2023-2024學(xué)年天津市寧河區(qū)高二上冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.橢圓片+廣=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7,則P點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）

259

A.5B.3C.4D.7

【正確答案】B

【分析】利用橢圓的定義即可求解.

【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為百,工，由定義可知：\PFt\+\PF2\=2a,

因?yàn)闄E圓方程為《+己=1,所以。=5,

259

則|尸國+|「用=24=10,由題意知點(diǎn)尸到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為點(diǎn)

則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10-7-3,

故選.B

2.已知等差數(shù)列｛七｝滿足區(qū)+綜=18,則其前10項(xiàng)之和為（）

A.90B.180C.99D.81

【正確答案】A

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為d,

則由牝+4=18,得：24+91=18,

又其前10項(xiàng)之和Eo=lO4+”><（；（）二"d=10q+45d=5（2q+9@=5x18=93

故選：A.

3.雙曲線爐一x2=l的漸近線方程是（）

4

A.x±y/2y=0B.y/2x±y=0

C.2x±y=0D.x±2y=0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可直接求出其漸近線方程.

【詳解】?.?雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為片-X2=l,

4

?,.雙曲線的焦點(diǎn)在V軸，。=2"=1,且雙曲線的漸近線方程為歹=±;工=±2、，即2x±y=0.

b

故選：C.

4.如圖，在三棱錐尸-Z8C中，點(diǎn)N為棱4P的中點(diǎn)，點(diǎn)〃在棱8c上，且滿足CM=2氏”,

"■

,貝UMN=（）

1X2,x1X

A.—a+—b—cB.

233

x

1x2,1>

C.—Q+—b——cD.

233

【正確答案】B

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)N為棱北的中點(diǎn)，且CM=28",

所以MN=MC+CP+PN=-BC-PC+-PA

32

=-PC——PB-PC+-PA=--PC——PB+-PA

332332

YYX

故選.B

5.設(shè)awR,則“a=-2”是“直線4：ax+2y-l=O與直線/2：*+（。+1）夕一/=0”平行的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.即不充分也不必要

條件

【正確答案】C

2

【分析】化簡(jiǎn)求出直線4："+2y-l=O與直線l2x+（a+l）j-a=0平行的充要條件,

注意重合的情況，從而與a=-2判斷.

【詳解】直線4：?x+2y-l=0與直線l2：x+（a+i）y-a2=o平行,

（7（6f+l）-2xl=0；

/.a=-2或4=1;

當(dāng)a=1時(shí)，直線4："+2y-1=0與直線4:x+（。+\）y-a2=0重合，故。=1不符合題意，

ci=—2,

則“"-2”是“直線40+2尸1=0與直線，2：x+（a+lW+2=0平行”的充分必要條

件.

故選：C.

6.記等比數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S,,若邑=3,S.=9,則幾=（）

A.12B.18C.21D.27

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知等比數(shù)列｛%｝的公比4=7,所以邑,國-54，岳2-，成等

比數(shù)列，根據(jù)等比的中項(xiàng)性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?，為等比?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且$4=3,國=9,易知等比數(shù)列｛4｝的公比

所以S4,國-S4,品-工成等比數(shù)列

所以&-凡）2=W（S12-S8）,所以62=3（號(hào)2-9）,解得品=21.

故選：C.

7.已知拋物線的準(zhǔn)線是圓一+夕2-4=0與圓/+/+夕-3=0的公共弦所在的直線，則拋

物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=4xB.y2=-4xC.x1-4yD.x2=-4y

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，求出兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程，再求出拋物線方程作答.

