第二章直線和圓的方程章節(jié)驗收測評卷(綜合卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）直線的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【詳解】因為的斜率，所以其傾斜角為30°.故選：A.2．（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習）已知命題：直線與平行，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價于或，命題．則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．故選：A．3．（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標為，半徑為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標準方程為.故選：A4．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知：，，，，.因為和有公共點，所以，解得.故選：C5．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知、，若直線經(jīng)過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】過點作，垂足為點，如圖所示：設直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，此時；當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：D.6．（2023秋·高一單元測試）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【詳解】法一：令，則，代入原式化簡得，因為存在實數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設，則圓心到直線的距離，解得故選：C.7．（2023·全國·模擬預測）設，均為正實數(shù)，若直線被圓截得的弦長為2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】圓的圓心為，半徑為，由題意可知，圓心到直線的距離為，兩邊平方并整理，得，由基本不等式可知，，即，解得或，當且僅當時，取等號，于是有或,的取值范圍是.故選：C.8．（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，當點不共線時，，又，因此∽，則有，當點共線時，有，則，因此，當且僅當點M是線段BN與圓O的交點時取等號，所以的最小值為.故選：C二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）以為頂點的三角形，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．以點為直角頂點的直角三角形D．以點為直角頂點的直角三角形【答案】AC【詳解】對于A，因為，所以，所以A正確，對于B，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，所以，所以以點為直角頂點的直角三角形，所以C正確，對于D，因為，，所以，所以D錯誤，故選：AC10．（2023春·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學?？计谥校┮阎獔A：與圓：外切，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，因為圓：與圓：外切，所以，即，解得或.故選：AC.11．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線與圓，則（

）A．直線與圓一定相交 B．直線過定點C．圓心到直線距離的最大值是 D．使得圓心到直線的距離為2的直線有2條【答案】AB【詳解】可化為，對于B，令，解得，則直線過定點，B正確；可化為，所以圓心的坐標為，半徑為3.對于A，，則點在圓內(nèi)，從而直線與圓一定相交，故A正確；對于C，設圓心到直線的距離為，則，則C錯誤；對于D，因為圓心到直線的距離為2，所以，解得，所以使得圓心到直線的距離為2的直線有且僅有1條，則D錯誤．故選：AB12．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）已知分別為圓與圓上的兩個動點，為直線上的一點，則（

）A．的最小值為B．的最小值為C．的最大值為D．的最小值為【答案】AC【詳解】圓的標準方程為，所以其圓心為，半徑為，圓的標準方程為，所以其圓心為，半徑為，設點關于直線對稱的點為，則解得即.如圖，連接交直線于點，連接，此時三點共線，最小，則最小，所以3，故A正確、B錯誤；因為，所以當取到最大值且點共線時，取到最大值．由圖可知，，所以的最大值為，故C正確；時，不能共線，最小值不存在，D錯誤.故選：AC三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）若兩條平行直線：與：間的距離為2，則______.【答案】或【詳解】由題意可得：，解得或.故答案為：或.14．（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為_______【答案】2【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當且僅當時，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．15．（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）已知，是曲線上的動點，為直線上的一個動點，則的最小值為______.【答案】【詳解】如圖，曲線是以為圓心，以為半徑的圓，則根據(jù)圓的性質(zhì)可知，的最小值為，設關于直線的對稱點為，則可得，解得，即，連接，分別交直線與圓于，則，當且僅當三點共線時取等號，此時取得最小值，所以的最小值為.故答案為:16．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）對非原點O的點M，若點在射線上，且，則稱為M的“r-圓稱點”，圖形G上的所有點的“r-圓稱點”組成的圖形稱為G的“r-圓稱形”．的“3-圓稱點”為______，圓（不包含原點）的“3-圓稱形”的方程為______．【答案】【詳解】由題意得：，又，所以，又點在射線上，即在軸正半軸上，故的“3-圓稱點”為；設圓（不包含原點）的一點，，設其“r-圓稱點”為，則，即，又點在射線上，不妨設，，所以，整理得：，綜上，，即，故圓（不包含原點）的“3-圓稱形”的方程為.故答案為：，.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）已知直線，求：(1)過點且與直線l平行的直線的方程；(2)過點且與直線l垂直的直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為直線的斜率為，所以與直線l平行的直線的斜率為，又所求直線過，所以所求直線方程為，即．（2）因為直線的斜率為，所以與直線l垂直的直線的斜率為，又所求直線過，所以所求直線方程為，即．18．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知直線，.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若直線在兩個坐標軸上的截距相等，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）直線，．則，解得或，當時，，，則直線，重合，不符合題意；當時，，，則直線，不重合，符合題意，故.（2）當，即時，，直線在兩坐標軸上的截距為，滿足直線在兩個坐標軸上的截距相等；當且時，則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，由題意可知，，解得，當時直線，顯然不符合題意，綜上所述，或．19．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校瑘A過點，，且圓心在上．(1)求圓的方程；(2)若已知點，過點作圓的切線，求切線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為圓過，則的中垂線過圓心，設的中點為，則，因為，所以的中垂線方程為，即，又圓心在，聯(lián)立，解得，因此圓心，半徑，所以圓的方程為.

.（2）因為，所以在圓外，過作圓的切線，若切線斜率不存在時，則切線方程為，滿足與圓相切，若切線斜率存在時，設切線方程，即，則，解得，所以切線方程為，即.綜上：切線方程為或.20．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過點，，且________.從下列3個條件中選取一個，補充在上面的橫線處，并解答.①過直線與直線的交點；②圓恒被直線平分；③與軸相切.(1)求圓的方程；(2)求過點的圓的切線方程.【答案】(1)選擇見解析，(2)或【詳解】（1）選擇①：聯(lián)立，解得，所以，設圓的方程為，因為，，三點均在圓上，所以，解得，所以圓的方程為，即；選擇②：直線的方程可化為，因為上式恒成立，所以，解得，所以直線恒過定點，且為圓心，所以，所以圓的方程為；選擇③：設圓的方程為，由題可得，解得，故圓的方程為；（2）因為，所以點P在圓E外，①若直線斜率不存在，直線方程為，圓心到直線的距離為5，滿足題意；②當直線斜率存在時，設切線的斜率為，則切線方程為，即，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，所以直線的方程為，綜上可得：過點的圓的切線方程為或.

21．（2023秋·高一單元測試）已知直線：與圓O：相交于不重合的A，B兩點，O是坐標原點，且A，B，O三點構(gòu)成三角形．

(1)求的取值范圍；(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時的值．【答案】(1)(2)的最大值為2，取得最大值時【詳解】（1）解法一：由題意知：圓心到直線的距離，因為直線與圓O相交于不重合的A，B兩點，且A，B，O三點構(gòu)成三角形，所以，得，解得且，所以的取值范圍為.解法二：聯(lián)立，化簡得：，得，因為A，B，O三點構(gòu)成三角形，所以所以的取值范圍為.（2）直線：，即，點O到直線距離：，所以所以，（且）設，則，所以所以當，即，即時，所以的最大值為2，取得最大值時.22．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校┮阎^點的直線與圓相交于、兩點，是弦的中點，且直線與直線相交于點．(1)當直線與直線垂直時，求證：直線經(jīng)過圓心；(2)當弦長時，求直線的方程；(3)設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)或(3)為定值，且【詳解】（1）