試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆高考數(shù)學沖刺模擬卷17（A卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求解一元二次不等式求得集合，求函數(shù)的定義域求得集合，之后找出兩集合的交集即可.【詳解】一元二次不等式得，所以可得，又，故，故選：C．【點睛】該題考查的是有關集合的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，函數(shù)的定義域，集合的運算，屬于基礎題目.2．若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標表示求得，，再利用共線向量的坐標表示解求解.【詳解】解：，，因為，所以，解得.故選：C.3．已知復數(shù)3＋2i是方程的一個根，則實數(shù)a＝(

)A．－5 B．5 C．－6 D．6【答案】C【分析】將復數(shù)代入方程即可求得a的值．【詳解】由題意可得，即，解得a＝－6．故選：C．4．如圖，在正方體中，分別為的中點，則與平面垂直的直線可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出與平面平行的平面，證明面即可.【詳解】連接，如下圖所示：因為分別為的中點，故//，//，又面面，故//面；又面面，故//面；又面，故面//面；則垂直于平面的直線一定垂直于面；顯然面面，故，又，面，故面，又面，故；同理可得，又面，故面，也即面；若其它選項的直線垂直于平面，則要與平行，顯然都不平行.故選：D.5．今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（

）A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五【答案】C【分析】運用二項式展開式可得被7除得余數(shù)為1，即可得結(jié)果．【詳解】所以被7除得余數(shù)為1，故經(jīng)過天后是星期四故選：C6．若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．0或2 B．0或 C．2 D．【答案】A【分析】設直線與曲線的切點為，先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出在切點處的切線方程，再根據(jù)直線與圓相切和圓心到直線的距離關系列式求解即可.【詳解】設直線與曲線的切點為，由，則，則，即切點為，所以直線為，又直線與圓都相切，則有，解得或．故選：A7．直角三角形的三個內(nèi)角的正弦值成等比.則該三角形的最小角等于.A． B．C． D．【答案】A【詳解】設三邊為.則該三角形的最小角的正弦值就是.由，解得.選A.8．設直線：，一束光線從原點出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點．若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)光學的性質(zhì)，根據(jù)對稱性可先求關于直線的對稱點，后求直線，可得、兩點坐標，進而由可得.【詳解】如圖，設點關于直線的對稱點為，則得，即，由題意知與直線不平行，故，由，得，即，故直線的斜率為，直線的直線方程為：，令得，故，令得，故由對稱性可得，由得，即，解得，得或，若，則第二次反射后光線不會與軸相交，故不符合條件．故，故選：B二、多選題9．為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，哈爾濱市某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，隨機抽取了300名學生，對他們是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，繪制其等高堆積條形圖，如圖所示，則下列說法不正確的是（

）

參考公式：，其中獨立性檢驗中常用的小概率值和相應的臨界值：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．參與調(diào)查的男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B．從參與調(diào)查的學生中任取一人，已知該生為女生，則該生經(jīng)常鍛煉的概率為C．依據(jù)的獨立性檢驗，認為性別因素影響學生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1D．若經(jīng)常鍛煉人數(shù)與不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的比例不變，統(tǒng)計得到的等高堆積條形圖也不變，則無論參與調(diào)查的男生?女生人數(shù)為多少，依據(jù)的獨立性檢驗，都可以認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性無關【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)表計算人數(shù)判斷A選項，根據(jù)古典概型公式判斷B選項，根據(jù)的值及獨立性檢驗判斷C,D選項.【詳解】對于A，由題意知經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，故經(jīng)常鍛煉人數(shù)為200人，不經(jīng)常鍛煉人數(shù)為100人，故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多，A正確；對于B，經(jīng)常鍛煉的女生人數(shù)為人，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，故從參與調(diào)查的學生中任取一人，已知該生為女生，則該生經(jīng)常鍛煉的概率為，B錯誤；對于C，由題意結(jié)合男女生中經(jīng)常鍛煉和不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，可得列聯(lián)表：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計男10060160女10040140合計200100300則，故依據(jù)的獨立性檢驗，認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性無關，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1，C錯誤；對于D，假設抽取名學生，由題意可得：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計男200120320女20080280合計400200600則此時，故依據(jù)的獨立性檢驗，認為性別因素影響學生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05，D錯誤，故選：BCD10．某數(shù)學興趣小組的同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設其焦點為，若為其圖象上任意一點，則（

