甘肅省張掖市2023-2024學年度高二上學期開學（暑假學

習效果）檢測數學試題【解析版】

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）

1.已知歸2=i（i為虛數單位），則復數z=

Z

A.l+iB.\—iC.—1+iD.—1—i

2.sin210。的值為（）

A.yB.--C.—D.-也

2222

3.如圖，在AOAB中，P為線段AB上的一點，OP=xQ4+yO8,且BA=4PA，則（）

B.J,修

33

31D.x=L1

C.x=-,J=

4444

4.某校舉辦文藝匯演，高二（1）班的大合唱“保衛(wèi)黃河”的12位評委的打分如下：SA,

93,19,巡，旭，區(qū)2，酷，84,9J,8J,94,則這組數據的（）

A.極差為1B.眾數為8.4

C.80%分位數為8.9D.第三四分位數為9.05

5.cos20cos40-sin20cos50的值等于（）

A.—B.0C.gD.—―

222

6.已知隨機事件A,B,C中，A與8互斥，8與C對立，且P（A）=0.3,P（C）=0.6,則

P(AB)=()

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

7.已知北〃是兩條不同的直線，名尸,？是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()

A.m//a,n//a,則相〃〃

B.m//n,m//a,則〃〃a

C.mLa,mL/3,則a///?

D.a±/,/7±7,貝ija〃尸

8.在，.ABC中，sinA:sin:sinC=4:5:6,則8sC=()

二、多項選擇題（共4小題，每小題5分，共20分）

9.下列命題正確的是（）

A.不共線的三點確定一個平面

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.經過兩條平行直線，有且只有一個平面

D.如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角一定相等

10.從裝有3個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，則下列敘述正確的是（）

A.取出的兩個球同為紅色和同為黑色是兩個互斥而不對立的事件

B.至多有一個黑球與至少有一個紅球是兩個對立的事件

C.事件A=“兩個球同色”，則P（A）=]

o

D.事件B=“至少有一個紅球”，則P（B）=而

11.已知函數/（x）=Asin（s+9）（其中A>0,>0,附<5）的部分圖象如圖所示,

則（）

3卜一八

。X

32L

-48

2-

兀

A.（p-----B.co=4

6

JT7T3

c./（X）的圖象關于直線X軍對稱D./（X）在—上的值域為一,3

12.已知平面四邊形ABCO,。是ABCD所在平面內任意一點，則下列命題正確的是（）

A.若AB=OC，則A8C。是平行四邊形

B.^\AB+AD\=\AB-AD\,則A8C￡＞是矩形

C.^\OA-OB\=\OA+OB-2OC\,貝曙43c為直角三角形

\

D.若動點P滿足OP=OA+，〃些—+,d（〃?>0）,則動點P的軌

ABsinABCAQsinZACB

跡一定通過ABC的重心

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.i是虛數單位，已知H=寫出一個滿足條件的復數。.

14.已知向量a=(2,4),6=(匕6),若a〃人，貝心=.

15.已知球。的體積為36兀，則該球的表面積為.

16.若函數/(x)=4sin5sin2(￥+5)+cos25-lW>0)在-y,y內有且僅有一個

最大值點，則。的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟)

17.已知向量°,人滿足(4+6〉(“-2。)=-6,且忖=1,忖=2.

⑴求a/;

(2)若a與b的夾角為夕，求。的值.

18.某學校派甲、乙兩人組成“少年隊”參加射擊比賽，每輪比賽由甲、乙各射擊一次,

已知甲每輪射中的概率為乙每輪射中的概率為|.在每輪比賽中，甲和乙射中與否

互不影響，各輪比賽結果也互不影響.

(1)求“少年隊''在一輪比賽中恰好射中1次的概率；

(2)求“少年隊”在三輪比賽中恰好射中3次的概率.

19.ABC的內角A8,C的對邊分別為a,b,c,已知acosC+ccosA=hlonA.

(1)求A；

(2)若a=6,b=血，求,ABC的面積.

20.如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，己知AB=AA=2,。是AB的中點.

(1)求直線CG與。片所成角的正切值

(2)求證：平面_L平面ABBtAt,并求點B到平面的距離.

21.為激活國內消費市場，挽回疫情造成的損失，國家出臺一系列的促進國內消費的優(yōu)

惠政策.某機構從某一電商的線上交易大數據中來跟蹤調查消費者的購買力，現從電商

平臺消費人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組，記第1組［15,25),第2組

［25,35),第3組［35,45),第4組［45,55),第5組［55,65),得到如下頻率分布直方圖:

(1)求出頻率分布直方圖中的。值和這200人的年齡的中位數及平均數；

(2)從第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再從這5人中隨機抽取2人進行電話回訪,

求這兩人恰好屬于同一組別的概率.