【詳解】將兩圓X?+/_4=0、，+/+夕_3=0的方程相減得：y=-l,

顯然圓/+/_4=0的圓心。0）到直線y=-l距離1小于其半徑2,

圓/+/+夕_3=0的圓心（0,-g）到直線y=-l距離;小于其半徑孚，

因此直線>=-1是圓/+/-4=0與圓/+/+夕一3=0的公共弦所在的直線，即拋物線的

準(zhǔn)線，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.》2=4y

故選：C

8.在公差不為零的等差數(shù)列｛%｝中，依次成等比數(shù)列，前7項(xiàng)和為49,則數(shù)列｛““｝

的通項(xiàng)％等于()

A.nB.n+\C.2n-lD.2〃+l

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知條件及等比中項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即

可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛?！埃墓顬?("*0),則

因?yàn)閍”%，%依次成等比數(shù)列，

所以即(q+4=q?+41),即解得d=24①或d=0(舍)，

因?yàn)榈炔顢?shù)列的前7項(xiàng)和為49,

所以邑=7q+R二Dd=49,即q+3d=7②，

聯(lián)立①②，得％=1,4=2,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a“=l+("l)x2=2〃-l.

故選：C.

9.設(shè)片，鳥為橢圓6：]+￡=1(。>6>0)與雙曲線。2的公共的左右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌?/p>

限內(nèi)交于點(diǎn)片乃是以線段.為底邊的等腰三角形，且|麗用=2.若橢圓G的離心

-34'

率ewy,-,則雙曲線G離心率取值范圍是()

A.B.[3,+a>)C.(2,4]D.[3,4]

【正確答案】D

【分析】根據(jù)條件得到|加耳|=|百瑪|=2c,結(jié)合橢圓的定義和離心率公式得到

P2c34

°=忌+*二=丁1￡刀三,求得'的取值范圍，再由雙曲線的定義和離心率公式得到

|M聞+慳行|2+2c[_79_

「山—2c1

雙曲線C2的離心率'[回用_|回6「2-2c~I-，即可求解.

C

【詳解】因?yàn)槎B為橢圓G：訝+%=l(a>b>0)與雙曲線G的公共的左右焦點(diǎn)，

△龍用巴是以線段"片為底邊的等腰三角形，且|叫|=2,

所以設(shè)|峭|=閨閭=2c(c>0),

「3夕

因?yàn)闄E圓G的圖心率et,

即6=|京，解得：C€，

|A/4rj|+"|A//r|^|2+2c\_79J|_45_

由于點(diǎn)〃在第一象限，

—-2c1

所以雙曲線G的離心率~\MFt\-\MF2\~2-2c~l_j>

c

34.111nne，----e[3,4]

因?yàn)閏e，則--1?-,T，即1?LJ,

45c43--1

c

所以雙曲線的離心率e'取值范圍是[3,4].

故選：D.

二、雙空題

10.已知拋物線C:f=2處(p>0)上一點(diǎn)(機(jī),8)到其焦點(diǎn)的距離為10.拋物線C的方程

為；準(zhǔn)線方程為

【正確答案】x?=8y夕=-2

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到其焦點(diǎn)為準(zhǔn)線方程為y=-5(p>0),結(jié)合條件得

nr=2px8

到｛L(機(jī)一07)7+―〔8—=10，即可求解，

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:W=2々(。>0),

/\

所以拋物線C的焦點(diǎn)/。鳥,準(zhǔn)線方程為y=-§(P>0),

由于拋物線C上的點(diǎn)(孫8)到其焦點(diǎn)的距離為10,

"/=22x8

?------------------------fm=+8

則有L，解得：“，

J(/n-0)7-+78-177=10[p=4

所以拋物線C的方程為V=8y,準(zhǔn)線方程為y=-2,

故犬=8了；y=-2.

三、填空題

II.已知數(shù)列｛“"｝滿足4=2,?！?|=1-J,則電023=.

【正確答案】2

【分析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，確定數(shù)列的前幾項(xiàng)，由此確定數(shù)列的周期，再求。2023.

