間而變化著的軌跡。

第63頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

第二，求變速運動物體的速度或路程。

已知變速運動的物體在某段時間內(nèi)經(jīng)過的路程，求物體在任意時刻的速度和加速度：反過來，已知物體運動的速度或加速度，求某段時間內(nèi)經(jīng)過的路程。

求物體運動的速度或路程是一個古老問題，但以前人們處理的大都是勻速運動的情況，對于變速運動，只能采用求平均速度的方法給出問題的近似解。自然科學(xué)的發(fā)展則要求精確地求出變速運動的物體在某一時刻的瞬時速度，或在某一段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程。這就使傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法完全不適用了。

第64頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

第三，求曲線在任一點的切線。

這個問題主要來源于光學(xué)和力學(xué)的需要。在光學(xué)中，要研究光線在不同介質(zhì)的通道，這就涉及到光線在曲面上的反射角或進(jìn)入另一個介質(zhì)的折射角，而這些角是光線同曲線的法線所夾的角，法線又是垂直于切線的，所以問題就歸結(jié)于求出曲線的切線；在力學(xué)中，運動物體在它軌跡上任一點的運動方向，實質(zhì)上就是軌跡上這一點的切線方向。第65頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

第四，求變量在某種條件下所能達(dá)到的最大值或最小值。

力學(xué)和天文學(xué)涉及到的這類問題較多。例如，炮彈運行的水平距離是一個隨發(fā)射角的變化而變化的變量，求發(fā)射角為多大時這個水平離最大。再如，行星運動與太陽距離是個變量，求這個變量所能達(dá)到的最大值和最小值等等。第66頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

第五，計算曲線長度、曲邊形面積、曲面體體積、物體的重心等。

求積問題也是一個古老的問題。古希臘學(xué)者為解決這類問題曾創(chuàng)立窮竭法，但這個方法缺乏一般性，只能解決某些特殊問題。求物體的重心、變密度物體的重量以及大質(zhì)量物體之間的引力，就其思想方法而言，也屬于這一類問題。第67頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

不難看出上述五類問題有一個共同的特征就是：要求把“變量”作為其研究象。

這些問題成為十六、十七世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的中心課題，正是對這個中心課題的深入研究，導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。

第68頁,共121頁，2024年2月25日，星期天2．變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生及其意義

變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生于十七世紀(jì)。它大體上經(jīng)歷了兩個具有決定性的重大步驟：第69頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

第一個步驟----解析幾何的產(chǎn)生。

1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒發(fā)表《方法論》一書，書后有三篇附錄，其中一篇叫做《幾何學(xué)》。在這篇附錄中，他首次明確提出了點的坐標(biāo)和變數(shù)的思想，并借助坐標(biāo)系用含有變數(shù)的代數(shù)方程來表示和研究曲線。這篇附錄的問世，是解析幾何產(chǎn)生的重要標(biāo)志。第70頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

第二個決定性步驟----微積分的創(chuàng)立。

十七世紀(jì)許多著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家都參與了這一發(fā)明的研究工作。其中貢獻(xiàn)最大的要屬牛頓(1642一1727)和萊布尼茨(1646—1716)兩個人。牛頓主要是從運動學(xué)來研究和建立微積分的。他的微積分思想最早出現(xiàn)在1665年5月20日的一頁文獻(xiàn)中。這一天可做為微積分誕生的日子。第71頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

求函數(shù)y=的流數(shù)，設(shè)x變?yōu)閤+o,于是相應(yīng)變?yōu)?/p>

兩邊減去,得

這個量表示對應(yīng)于x變到x+o,所發(fā)生的變化.也就是當(dāng)x獲得增量o時，所獲得增量.牛頓的“最初比”與“最終比”第72頁,共121頁，2024年2月25日，星期天為了略去含有o的項，牛頓設(shè)想出了考慮x和的增量之比，即“最初比”:當(dāng)增量o消失時，它們的“最終比”為:流數(shù)“是消失了的量的鬼魂！”————貝克萊第73頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

我國高中數(shù)學(xué)教材中的微積分舊教材：數(shù)列極限、函數(shù)極限——導(dǎo)數(shù)與微分——導(dǎo)數(shù)應(yīng)用——不定積分——定積分——定積分的應(yīng)用。新教材：變化率——導(dǎo)數(shù)及其幾何意義——導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——定積分——微積分基本定理——定積分的簡單應(yīng)用。第74頁,共121頁，2024年2月25日，星期天第75頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

導(dǎo)數(shù)概念傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)概念的引入，同時考慮兩個具體問題：物理問題------求運動物體在給定時刻的瞬時速度；幾何問題-------求曲線在給定點的切線的斜率。最后都?xì)w結(jié)為如下形式的極限：第76頁,共121頁，2024年2月25日，星期天（1）引例問題1

