專項04矩形中典型模型綜合應(yīng)用（4大類型）類型一：矩形+60°（30°/120°）構(gòu)成等邊三角形類型二：面積問題類型三：最小值問題類型四：矩形對角線的垂直平分線問題【類型一：矩形+60°（30°/120°）構(gòu)成等邊三角形】【典例1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，已知∠AOD＝120°，AB＝2，則AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-1】】如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠AOB＝60°，BD＝10，則AB的長為（）A．5 B．5 C．4 D．3【變式1-2】如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，若∠AOD＝60°，AD＝2，則CD的長為．【類型二：面積問題】【典例2】如圖，EF過長方形ABCD對角線的交點O．且分別交AB、CD于點E、F．那么陰影部分的面積是長方形ABCD面積的（）A． B． C． D．【變式2-1】如圖，直角三角形ABC的面積為4，點D是斜邊AB的中點，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，則四邊形DECF的面積為（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【變式2-2】如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點E、F，AB＝4，BC＝6，則圖中陰影部分的面積為（）A．8 B．12 C．16 D．20【類型三：最小值問題】【典例3】如圖，點P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動點，分別作PM⊥AB于點M，作PN⊥BC于點N，點O是MN的中點，若AB＝9，BC＝12，當(dāng)點P在AC上運動時，則BO的最小值是（）A．3 B．3.6 C．3.75 D．4【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動點，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，連接EF，則EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4【變式3-2】如圖，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動點，MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，則PQ的最小值是（）A． B．3 C． D．【類型四：矩形對角線的垂直平分線問題】【典例4】如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O作OE⊥BD，交AD于點E，連接BE，若AB＝4cm，AD＝8cm，則△BED的面積是（）cm2．A．10 B．16 C．20 D．32【變式4-1】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD中點，且AE＝2，BE的垂直平分線MN恰好過點C，則矩形的一邊AB的長度為（）A．2 B．2 C．2 D．4【變式4-2】如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O作OG⊥AC，交AB于點G，連接CG，若∠BOG＝15°，則∠BCG的度數(shù)是．1．兩張全等的矩形紙片ABCD、AECF按如圖方式交叉疊放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝6，則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）A． B． C． D．82．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F．若AC＝20，BD＝10，則EF的最小值為（）A． B． C．4 D．3．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的動點，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，則PM+PN的值為（）A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.44．如圖，過矩形ABCD對角線AC上一點E作MN∥AD，分別交AB和CD于點M和N，連接BE，DE，已知CN＝2，ME＝6，則△END和△BEM的面積和等于（）A．10 B．12 C．14 D．165．如圖A、B分別是長方形長和寬的中點，陰影部分面積是長方形的（）A． B． C． D．6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則AM的最小值是（）A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.27．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P為斜邊AB上一動點，過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，連結(jié)EF，則線段EF的最小值為（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.88．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點M是邊AB上一點（不與點A，B重合），作ME⊥AC于點E，MF⊥BC于點F，若點P是EF的中點，則CP的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.59．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠BOC＝120°，AC＝6．則AB＝．10．如圖，矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點M、N，連接AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為．11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點P在AD邊上，是不與A，D重合的點，過點P分別做AC和BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則PE+PF的值是．12．如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）A． B． C． D．不確定13．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F，EF與AC交于點O．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求EF的長．14．如圖，矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE＝BC，DF⊥AE，垂足為F．（1）求證：AB＝DF．（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的長．15．如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作EF⊥AC分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的長．16．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交BC、AD于點E、F，連接AE、CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形．（2）當(dāng)AB＝4，BC＝8時，求線段EF的長．專項04矩形中典型模型綜合應(yīng)用（4大類型）類型一：矩形+60°（30°/120°）構(gòu)成等邊三角形類型二：面積問題類型三：最小值問題類型四：矩形對角線的垂直平分線問題【類型一：矩形+60°（30°/120°）構(gòu)成等邊三角形】【典例1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，已知∠AOD＝120°，AB＝2，則AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴AC＝2OA＝4，故選：B．