22.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，該四棱錐的底面ABCD是邊長為6的菱形，

ZABC=120°,PA=PC,NPBD=NPDB=3。,E為線段AB上靠近B點的三等分點.

(2)在線段PO上是否存在一點尸，使得EF〃平面P8C?若存在，求一的值及直線EF

與平面A8CD所成角的大??；若不存在，請說明理由.

1.B

【分析】利用復數除法運算化簡已知條件，由此求得z.

【詳解】由上些=,?得z=W=絲與D=i".

zIz-(-z)

故選：B

【點睛】本小題主要考查復數的除法運算，屬于基礎題.

2.B

【詳解】由誘導公式可得sin21(F=-s加30。=-1，故選B.

2

3.C

【分析】由己知，點尸是線段胡的一個四等分點，得出與84的關系，再由向量的線性

運算即可求得q>的值.

3

【詳解】由BA=4PA可得8P=7物，

4

3331

^VXOP=OB+BP=OB+-BA=OB+-(OA-OB)=-OA+-OB,

4444

31

44

故選：c

4.D

【分析】根據數據的極差、眾數、百分位數的定義即可判斷ABCD.

【詳解】對A,這組數據從小到大排為8.2,8.4,8.4,8.5,8.6,8.7,8.8,8.8,8.9,9.2,

9.3,9.4,則極差為9.4-8.2=12,故選項A錯誤；

對B,由于眾數為8.4和8.8,故選項B錯誤；

對C,由于12x80%=9.6,則80%分位數為9.2,故選項C錯誤；

對D,由于12x75%=9,則第三四分位數為吧廣?=9.05,故選項D正確.

2

故選：D.

5.C

【分析】根據兩角和的余弦公式以及誘導公式，可將原式化成cos(20+40)即可求得結果.

【詳解】利用誘導公式可知cos50=cos(90-40)=sin40,

]_

所以,原式=cos20cos40-sin20sin40=cos（20+40）=cos60

2

即cos20cos40-sin20cos50=：.

故選：C

6.C

【分析】由對立事件概率關系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計算公式即可..

【詳解】因為P(C)=0.6,事件B與C對立，

所以P(B)=O4,

又P(A)=0.3,A與8互斥，

所以尸(A8)=P(A)+P(3)=0.3+04=0.7,

故選：C.

7.C

【分析】根據的關系可判斷A,根據直線與平面的關系可判斷B,根據線面垂直的性質

判斷C,根據面面垂直的概念判斷D.

【詳解】對A,m//a,n//a,則加〃“，相交，異面和平行都有可能，故A錯誤；

對B,m//n,m//a,則可能“ua,n//a,故B錯誤；

對C,根據線面垂直的性質可知4時，a//P,故C正確；

對D,a±r,/3Ly,則可能a,4相交，也可能平行，故D錯誤.

故選：C

8.A

【分析】由正弦邊角關系及已知設a=4x,b=5x,c=6x,應用余弦定理求cosC即可.

【詳解】由正弦邊角關系知:a:b:c=4:5:6,令a=4x,b=5x,c=6x,

c-r.U-u~+b~—c~16x~+25x2—36x-I

所以cosC=--------------=-------------------------=—.

lab2x4xx5x8

故選：A

9.ABC

【分析】根據平面的確定情況及點線面的位置關系直接判斷即可得到答案.

【詳解】由空間中不共線的三點可以確定唯一一個平面，可知A正確；

由平行公理可得平行于同一條直線的兩條直線平行，可知B正確；

由兩條相互平行的直線能確定一個平面，可知C選項正確；

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補，可知D錯誤；

故選:ABC.

10.ACD

【分析】結合互斥事件和對立事件的概念，及古典概型公式進行分析即可.

【詳解】對于A,兩球同時為紅球和為黑球不可能同時發(fā)生，并且除了這兩個事件，實驗還

會發(fā)生一個事件，即兩球一黑一白，所以兩球同時為紅球和為黑球的事件為互斥而不對立事

件，A正確；

對于B,至多有一個黑球包括一黑一紅和兩紅球，其對立事件為兩黑球，B錯誤；

對于C,記3個紅球為a,b,c,2個黑球為“，e,

則任取2個球的結果有ac,ad,ae,be,hd,he,cd,ce,de,共10個，

4?

事件A發(fā)生的結果有浦，ac,be,de,共4個，所以尸(加=歷=1,C正確；

-19

對于D,事件8的對立事件的結果有de,共1個，所以P(B)=而，所以尸(8)=而，D正確.

