類型二圖形形狀變化引起的探究

1.(2019信陽模擬)(1)觀察猜想

如圖①點(diǎn)B、A、C在同一條直線上，DB1.BC,EC，8c且/D4E=90。，AD=AE,則

BC、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)問題解決

如圖②，在R3ABC中，乙4BC=90。，CB=4,AB=2,以AC為直角邊向夕M乍等腰R3

D4C,連接8。，求即的長(zhǎng)；

(3)拓展延伸

如圖③，在四邊形ABCD中，/ABC=ZADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,請(qǐng)直接

寫出BD的長(zhǎng).

圖2

圖3

第1題圖

2.規(guī)定有一角重合，且角的兩邊疊合在一起的兩個(gè)相似四邊形叫做“嵌套四邊形”，

如圖，四邊形ABCD和AMPN就是嵌套四邊形.

(1)問題猜想

如圖①，嵌套四邊形ABCD,AMPN都是正方形，現(xiàn)把正方形AMPN以A為中心順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)150。得到正方形AM'P'N',連接,ON'交于點(diǎn)0,則BM'與DM的數(shù)量關(guān)系

為，位置關(guān)系為；

(2)類比探究

如圖②，將⑴中的正方形換成菱形，/AZ)=NM4N=60°,其他條件不變，則⑴中的結(jié)

論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)給出正確的結(jié)論，并說明理由；

(3)拓展延伸

如圖③，將(1)中的嵌套四邊形ABCZ)和AMPN換成是長(zhǎng)和寬之比為2：1的矩形，旋轉(zhuǎn)

角換成?(90°<?<180°),其他條件不變，請(qǐng)直接寫出BM與OM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

圖

R

W

圖3

第2題圖

3.發(fā)現(xiàn)問題

⑴如圖①，兩塊全等的直角三角板，^AB^DEF,S.ZC=ZF=90°,AB=DE=2,

現(xiàn)如圖放置，連接AE,貝(JNABE=°,AE=；

問題探究

(2)如圖②，在△ABC中,AH±BC于點(diǎn)"，以A為直角頂點(diǎn)，分別以A8、AC為直角

邊，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角aACF,過點(diǎn)E、尸作射線HA的垂線,垂足

分別為點(diǎn)M、N,試探究線段EM和尸N之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

拓展延伸

(3)如圖③，在△ABC中，AH_L8C于點(diǎn)H，以4為直角頂點(diǎn)，分別以AB、4C為一邊，

向aABC夕M乍正方形ABME和正方形ACNF,連接EF交射線HA于點(diǎn)G,若AG=5,請(qǐng)直

接寫出EG的長(zhǎng).

第3題圖

4.在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,且NA8C=ZADE=a，點(diǎn)E在△ABC

的內(nèi)部，連接EC,EB,EA和BD,并且/ACE+ZABE=90°.

【觀察猜想】

⑴如圖①，當(dāng)a=60。時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為,線段EA,EB,EC的

數(shù)量關(guān)系為；

【探究證明】

(2)如圖②，當(dāng)。=90。時(shí)，⑴中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，

請(qǐng)說明理由；

【拓展應(yīng)用】

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段C。上時(shí)，若BC=2小，請(qǐng)直接寫出ABOE的面積.

圉⑵

第4題圖

類型二圖形形狀變化引起的探究答案

1.解：(1)BC=BD+CE；

【解法提示】VZB=90°,NOAE=90。，.2。+ZDAB=ZDAB+ZEAC=90°,/.ZD

=ZEAC,-.ZB=ZC=90°,AD=AE,：.^AD^EAC,：.BD=AC,EC=AB,..BC=AB+

AC=BD+CE.