氣球膨脹率：很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢。從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？設(shè)氣球的體積V（單位：L）與半徑r（單位：dm)）之間的函數(shù)關(guān)系式，一、導(dǎo)數(shù)概念第77頁,共121頁，2024年2月25日，星期天如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么當(dāng)空氣容量從0增加到1L時，氣球的半徑增加了氣球的平均膨脹率為第78頁,共121頁，2024年2月25日，星期天類似地，當(dāng)空氣的容量V從1L增加到2L時，氣球的半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小了。第79頁,共121頁，2024年2月25日，星期天問題2

高臺跳水：人們發(fā)現(xiàn)，在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系

如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運動狀態(tài)，那么：在這段時間里，在這段時間里，第80頁,共121頁，2024年2月25日，星期天(2)特征歸納如果上述兩個問題中的函數(shù)關(guān)系用表示，那么問題中的變化率可用式子表示，把這個式子稱為函數(shù)的平均變化率。習(xí)慣上用表示即?？梢园芽醋魇窍鄬Φ囊粋€“增量”，也可用代替；類似地，，于是平均變化率可以表示為。第81頁,共121頁，2024年2月25日，星期天（3）導(dǎo)數(shù)概念在高臺跳水運動中，運動員在不同時刻的速度是不同的，把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不一定能反映他在某一時刻的瞬時速度。那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如在t=2時的瞬時速度是多少？通過考察t=2附近的情況，在t=2之前或之后，任意取一個時刻是時間的改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.第82頁,共121頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)△t<0時，在[2+△t,2]這段時間內(nèi)當(dāng)△t>0時，在[2,2+△t]這段時間內(nèi)通過對△t取值，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)△t趨于0時，即無論從小于2一邊，還是從大于2一邊趨于2是，平均速度都趨于一個確定的值-13.1第83頁,共121頁，2024年2月25日，星期天第84頁,共121頁，2024年2月25日，星期天從物理角度看，時間間隔無限小時，平均速度就無限趨近于t=2時的瞬時速度。因此，運動員在t=2時的瞬時速度是-13.1m/s。

為了表述方便，我們用表示“當(dāng)t=2，當(dāng)△t趨于0時，平均速度趨于確定的值-13.1”。第85頁,共121頁，2024年2月25日，星期天一般地，函數(shù)在處的瞬時變化率是稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或即第86頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義，其具體表現(xiàn)可概括為以下三個方面：

（1）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)自身在思想方法上發(fā)生了重大的變革，由此帶來整個數(shù)學(xué)面貌的根本性改觀。第87頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

例如，可把解方程理解為求函數(shù)的零點，借助分析的方法給出了代數(shù)基本定理的嚴(yán)格證明等等。通過這次變革，新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科雨后春筍般地涌現(xiàn)出來，諸如解析數(shù)論、微分幾何、常微分方程論、偏微分方程論、積分方程論、級數(shù)論、差分學(xué)、實變函數(shù)論和復(fù)變函數(shù)論等?？傊瑥淖兞繑?shù)學(xué)產(chǎn)生后，變量數(shù)學(xué)的思想方法很快就在整個數(shù)學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)地位，長時期內(nèi)規(guī)定和影響著數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。第88頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

（2）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，使自然科學(xué)描述現(xiàn)實物質(zhì)世界的運動和變化過程成為可能。

在現(xiàn)實世界中，“靜”和“?！笨偸菚簳r的、相對的，“動”和“變”則是永恒的、絕對的。

恩格斯：

“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運動?！弊宰兞繑?shù)學(xué)產(chǎn)生以后，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)各部門的應(yīng)用范圍得到了空前的擴展。第89頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

（3）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生具有重大的哲學(xué)意義。

變量數(shù)學(xué)的基本概念：變量、函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)和微分，以及微分法和積分法，從本質(zhì)上看，不外是辯證法在數(shù)學(xué)上的運用。恩格斯：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)”．可以說，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，是辯證法在數(shù)學(xué)中取得的一次根本性勝利。恩格斯：“在一切理論成就中，未必有什么象十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了?！?/p>

第90頁,共121頁，2024年2月25日，星期天§3從確定數(shù)學(xué)到隨機數(shù)學(xué)確定數(shù)學(xué)的局限性隨機數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展隨機數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義第91頁,共121頁，2024年2月25日，星期天一、確定性數(shù)學(xué)的局限性

人們在社會實踐活動常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是確定性現(xiàn)象，特點是：在一定的條件下，其結(jié)果完全被決定，或者完全肯定或者完全否定，不存在其他可能。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會發(fā)生某種結(jié)果，或者必然不會發(fā)生某種結(jié)果。

