第07講2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解圓的定義及確定圓的幾何要素。②理解與掌握平面直角坐標(biāo)系中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.。③會(huì)根據(jù)相關(guān)條件寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓的圓心，半徑。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解與掌握確定圓的位置，大小的幾何要素，能根據(jù)相關(guān)條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能解決與圓有關(guān)的問題.知識(shí)點(diǎn)01：圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心的坐標(biāo)為,半徑為,為圓上任意一點(diǎn)，可用集合表示為：知識(shí)點(diǎn)02：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【即學(xué)即練1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知、兩點(diǎn)，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，圓心的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.知識(shí)點(diǎn)03：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與：位置關(guān)系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點(diǎn)在外②則點(diǎn)在上③則點(diǎn)在內(nèi)（2）代數(shù)法將點(diǎn)帶入：方程內(nèi)①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)【即學(xué)即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫出圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)是否在這個(gè)圓上．若該點(diǎn)不在圓上,說明該點(diǎn)在圓外還是在圓內(nèi)？【答案】答案見解析【詳解】圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊相等,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程,所以點(diǎn)在這個(gè)圓上．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊不相等,點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足圓的方程,所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上．又因?yàn)辄c(diǎn)到圓心A的距離．故點(diǎn)在圓內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)04：圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)；記;①若點(diǎn)在外，則;②若點(diǎn)在上，則;③若點(diǎn)在內(nèi)，則;【即學(xué)即練3】（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，則圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為_____.【答案】6【詳解】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑,又圓心到點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，故答案為：6題型01求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C：，O為原點(diǎn)，則以為直徑的圓方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知兩點(diǎn)、，則以PQ為直徑的圓的方程是______.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓心在軸上，半徑為5，且過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．【變式2】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過三點(diǎn)、、的圓的圓心坐標(biāo)為___________.題型02由圓的方程求圓心或半徑【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．圓的圓心為，半徑為5B．圓的圓心為，半徑為C．圓的圓心為，半徑為D．圓的圓心為，半徑為【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【變式1】（2023·寧夏銀川·六盤山高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎本€經(jīng)過圓的圓心，其中，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．12【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線過圓的圓心，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2題型03點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的取值不可能是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.題型04與圓有關(guān)的最值問題【典例1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，過點(diǎn)的兩條直線，互相垂直，圓心到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．4【典例2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）已知圓C過點(diǎn)，當(dāng)圓到原點(diǎn)的距離最小時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【變式1】（2023春·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C．7 D．【變式2】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型05與圓有關(guān)的對(duì)稱問題【典例1】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知圓和直線.若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·四川涼山·高二?？茧A段練習(xí)）若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是___________【變式1】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知圓和直線.若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓與圓關(guān)于軸對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．題型06軌跡方程【典例1】（2023秋·高一單元測(cè)試）已知定點(diǎn)，是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是_______________.【典例2】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是______．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，線段，且兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)．求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；【變式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)校考階段練習(xí)）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是__________．【變式2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┮阎粋€(gè)圓的方程滿足：圓心在點(diǎn)，且過原點(diǎn)，則它的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·北京海淀·?？既＃┤糁本€是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B．1 C． D．3．（2023春·四川南充·高二?？茧A段練習(xí)）圓的圓心、半徑是（）A．，4 B．，2 C．，4 D．，24．（2023春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高二?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}5．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．6．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論，甲：該圓的半徑為；乙：該圓經(jīng)過點(diǎn)；丙：該圓的圓心為；?。涸搱A經(jīng)過點(diǎn)．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知圓，則過點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．8．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過點(diǎn)與且半徑為2的圓的方程可以為（

）A． B．C． D．三、填空題10．（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知直線平分圓且與互相平行，則的距離是__________.四、解答題11．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)求：(1)過點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓的方程；(2)過點(diǎn)A，B且圓心在直線上的圓的方程.12．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.B能力提升1．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）動(dòng)直線平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值（

）A． B． C． D．2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．163．