故選：ACD.

11.ACD

【分析】對于A,由圖象可知A=3J(O)=3sin*=-1，可求出對于B,和

￡=靠喝可出。的值，對于C，由8x-L+E(ZeZ)可求出對稱軸，對于D,利用正

弦函數的性質可求得結果.

、

【詳解】依題意得A=3,/(0)=3sine=_]3,sine=_：1,

因為|同＜]，所以夕=一^,所以A正確.

2o

所以玲。一工=E(ZeZ),解得0=8+48Z(ZwZ).

T27rTi

因為-=/所以°v0V24,所以當女=1時，G=8,所以B錯誤.

44048

因為/(x)=3sin(8x-1,

所以令8》W+E(&eZ),解得x==+”七Z),

62128

則f(x)的圖象關于直線X=\對稱，C正確.

因為當xj9外時,8x欄J.,圖,所以3sinj8x-1]ej-，,3

246」6|_66」I6J2

所以/(X)在尼上的值域為[-1],所以D正確.

24O2

故選：ACD

12.ACD

【分析】由向量相等可判斷A；由數量積的性質結合模的運算可判斷B和C；由向量的線性

運算結合向量共線可判斷D.

【詳解】由AB=DC，可得A8//C。，SLAB=CD,故A8C3是平行四邊形，所以A正確；

由卜8+44=卜8-4。|,平方可得ABAO=0，即但A8CZ）不一定是矩形，所

以B錯誤；

由|OA-O3HoA+O3-2OC|,可得網=向一"+03-0。，Bp|CA-Cfi|=|CA+Cfi|,因

此C4LC3,所以AfiC為直角三角形，所以C正確；

作A￡_L8C于E,由于卜8卜皿3=|47卜拓。=,耳，所以

/\

OP=OA+m-----------------------------=OA+4（A8+AC）,即

jA.sin/ABC\AC\sinZACBJ|AE|V7

m/\

AP=R@（AB+ACJ,故P的軌跡一定通過ABC的重心，所以D正確.

故選：ACD.

13.G=l+i（答案不唯一，滿足69=a+ai（4cR）均可）

【分析】設。=。+歷（a,6eR）,根據已知得〃，b關系,然后可得答案.

【詳解】設6y=a+6i（a,6eR）,因為同一1|=g-i|,

所以一1+例=|。+3—l）i[,即"1）2$=M+（f2,

整理得a=b,取。=0=1得69=l+i.

故答案為：0=l+i（答案不唯一，滿足G=a+ai（awR）均可）

14.3

【分析】直接利用向量平行的坐標運算求解.

【詳解】ab,a=（2,4）,b=（左,6）,

/.2x6=4/:,

,\k=3.

故答案為：3

15.36兀

【分析】由球的體積公式求出球的半徑R,再由表面積公式計算即可.

【詳解】由球的體積公式v=g兀斤可知，：兀內=36兀，解得R=3,

.?.球的表面積5=4nR2=36K.

故答案為：36兀

16.[1,g）

2

【分析】利用三角恒等變換化函數”》）為丫=45皿5+夕）缶＞0,。＞0）的形式，再根據給

定條件及函數性質分析作答.

/、7T

【詳解】/(x)=2sin6yx[l-cos(d>x+—)J-2sin2cox=2sina)x(\+sincox)-2sin2cox=2sincox,

h八rni71,,71C07C//①冗

而G>0,則——<X<—,----<CDX<——,

3232

71」(07T57rC/L

—<——<—1<69<59

222

依題意得.，解得92-

(07137rco<—

32z

所以。的取值范圍是[1,91).

9

故答案為：[1,Q)

17.(1)-1；

【分析】(1)根據向量的線性運算計算即可；

11

/7?h

(2)由COS6=T^%計算即可.

\a\-\b\

【詳解】(1)解：(a+h)-(a-2h)=a2-ab-2b2=-6,

又因為忖=1,忖=2,

,?,a-h,=a2—2h.2+6=1—-8+6,=—1；

ii

Z7.h—1!

(2)解：由題意可得cos，=qL=[=一：,

\a\-\b\22

又因為6e[0,2,

所以e=

18.⑴g

哈

【分析】（1）根據獨立事件乘法公式和互斥事件加法公式計算即可;

（2）根據二項分布算出甲和乙在三輪比賽中，射中0次，1次，2次，3次的概率，然后利

用獨立事件的乘法公式和概率的加法即可.

【詳解】（1）設4，分別表示甲、乙在第k（k=l,2,3,...）輪射中，

12

則尸（4）=5,P（4）=§.