第92頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

在數(shù)學(xué)中，把研究確定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。

代數(shù)、幾何、方程和微積分等均屬于確定數(shù)學(xué)的范疇。

例如天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了谷神星，但是無法確定它再次出現(xiàn)的時間和位置，高斯利用天文學(xué)家提供的觀察得來的數(shù)據(jù)，通過一個方程預(yù)見了谷神星出現(xiàn)的時間和位置。第93頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

另一類是隨機現(xiàn)象，特點是：

在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。

比如，投擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，但是預(yù)先作出確定的判斷是不可能的。對于這類現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來加以定量描述。

第94頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

隨機現(xiàn)象并不是雜亂無章的現(xiàn)象，就個體而言，似乎沒有什么規(guī)律存在，但當(dāng)同類現(xiàn)象大量出現(xiàn)時，從總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，但是確定數(shù)學(xué)無法定量地揭示這種規(guī)律性。確定數(shù)學(xué)的這種局限性并沒有阻礙數(shù)學(xué)家的思考和尋求，一種專門適用于分析隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具也就成為十分必要的了。從而創(chuàng)立了隨機數(shù)學(xué)——概率理論與數(shù)理統(tǒng)計。第95頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

二、隨機數(shù)學(xué)的產(chǎn)生

概率和統(tǒng)計的歷史可以追溯到遙遠(yuǎn)的古代，比如，在公元前2000年的埃及古墓中已有正方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動中就有概率思想的雛型。但是概率論作為一門學(xué)科，則醞釀于16世紀(jì)前后的兩百余年之間，產(chǎn)生于17世紀(jì)中期前后。

第96頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

它的起源于賭博經(jīng)的“點問題”

1653年夏天，法國著名數(shù)學(xué)、物理學(xué)家帕斯卡(1623－1662）前往埔埃托鎮(zhèn)度假。旅途中，他遇到了騎士梅勒（M?re,1610～1685）。梅勒是經(jīng)常出沒于賭場的“賭壇老手”。為了消除旅途的寂寞，梅勒吹噓起“賭博經(jīng)”，并向帕斯卡提出了一個十分有趣的“分賭注”的問題。問題是這樣的：一次，梅勒與其賭友擲骰子．每人押了32個金幣的賭注，并約定，如果梅勒先擲出三個6點，或其賭友先擲出三個4點，便算贏家。第97頁,共121頁，2024年2月25日，星期天遺憾的是這場賭注不算小的賭博并未能順利結(jié)束。當(dāng)梅勒已擲出兩次6點，其賭友擲出一次4點時，梅勒接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓。君命難違，但就此收回各自的賭注，又不甘心。他們只好按照已有的成績分取這64個金幣。這下可把他們難住了。賭友說，他要再碰上兩次4點，或梅勒要再碰上一次6點就算贏了，所以他有權(quán)分得梅勒的一半，即64個金幣的1/3。梅勒不同意這樣分，他說，即使下次賭友擲出一個4點，他還可得賭金的1/2，即32個金幣，再加上下次他還有一半希望得6點，這樣又可分得16個金幣，故他至少應(yīng)得64個金幣的3/4。誰是誰非，爭論不休，其結(jié)局也就不得而知了。不過梅勒對于此事卻一直耿耿于懷，所以當(dāng)他一碰到帕斯卡就立即求教。第98頁,共121頁，2024年2月25日，星期天帕斯卡經(jīng)過長時間的探索，還是不得要領(lǐng)。于是，在1654年，他不得不寫信與他的好友費馬討論。向他提出一個賭博中的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算勝了，現(xiàn)在有甲贏a(a<s)局，乙贏b（b<s）局，賭博中止。問賭本應(yīng)怎樣分法才合理？”這被看作是數(shù)學(xué)史上最早的概率論文獻(xiàn),這個問題后來也就成為著名的“點問題”。第99頁,共121頁，2024年2月25日，星期天帕斯卡認(rèn)為，按條件甲已贏兩局，得2點；乙只贏—局，得1點。若再擲一次，則甲或者獲全勝(應(yīng)得賭金1=100%)；或與乙點數(shù)相等(應(yīng)得賭金1/2)。把這兩種情況平均一下，甲應(yīng)得賭金的乙應(yīng)得賭金的第100頁,共121頁，2024年2月25日，星期天費馬則認(rèn)為，由于甲已得2點，乙已得1點，離賭博結(jié)束最多還要擲(s－a)+(s－b)－1=2次，因此結(jié)果有四種可能情況：