【變式1-1】】如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠AOB＝60°，BD＝10，則AB的長為（）A．5 B．5 C．4 D．3【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝BD＝5．故選：B．【變式1-2】如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，若∠AOD＝60°，AD＝2，則CD的長為．【答案】2【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∴OD＝AD＝2，∴BD＝2OD＝4，∴DC＝＝＝2，故答案為：2．【類型二：面積問題】【典例2】如圖，EF過長方形ABCD對角線的交點O．且分別交AB、CD于點E、F．那么陰影部分的面積是長方形ABCD面積的（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形為矩形，∴OB＝OD＝OA＝OC，AB∥CD，∴∠EBO＝∠FDO，在△EBO與△FDO中，，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴陰影部分的面積＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB＝S矩形ABCD，故選：C．【變式2-1】如圖，直角三角形ABC的面積為4，點D是斜邊AB的中點，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，則四邊形DECF的面積為（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【解答】解：連接CD，如圖所示，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB的中點，∴CD＝AB＝AD，∵DE⊥AC，∴AE＝CE，∴△ADE的面積＝△CDE的面積，同理可得：△BDF的面積＝△CDF的面積，∴四邊形DECF的面積＝×三角形ABC的面積＝×4＝2，故選：B．【變式2-2】如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點E、F，AB＝4，BC＝6，則圖中陰影部分的面積為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴S△AOE＝S△COF，∴S陰影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD；∵S△BCD＝BC?CD＝12，故S陰影＝12．故選：B．【類型三：最小值問題】【典例3】如圖，點P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動點，分別作PM⊥AB于點M，作PN⊥BC于點N，點O是MN的中點，若AB＝9，BC＝12，當(dāng)點P在AC上運動時，則BO的最小值是（）A．3 B．3.6 C．3.75 D．4【答案】B【解答】解：連接BP，如圖所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，∴四邊形BMPN是矩形，AC＝＝＝15，∴BP＝MN，BP與MN互相平分，∵點O是MN的中點，∴BO＝MN，當(dāng)BP⊥AC時，BP最小＝＝＝7.2，∴MN＝7.2，∴BO＝MN＝3.6，故選：B．【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動點，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，連接EF，則EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4【答案】D【解答】解：連接AP，如圖：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，當(dāng)AP⊥BC時，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面積＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故選：D．【變式3-2】如圖，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動點，MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，則PQ的最小值是（）A． B．3 C． D．【答案】A【解答】解：如圖，連接CM，∵M(jìn)P⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴四邊形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝5，當(dāng)CM⊥BD時，CM最小，則PQ最小，此時，S△BCD＝BD?CM＝BC?CD，∴CM＝＝＝，∴PQ的最小值為，故選：A．【類型四：矩形對角線的垂直平分線問題】【典例4】如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O作OE⊥BD，交AD于點E，連接BE，若AB＝4cm，AD＝8cm，則△BED的面積是（）cm2．A．10 B．16 C．20 D．32【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，BO＝DO，∴AB⊥AD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，設(shè)BE＝DE＝xcm，則AE＝（8﹣x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE＝5cm，∴S△BED＝DE?AB＝×5×4＝10（cm2），故選：A．【變式4-1】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD中點，且AE＝2，BE的垂直平分線MN恰好過點C，則矩形的一邊AB的長度為（）A．2 B．2 C．2 D．4【答案】C【解答】解：如圖，連接CE，∵點E是AD中點，∴DE＝AE＝2，AD＝2AE＝2×2＝4，∴BC＝AD＝4，∵BE的垂直平分線MN恰好過點C，∴CE＝BC＝4，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD＝＝＝2，∴AB＝CD＝2．故選：C．【變式4-2】如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O作OG⊥AC，交AB于點G，連接CG，若∠BOG＝15°，則∠BCG的度數(shù)是．【答案】15°【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，AO＝OC，BO＝OD，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AO＝OC，OG⊥AC，∴GA＝GC，∠GOC＝90°，∵∠BOG＝15°，∴∠COB＝90°﹣15°＝75°，∴∠OCB＝∠OBC＝×（180°﹣∠COB）＝52.5°，∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝180°﹣90°﹣52.5°＝37.5°，∴∠ACG＝37.5°，∴∠BCG＝∠OCB﹣∠ACG＝52.5°﹣37.5°＝15°，故答案為：15°．1．兩張全等的矩形紙片ABCD、AECF按如圖方式交叉疊放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝6，則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）A． B． C． D．8【答案】B【解答】解：設(shè)BC交AE于G，AD交CF于H，如圖所示：∵四邊形ABCD、四邊形AECF是全等的矩形，∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，∴四邊形AGCH是平行四邊形，在△ABG和△CEG中，，∴△ABG≌△CEG（AAS），∴AG＝CG，∴四邊形AGCH是菱形，設(shè)AG＝CG＝x，則BG＝BC﹣CG＝6﹣x，在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝，∴菱形AGCH的面積＝CG×AB＝×2＝，即圖中重疊（陰影）部分的面積為，故選：B．