【詳解】因?yàn)閝=2M“Z=1-',

%

?111111r111

所以。2=1-------=-,%=1------=-1,4=1------=2,%=1------=7，

a

aA24的42

所以數(shù)列｛〃“｝是周期為3的數(shù)列，出023=4*674+1=4=2.

故2

12.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過￡作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若△大尸6為

等腰直角三角形，則橢圓離心率等于.

【正確答案】V2-1

【詳解】設(shè)P到位于X軸上方，坐標(biāo)為k,與］,

???△丹尸工為等腰直角三角形,

：.\PF2\=\FtF2\,即貴=2c

a

22

即巴三J=2￡,

a~a

a

?*.1-e2=2e，(o<e<l),

13.數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S.，若可=訴不，則邑）23=

2023

【正確答案】

2024

【分析】利用裂項(xiàng)相消法求和.

11

【詳解】因?yàn)閝=

n(n+\)nn+\

所以S2023=q+〃2+。3+…+“2023

11

++...+

3420232024

7__12023

一~2024~2024

“2023

故----

2024

14.在長(zhǎng)方體/BCD-44GA中，AB=4,40=3,AA｛=5,點(diǎn)E為48的中點(diǎn)，則點(diǎn)B

到平面DEC的距離為

【正確答案】30a^##~V469

【分析】作出長(zhǎng)方體44G4,建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面。EC的法向量及

向量E8，由空間向量求點(diǎn)到平面的距離方法，即可求解.

【詳解】作出長(zhǎng)方體18CD-44GA，以。為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

因?yàn)?8=4,/。=3,明=5,點(diǎn)E為48的中點(diǎn),

所以8(3,4,0),C(0,4,0),R(0,0,5),￡(3,2,0),

歐=(0,2,0),EC=(-3,2,0),ED.=(-3,-2,5),

設(shè)平面REC的法向量〃=（x,y,z）,

A八

(n-EC=-3x+2y=0八/、

則有＜XT，令x=10,取〃=(10,15,12),

n-EDX=-3x-2y4-5z=0

2x15_30x/469

所以點(diǎn)8到平面D、EC的距離d=

?V102+152+122469

故答案為.嚅

15.若直線y=2x+b與曲線y=3一體二7有公共點(diǎn)，則6的取值范圍是

【正確答案】-2退-14643

【分析】作出圖形，考查直線V=2x+6過點(diǎn)（0,3）以及直線y=2x+6與曲線了=3一?7二7

相切時(shí)實(shí)數(shù)b的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【詳解】由，可得y-3=-"7^7,整理可得（y-3）2=4x-x2,

即（x-2p+（y-3）2=4,其中”3,

故曲線y=3-“x-x2表不圓（x-2）一+（y—31=4的下半圓，

作出直線y=2x+b與曲線y==7的圖形如下圖所示:

3fy=2x+b

Ox

當(dāng)直線J=2x+6過點(diǎn)（0,3）時(shí),b=3,

當(dāng)直線y=2x+6與曲線J,_3=_"T予相切時(shí)，b<3,

圓口一2『+3-3）2=4的圓心坐標(biāo)為（2,3）,半徑為2.

由題意，可得=2,且6<3,解得6=-2癢1,

結(jié)合圖形可知，當(dāng)-26-146<3時(shí)，直線>=2x+b與曲線^=3.怎二7有公共點(diǎn),

因此b的取值范圍為-2亡-146M3.

故答案為.-2亡-M43

四、解答題

16.已知圓C的圓心在直線2x-y-2=0上，且與直線/：3x+4y-28=0相切于點(diǎn)P（4,4）.

（1）求圓C的方程；

（2）求過點(diǎn)。（6,-15）與圓C相切的直線方程.

【正確答案】（1）（X-1）2+/=25；（2）x=6或4x+3y+21=0.