設C表示“少年隊”在一輪比賽中恰好射中1次，

則尸（c）=P（A）P（瓦）+尸伍）尸（4）

11121

=—x—+—x—=—,

23232

所以“少年隊”在一輪比賽中恰好射中1次的概率為;.

（2）設4，D,,2，4分別表示甲在三輪比賽中射中0次，1次，2次，3次,

E。,￡2,々分別表示乙在三輪比賽中射中0次，1次，2次，3次,

M表示“少年隊”在三輪比賽中恰好射中3次.

v0722282228

P（￡）^）=3x—x—x—=-,P（￡>J=—x—x—=-,

v2722281浦2228

P（E.）=—x—x—=-P（E.）=3x—x—x-=—,

'（"33327f'"3339

P（E.）=3x-x-x-=-,P（E）=-x-x-=—,

v3339'”333327

所以尸（M）=P（A）尸（鳥）+尸（力）尸（￡2）+P（4）P（G）+P（A）P（繪）

183432117

=—X------F—X--F—X--F—X——=——,

827898982724

7

故“少年隊，，在三輪比賽中恰好射中3次的概率為二.

19.（l）j

4

尾

【分析】（l）應用正弦定理邊角關系及三角恒等變換得sin（A+C）=sin8=sin/?taM,再由三

角形內角性質得tanA=I,進而確定角的大??；

（2）根據余弦定理求c=3,再應用三角形面積公式求面積即可.

【詳解】（1）由acosC+ccosA=〃tarv4結合正弦定理可得sinA8sC+cosAsinC=sinBtanA,整

理得sin（A+C）=sinB=sinBlanA,

sinB>0,/.tanA=1,

Ae（0,7t）,/.A=—.

22222

（2）a=h+c-2hccosA,:.5=2+c-272cx—,BPc-2c-3=0^解得c=3,

2

AfiC的面積為』x3x夜xsin'=』.

242

20.（1）^

（2）證明見解析，點8到平面的距離為竽

【分析】（1）通過平行線轉化，從而找到直線與直線所成角，然后通過解三角形知識即可求

解；

（2）利用平面與平面垂直的判定定理即可證明；再作出點到平面的垂線段，然后利用等面

積法即可求解.

【詳解】（1）由正三棱柱的結構特征可知：CCJ/BB、,8片，平面ABC,抽。為等邊三角

形；

???直線CC,與DB,所成角即為NDBiB,

Q8￡）u平面ABC,平面ABC,與_LB￡）,

因為。是AB的中點，所以80=348,

AD

所以在Rt4BO中，tanNQ4B=^=J=L

1叫A4,2

即直線CC,與。片所成角的正切值為g.

(2)因為。是A8的中點，ABC為等邊三角形，所以。W,

因為B耳，平面ABC,CDu平面ABC,所以CD,明，

又因為ABu平面ABB|A，

所以CD_L平面ABB|A，

又因為C￡>u平面CQB1,所以平面平面ABB|A.

在平面ABB|A內作BE_LBQ,垂足為E,

平面CDS，平面4B4A,平面CD用'平面AB8M=耳。，BEu平面ABB0,BE工BQ,

：.3EJ_平面CDB],點B到平面CDB,的距離即為8E的長,

由(1)知：BBt±BD,.?.4￡>=JF+22=石,

陰皿即如蟹凄尋竿

???點B到平面CDBt的距離為平.

21.(1)。=0.035,中位數為29與5，平均數為41.5

【分析】(1)根據頻率和為1的性質可構造方程求得〃；根據頻率分布直方圖估計中位數和

平均數的方法，直接估算即可;

(2)根據分層抽樣可確定5人中分別來自第1,2的人數，利用列舉法可得所有基本事件和滿

足題意基本事件個數，由古典概型概率公式可求得結果.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖性質知：(0.010+0.015+4+0.030+0.010)x10=1,解得：

a—0.035；

(0.010+0.015)x10=0.25,(0.010+0.015+0.035)x10=0.6,

???中位數位于［35,45),設中位數為垃，

則0.25+35)x0.035=0.5,解得：m二號,即中位數為牛；

平均數為(20x0.010+30x0.015+40x0.035+50*0.030+60*0.010)x10=415

(2)第1,2組的頻率之比為0.010:0.015=2:3,

二抽取的5人中，第1組應抽取2人，記為AB；第2組應抽取3人，記為C,D,E,

則從5人中隨機抽取2人,有{AB},{AC},{A。},{AE},{B,C},{B,D},{B,E},

{C,D},{C,E},{D,E},共10個基本事件；