）A．是它的一條對稱軸 B．它的離心率為C．點是它的一個焦點 D．【答案】ABD【分析】由題意可知反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，進一步分別計算出離心率以及即可逐一判斷求解.【詳解】反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為，容易知道是實軸，是虛軸，坐標原點是對稱中心，聯(lián)立實軸方程與反比例函數(shù)表達式得實軸頂點，所以，其中一個焦點坐標應為而不是，由雙曲線定義可知．故選：ABD.11．關于函數(shù)，為常數(shù)，則（）A．若，則B．若，總有恒成立，則C．當時，方程恰好只有一個實數(shù)根D．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)【答案】ABD【分析】直接代入數(shù)值可判斷A；利用函數(shù)單調(diào)性的定義，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，由此判斷B；將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象只有一個交點，從而判斷C；將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有兩個交點，從而判斷D.【詳解】對于A，當時，，則，故A正確；對于B，因為當時，總有恒成立，所以在上為增函數(shù)，即恒成立，因為，所以，由恒成立，得在上恒成立，令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，即，故B正確；對于C，由，得，即，令，則，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；則，且，當時，恒成立，所以與的大致圖象如下：，因為方程恰好只有一個實數(shù)根，即與的圖象只有一個交點，結(jié)合圖象可得或，故C錯誤；對于D，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個異號正零點，由選項B可知其等價于與的圖象在上有兩個交點，而對于，當時，，當時，，所以與的大致圖象如下，結(jié)合圖象可得，即，故D正確．故選：ABD.【點睛】方法點睛：利用數(shù)形結(jié)合的思想解決方程根的個數(shù)問題或者函數(shù)的零點問題，準確的畫出圖象是解題的關鍵.三、填空題12．已知，，且，則．【答案】【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示可求得；代入兩角和差正切公式即可求得結(jié)果.【詳解】

本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查兩角和差正切公式的應用，涉及到向量平行的坐標表示，屬于基礎題.13．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則的最小值為.【答案】【分析】設，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到關于的表達式，再利用基本不等式即可得解.【詳解】因為數(shù)列為正項等比數(shù)列，，設，則，則，由于是等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，因此，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.14．以表示數(shù)集中最大（小）的數(shù).設，已知，則.【答案】【分析】由，得，設，則，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】由，得，設，則，由，當且僅當時，取等號，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：設，由已知得出，進而得出是解決本題的關鍵.四、解答題15．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，（2）由，可得，根據(jù)等面積法可求，由余弦定理即可求的值．【詳解】（1）由可得故，進而，由于所以（2）由面積公式得，解得，，，即，，又，，．16．如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點出發(fā)，隨機移動次，每次等可能地向左或向右移動一個單位長度，次移動結(jié)束后，質(zhì)點到達的位置的數(shù)字記為.

(1)若，求;(2)若，求的分布列和的值.【答案】(1)(2)分布列見解析，0【分析】（1）由可直接得到結(jié)果；（2）首先求出X的所有可能取值以及對應的概率，再結(jié)合離散型隨機變量的期望公式求答案即可.【詳解】（1）；（2）設表示6次移動中向左移動的次數(shù)，則，質(zhì)點最后到達的數(shù)字，則：，，，，，，，的分布列為：0246.17．在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形．平面，若．(1)求證：平面平面；(2)是否在線段上存在一點，使得二面角的大小為．若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進而根據(jù)線面垂直即可求證，（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角即可求解.【詳解】（1）證明：如圖，設分別為邊的中點，連接，因為平面，所以，,進而，即四邊形為平行四邊形，可得，在底面正三角形中，為邊的中點，則，又平面，且平面，所以．由于，且平面，所以平面．因為平面，則平面，又平面，則平面平面．（2）如圖，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則．設點，則．設平面的法向量為，平面的法向量為．由題意知即令，則，即，即取，則，由，，解得：，由于點為線段上一點，故，所以，當時，二面角所成角為銳角，即存在點滿足，此時．18．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線過右焦點且與雙曲線交于、兩點．(1)若雙曲線的離心率為，虛軸長為，求雙曲線的焦點坐標；(2)設，，若的斜率存在，且，求的斜率；(3)設的斜率為，，求雙曲線的方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由離心率公式和的關系，即可得到結(jié)果；（2）求出右焦點的坐標，設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達定理結(jié)合已知條件，即可求出直線的斜率．（3）設直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消元，運用韋達定理，結(jié)合由題意得出的，兩個條件，即可求得雙曲線的方程．【詳解】（1）由題意得解得故雙曲線的焦點坐標為．（2）雙曲線，可得設，直線的斜率為：設直線的方程為聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得：由直線與雙曲線有兩個交點，則且，即可得，則，，可得：將代入上式，可得得，可得解得，即的斜率為．（3）右焦點為，設直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得：則由，得整理得，則即則整理得因為的斜率，所以，整理得則，，所以，由，得，即又則，解得所以，經(jīng)檢驗所以雙曲線的方程為．19．英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．注：表示的2階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明；(3)設，證明：．【答案】(1)；(2)，證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)麥克勞林公式求得，賦值即可求得近似值