【分析】（1）先得到過點(diǎn)P（4,4）且與直線/：3x+4y-28=0垂直的直線方程，與2x—y—2=0

聯(lián)立求得圓心即可；

（2）若過點(diǎn)。（6,-15）的直線斜率不存在，即直線是x=6判斷，若過點(diǎn)。（6,-15）的直線斜

率存在，設(shè)直線方程為丁+15=耳》-6）,再根據(jù)直線與圓相切求解.

【詳解】（1）過點(diǎn)P（4,4）與直線/：3x+4y-28=0垂直的直線〃?的斜率為左=g,

4

所以直線〃，的方程為y-4=§（x-4）,即4x-3y-4=0.

4x—3y-4=0

由,解得C(l,o).

2x-y-2=Q

所以r=^（4-l）2+（4-0）2=5.

故圓C的方程為.（x-l『+/=25

（2）①若過點(diǎn)。（6,T5）的直線斜率不存在，即直線是x=6,與圓相切，符合題意:

②若過點(diǎn)。（6,75）的直線斜率存在，設(shè)直線方程為了+15=左（》-6）,

即fee—y—6左-15=0,

若直線與圓。相切，則有巴6"15|=5,

“2+1

解得左=一土4

4

此時(shí)直線的方程為-；x-y-7=0,即4x+3y+21=0.

綜上，切線的方程為x=6或4x+3y+2I=0.

17.已知｛““｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S,（〃eN*）,也“｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大

于0,b2+b3=12,b3=a4-2a],S]]=llfe4.

（I）求｛6｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列｛/也,｝的前n項(xiàng)和為Tn（neN*）.

n+1

【正確答案】（I）an=3n-2,b?=2"（II）7],=10+（3n-5）-2

（I）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可計(jì)算得到公比9的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和

公式可列出方程組，解出首項(xiàng)4和公差d的值，即可求得｛對(duì)｝和也,｝的通項(xiàng)公式；

（II）先根據(jù)第（I）題的結(jié)論得到數(shù)列包,泡｝的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出前〃項(xiàng)

和Z-

【詳解】（I）由題意，設(shè)等差數(shù)列｛”,｝的公差為"，等比數(shù)列也,｝的公比為4,則4>0.

故2g(l+g)=12,解得q=2,

q+3d—2q—8

解得｛M?

由題意，得《

11a,=11x16

an=\+3("-1)=3n-2；bn=2-2"一'=2".

(II)由(I)知，a,也=(3〃-2)2.

Tn=%仇+a2b2+…+a,b“=lx2+4x2-+…+(3n—2)2",①

27；=lx22+4X2}+...+(3M-5)-Z+(3n-2)-2*',②

①-②，得

-7；=lx2+3x22+3x23+...+3-2"-(3"-2)-2"」

=2+12-(l+2+...+2"-2)-(3n-2)-2"+,

=2+12-'~2^'-(377-2)-2^'

=(5-3?)-2n+l-10.

.?.7；=10+(3"-5>2向.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：已知等差等比數(shù)列求通項(xiàng)公式，主要方法是解方程組，等差等比數(shù)列相乘的形

式的數(shù)列求和，利用錯(cuò)位和減法處理即可，屬于中檔題.

18.如圖，在四棱錐P-/5CD中，底面NBCZ)是邊長(zhǎng)為4的正方形，P4D是等邊三角形,

8_1_平面尸/。，E,F,G,。分別是尸的中點(diǎn).

(2)求平面EFG與平面ABCD的夾角的大?。?/p>

TT

(3)線段尸4上是否存在點(diǎn)使得直線GM與平面EFG所成角為若存在，求線段的

長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

【正確答案】(1)證明見解析

(3)不存在，答案見解析

【分析】(1)先證PO1CD,即可由線線垂直證線面垂直;

(2)以。點(diǎn)為原點(diǎn)分別以O(shè)G,。尸所在直線為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

分別求出平面EFG,平面”88的法向量，即可由法向量的夾角得出兩平面的夾角；

(3)設(shè)相=2為，2w[0,l],求出GA/，可得cos聿=k)s(GM""|,整理得4儲(chǔ)-64+7=1，

由△<(),方程無解，即可得不存在這樣的點(diǎn)/

【詳解】(1)證明：因?yàn)槭?。是正三角形，。是4。的中點(diǎn)，所以

又因?yàn)镃D_L平面PAD,POu平面尸/。，所以P。_LCD.