(甲、甲)；（甲、乙）；（乙、甲）；（乙、乙）在前三種情況下都是甲贏，只有最后一種情況乙獲勝。因此，甲有權(quán)分得賭金3/4，而乙只能分得賭金1/4。后來，帕斯卡在所著《論算術(shù)三角形》中給出了這一問題的通解：令m=s－a,n=s－b，則甲、乙兩人應(yīng)得賭金之比為：第101頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

18世紀(jì)是概率論的正式形成和發(fā)展時期

1713年伯努利在《推想的藝術(shù)》中明確發(fā)現(xiàn)了概率論最重要的定律之一——“大數(shù)定律”。從此概率論從對特殊問題的求解，發(fā)展到了一般的理論概括。之后，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗在1718年發(fā)表的《機遇原理》一書中提出了概率乘法法則，以及“正態(tài)分布”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”建立奠定了基礎(chǔ)。

第102頁,共121頁，2024年2月25日，星期天§4數(shù)學(xué)史上的四次思想解放一、承認(rèn)“無理數(shù)”是對“萬物皆數(shù)”的思想解放

古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體，他們認(rèn)為“數(shù)”是萬物的本源，“數(shù)統(tǒng)治著宇宙”，支配著整個自然界和人類社會。他們所說的數(shù)是指整數(shù)。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，使“數(shù)”不那樣完整了。但分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比，所以他們的信仰沒有動搖。萬物皆數(shù)以數(shù)為一個價值尺度去解釋自然，揭示了自然界的部分道理，可把數(shù)絕對化就不行了，就制約了人的思維。

第103頁,共121頁，2024年2月25日，星期天希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時希臘人的傳統(tǒng)見解。使當(dāng)時希臘數(shù)學(xué)家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死，這就是第一次數(shù)學(xué)危機。

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)推翻了畢達(dá)哥拉斯等人的信條。該學(xué)派中一個叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項時，發(fā)現(xiàn)沒有一個能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它。第104頁,共121頁，2024年2月25日，星期天這場危機通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決。

兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機也就不復(fù)存在了。不可通約量的研究開始于公元前4世紀(jì)的歐多克斯，其成果被歐幾里得所吸收，部分被收入他的《幾何原本》中。第105頁,共121頁，2024年2月25日，星期天二、微積分的產(chǎn)生是第二次思想解放

第二次數(shù)學(xué)危機源于極限概念的提出。微積分的問題，實際上就是解決連續(xù)與極限的問題，我們也曾講過，古希臘芝諾反對無限連續(xù)，他在連續(xù)的門坎前設(shè)了四道屏障，這就是他提出的四個有名的悖論。二分法悖論、阿基里斯悖論、箭的悖論、操場悖論。第106頁,共121頁，2024年2月25日，星期天牛頓在發(fā)明微積分的時候合理地設(shè)想：?t越小，這個平均速度應(yīng)當(dāng)越接近物體在時刻t時的瞬時速度。這一新的數(shù)學(xué)方法，受到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家熱烈歡迎。大家充分地運用它，解決了大量過去無法問津的科技問題。但由于它邏輯上的不完備也招來了哲學(xué)上的非難甚至嘲諷與攻擊。貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念。第107頁,共121頁，2024年2月25日，星期天包括萊布尼茲對微積分的最初發(fā)現(xiàn)，也沒有明確極限的意思。因而，牛頓及其后一百年間的數(shù)學(xué)家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊。這就是數(shù)學(xué)史上所謂第二次數(shù)學(xué)危機。英國大主教貝克萊于1734年發(fā)表文章攻擊說：“流數(shù)是消失了的量的鬼魂。”羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集。”第108頁,共121頁，2024年2月25日，星期天三、非歐幾何的誕生是第三次思想解放

《幾何原本》公設(shè)①～④都是很容易接受的，對于“第五公設(shè)”有人想能否從中去掉它，然后由別的來代替。那么，唯一的辦法就是用別的定理去證明它也能獲得同樣結(jié)論。第一個做這件事的人就是僅與歐幾里得相差不到一世紀(jì)的著名天文學(xué)家、幾何學(xué)家托勒密，但沒有獲得成功。爾后到公元5世紀(jì)的普洛克拉斯，17世紀(jì)的沃利斯，也都沒有獲得什么進(jìn)展。直到19世紀(jì)初，所有用歐幾里得的公理去證明歐幾里得平行的公理的嘗試，都失敗了，它整整困惑了人們2000多年。第109頁,共121頁，2024年2月25日，星期天

這時，非歐幾何可以說已經(jīng)呼之欲出了。當(dāng)時德國高斯、俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基等人各自獨立地認(rèn)識到這種證明是不可能的。羅巴契夫斯基在1830年前后發(fā)表了他們關(guān)于非歐幾何的理論。在這種新的非歐幾何中，替代歐幾