2．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F．若AC＝20，BD＝10，則EF的最小值為（）A． B． C．4 D．【答案】D【解答】解：如圖，連接OP，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，∴∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四邊形OEPF是矩形，∴EF＝OP，當(dāng)OP取最小值時，EF的值最小，∴當(dāng)OP⊥AB時，OP最小，此時，S△ABO＝OA?OB＝AB?OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值為2，故選：D．3．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的動點，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，則PM+PN的值為（）A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.4【答案】A【解答】解：連接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∴BO＝DO＝5，∴S△DAB＝×AD×AB＝×8×6＝24，∴S△AOB＝S△DAB＝12，∴×AO×PM+×BO×PN＝12，∴PM+PN＝4.8．故選：A．4．如圖，過矩形ABCD對角線AC上一點E作MN∥AD，分別交AB和CD于點M和N，連接BE，DE，已知CN＝2，ME＝6，則△END和△BEM的面積和等于（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解答】解：作EG⊥BC于G，交AD于F．則有四邊形BGEM，四邊形CNEG，四邊形AMEF，四邊形DFEN都是矩形，∴S△BME＝S△BGE，S△CGE＝S△CEN，S△AME＝S△AEF，S△DNE＝S△DEF，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC﹣S△AEM﹣S△CNE﹣S△CGE＝S△ADC﹣S△AEF﹣S△CNE，∴S四邊形BGEM＝S四邊形DNEF，∵BM＝CN＝2，∴S△BEM＝S△DEN＝×2×6＝6，∴△END和△BEM的面積和＝6+6＝12，故選：B．5．如圖A、B分別是長方形長和寬的中點，陰影部分面積是長方形的（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設(shè)矩形的長為a，寬為b，陰影部分面積＝ab﹣，矩形的面積＝ab，∴陰影部分面積是長方形的，故選：A．6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則AM的最小值是（）A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2【答案】D【解答】解：由題意知，四邊形AFPE是矩形，∵點M是矩形對角線EF的中點，則延長AM應(yīng)過點P，∴當(dāng)AP為直角三角形ABC的斜邊上的高時，即AP⊥BC時，AM有最小值，此時AM＝AP，由勾股定理知BC＝＝5，∵S△ABC＝AB?AC＝BC?AP，∴AP＝，∴AM＝AP＝＝1.2，故選：D．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P為斜邊AB上一動點，過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，連結(jié)EF，則線段EF的最小值為（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8【答案】D【解答】解：連接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴當(dāng)PC最小時，EF也最小，即當(dāng)CP⊥AB時，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值為：＝4.8．∴線段EF長的最小值為4.8．故選：D．8．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點M是邊AB上一點（不與點A，B重合），作ME⊥AC于點E，MF⊥BC于點F，若點P是EF的中點，則CP的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5【答案】A【解答】解：連接CM，如圖所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵M(jìn)E⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵點P是EF的中點，∴CP＝EF，當(dāng)CM⊥AB時，CM最短，此時EF也最小，則CP最小，∵△ABC的面積＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故選：A．9．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠BOC＝120°，AC＝6．則AB＝．【答案】3【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∠ABC＝90°，又∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴AB＝AC＝×6＝3．故答案為：3．10．如圖，矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點M、N，連接AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】4【解答】解：∵點E、F分別是AB、CD的中點，M、N分別為DE、BF的中點，∴矩形繞中心旋轉(zhuǎn)180°陰影部分恰好能夠與空白部分重合，∴陰影部分的面積等于空白部分的面積，∴陰影部分的面積＝×矩形的面積，∵AB＝2，BC＝4，∴陰影部分的面積＝，故答案為：4．11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點P在AD邊上，是不與A，D重合的點，過點P分別做AC和BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則PE+PF的值是．【答案】【解答】解：如圖所示，連接OP，∵AB＝2，AD＝4，由勾股定理可得BD＝＝2，S△ABD＝AB?AD＝×2×4＝4，在矩形ABCD中，OA＝OD＝OB＝BD＝，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝S△ABD，∴?OA?PE+?OD?PF＝×4＝2，∴PE+PF＝，故答案為：12．如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）A． B． C． D．不確定【答案】A【解答】解：連接OP，∵矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，∴OA＝OD＝2.5，∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6，∴S△AOD＝S△ACD＝3，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3，解得：PE+PF＝．故選：A．13．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F，EF與AC交于點O．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求EF的長．【解答】（1）證明：∵EF是對角線AC的垂直平分線，∴AO＝CO，AC⊥EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵AC⊥EF，∴四邊形AFCE是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝4，AD＝BC＝8，∴AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，∵四邊形AFCE是菱形，∴AF＝FC，E