AD。。=。,/。,8<=平面48。。，所以P0工面/8C0.

(2)以。點(diǎn)為原點(diǎn)分別以04、OG、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則0(0,0,0),4(2,0,0),5(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2^),￡(-1,2,73),

F(-l,0,V3),EF'=(0,-2,0),EG=(1,2,-73)

?、\EF-m=0=0

設(shè)平面EFG的法向量為加=(MK2),所以F<X,即廠,

x+2y-y/iz=0

令z=l,則5=（退,0,1）

XX

又平面ZBCQ的法向量屋(0,0,1),所以|cos〈m,〃〉|=

IT7（^）2+l2xl2?

所以平面EFG與平面/8CO所成角為1TT

X

(3)假設(shè)線段PZ上存在點(diǎn)M,使得直線GM與平面EFG所成角為。，則直線GM與平面

EFG法向量一所成的夾角為二，

設(shè)尸河=2P42€[0,1],PM=九(2,0,-26)，

???，、??，、???，、

所以GM=GP+PM=(0,-4,2萬)+(240,-2月)=R/1,-4,2/1一%))

所以cos&=|c0s(GW,/=―,==—,

6?'A2A/422-62+72

整理得4尤-62+7=1,A<0,即不存在這樣的點(diǎn)M.

19.已知點(diǎn)尸為橢圓!+1=1(“>6>0)的右焦點(diǎn),4為橢圓的左頂點(diǎn),橢圓的離心率為更，

連接橢圓的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)得到的菱形的面積為4.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A作斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)B,

①求FA-FB的取值范圍；

②若|/8|=半，求左的值.

丫2

【正確答案】⑴?+/=1

⑵①[-1,7+4百)；②士五

【分析】(1)利用e=￡=且和，可得到。=2/>,由題意可得到而=2,聯(lián)立可求得

a2

a,b,即可求得答案；

(2)①設(shè)點(diǎn)8(占,必)，求出■方，利用數(shù)量積可得到"：而：-(2+6)芭+(2百+3),結(jié)合

-242即可求解；

②設(shè)直線/的方程為y=Hx+2),與橢圓聯(lián)立得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理可得到B

的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式即可求解

【詳解】(1)由6=￡=立，得3/=府，

a2

3

再由。2一〃=已2=—/,解得Q=26,

4

由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4可得!x2ax26=4,即時(shí)=2,

2

解方程組*2,解得"2,6=1,

2

所以橢圓的方程為r土+v=l;

4

(2)①由(1)可得C=VL所以根據(jù)題意可得4(-2,0),尸(退,0),設(shè)點(diǎn)8(XQ3

則FA=(-2-73,0),尸￡=(再-百，必)

：.FA-FB=(-2-4?>)^-V3)=-(2+/3Aj)+(差+3；

由題意得一2<七42,所以-14-(2+6)*+(2jJ+3)<7+4jL

-1<F7：尸良7+46,即尸3即、的取值范圍為［-1,7+4省)；

②由①可知N(-2,0),3(x”凹)，

由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為h則直線/的方程為y=雇了+2),

y=k(x+2)

于是力、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組一,消去y并整理得

—+y=1

14-

(1+4〃卜2+16h+(16公-4)=0,△=(16公)2-4(1+4公乂16公-4)>0,

16A^-42-8公從而…(督4k

所以-2為得再=

1+4公1+4421+4人②

441+工4百

1+4公一丁

1+公3

兩邊平方可得E=而整理得16r-19公一26=0,即伊-2乂16k2+13)=0,

解得%