(2)如解圖①，過。作DELAB,交BA的延長(zhǎng)線于E,由⑴同理得：ZVlBC絲△OE4,

:.DE=AB=2,AE=8C=4,在RtABOE中,BE=6，由勾月殳定理彳導(dǎo)：8。=■^62^22=2回；

⑶3vl

【解法提示改口解圖②過。作OE_LBC于E,作。尸，AB于尸,同理得:△CEO四△AFO,

x+y=4X=I

...CE=AF,E￡>=￡)F,設(shè)A尸=x,DF=y，貝芥，解得<，,BF=2+I=3,￡>F=

2+x=y[y=3

3,由勾股定理得：8。=/32+32=3啦.

圖①

圖②

第I題解圖

2.解：(1)83=DN',BM'A-DN'；

【解法提示環(huán)艮據(jù)“SAS”易證△48”絲△AOM進(jìn)而可得8M=OM,乙48"=/AZW,

再利用三角形內(nèi)角和定理可推出/BOO=90。，即

(2)8M=￡)M成立，BM'LDN'不成立,BM'與0M相交，目夾角為60°.

理由：設(shè)A8,0M交于點(diǎn)E,如解圖①,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/8AM，=ADAN'=150°.

,.四邊形ABC。，AM'PW都是菱形，

：.AB=AD,AM'=AN',

:QABM'率ADN',

：.BM'=DN',NABM'=ZADN'.

又；NBEO=ZDEA,

：.Z.BOD=NBA。=60。；

故BM與ON相交，且夾角為60°；

第2題解圖①

(3)BM'=2DN'，BM'LDN.

【解法提示】設(shè)AB,0M交于點(diǎn)￡如解圖②，由旋轉(zhuǎn)知NBAM=ND4M=a,易知AM

ABAMBM'

2AN1,AB=2AD，?而=^^=2，.4ABMJ&ADN',=2,NA8M'二NADN,又

'：ZBEO=ZDEA,：.Z.BOD=ZBAD=90°.：.BM,.LDNf.

第2題解圖②

3.t?：(1)90,2y[2；

【解法提示】:△ABC也△￡>￡￡：.NBAC=/EDF,VZC=90°,NBAC+NA8C

=90°,ZEDF+ZABC=90°,ANABE=180°—90°=90°,在RlZ\ABE中,AE=NAB2+BE2

=^/22+22=2A/2.

Q)EM=FNi

理由如下：???△”￡是等腰直角三角形，

：.EA=BA,ZBAE=9O°,

「.NBA”+NAME=90。，

：AH±BC,EM±AH,

:.AAME=ZAHB=90°,

:,AABH+ZBAH=90°,

"ABH=/MAE,

在△E4M與中,

‘NAME=NBHA

〈NEAM=NABH,

\<AE=BA

.^EAM^ABH(WS),

：.EM=AH,

同理可證0△月VA,「.AH=FN,

..EM=FN；

(3)5.

第3題解圖

【解法提示】如解圖，過點(diǎn)E作EP1_〃G于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作尸Q_L"G,交”G的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)Q,垂足分別為P、Q,由(2)可得EP=FQJEPLHG,FQ±HG"ZEPG=NFQG

(^EPG=/FQG

二90。，在△EPG和△FQG中XNPGE=/QGF,：QEPG2FQG(AAS),:.EG=FG.9：ZEAF

、EP=FQ

=ZBAC=90°,.-.EG=FG=AG=5.

4.角翠：（\）BD=CE；BE2+CE2=EA2；

［解法提示］NABC=ZADE=a=60°,DA=DE,BA=BC,：.^ADE./\ABC是等邊

三角形,：.^DAE=ABAC=60°,：.^DAB=ZEAC,'.DA=EA,BA=AC,.-.^DAB^EAC,

：.BD=CE,Z.DBA=ZECA,：.^DBA+NABE=ZECA+ZABE=90°,..BD2+BE2=D必::

△ADE是等邊三角形，:.DE=AE,：.BD2+BE2=AE2即EC2+EB2=EA2-

⑵不成立，|CE2+BE2=^AE2；