關(guān)于測(cè)量誤差分析與誤差處理第一單元介紹的是根據(jù)一組等精度觀測(cè)值的真誤差，求觀測(cè)值的中誤差問(wèn)題。但是在實(shí)際測(cè)量工作中，有些未知量往往是由觀測(cè)值，通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算出來(lái)的。例如，水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，高差h=a（后視讀數(shù)）-b（前視讀數(shù)），h是a、b的函數(shù)。又如坐標(biāo)增量△x=S·cosα，△y=S·sinα，△x及△y是距離S和坐標(biāo)方位角的函數(shù)。由于直接觀測(cè)值有誤差，故它的函數(shù)也必然會(huì)有誤差。研究觀測(cè)值函數(shù)的精度評(píng)定問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上就是研究觀測(cè)值函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值中誤差的關(guān)系問(wèn)題。這種關(guān)系又稱誤差傳播定律。第2頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天（一）倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z=KX用△X與△Z分別表示X和Z的真誤差，則Z+△Z=K（X+△X）即△Z=K△X

這就是函數(shù)真誤差與觀測(cè)值真誤差的關(guān)系式第3頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)對(duì)X進(jìn)行了n次觀測(cè)，則有△Z1=K△X1△Z2=K△X2……△ZN=K△XN得△2Z1=K2△2X1△2Z2=K2△2X2……△2ZN=K2△2XN[△2Z]=K2[△2X]按中誤差定義，上式可表示為m2Z=K2m2X或mZ=KmX

可見(jiàn)，倍數(shù)函數(shù)的中誤差等于倍數(shù)（常數(shù)）與觀測(cè)值中誤差的乘積。

第4頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天用比例尺在1：1000的圖上量得長(zhǎng)度L=168mm，并已知其中誤差mi=±0.2mm，求相應(yīng)地面上的水平距離S及中誤差mS。

解：相應(yīng)地面上的水平距離S=1000L=168m中誤差mS=1000mi=±0.2m最后寫(xiě)成S=168±0.2m第5頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天（二）和、差函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)Z=X+Y和Z=Z-Y，即Z=X±YX、Y為獨(dú)立觀測(cè)值，所謂“獨(dú)立”，是指觀測(cè)值之間相互無(wú)影響，即任何一個(gè)觀測(cè)值產(chǎn)生的誤差，都不影響其他觀測(cè)值誤差的大小。一般來(lái)說(shuō)，直接觀測(cè)的值就是獨(dú)立觀測(cè)值。令函數(shù)Z及X、Y的真誤差分別為△Z、△X、△Y。顯然Z+△Z=（X±△X）±（Y+△Y）第6頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天和差函數(shù)的中誤差△Z=△X±△Y

觀測(cè)n次，則有△Z1=△X1±△Y1△Z2=△X2±△Y2……△Zn=△Xn±△Yn將上列各式兩邊平方并求和，得[△2Z]=[△2X]+[△2Y]±2[△X△Y]第7頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天第8頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題第9頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題第10頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天習(xí)題1：如圖所示的測(cè)站點(diǎn)O，觀測(cè)了α、β、γ三個(gè)角度，已知它們的中誤差分別為±12、±24、±24秒，求由此而得圓周角不符值ε的中誤差。如果用方向觀測(cè)法觀測(cè)了這三個(gè)角且測(cè)角中誤差為12秒，請(qǐng)問(wèn)計(jì)算角的中誤差是多少？第11頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天（三）線性函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)

Z=K1x1±K2x2±…±Knxn式中K1、K2、…、Kn為常數(shù)；x1、x2…、xn均為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為m1、m2、…、mn函數(shù)Z與各觀測(cè)值x1、x2、…、xn的真誤差關(guān)系式為根據(jù)中誤差的定義公式可得：第12頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題：例4：對(duì)某一直線作等精度觀測(cè)。往測(cè)距離為L(zhǎng)1，返測(cè)距離為L(zhǎng)2，其中誤差均為m。求該直線的最后結(jié)果及其中誤差。

解；最后結(jié)果L為

設(shè)L的中誤差為mL，有

即第13頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天（四）一般函數(shù)的中誤差設(shè)有一般函數(shù)Z=f（X1，X2，…，Xn）；式中，X1，X2，…，Xn為具有中誤差，mX1，mX2，…，mXn的獨(dú)立觀測(cè)值。各觀測(cè)值的真誤差分別為△X1、△X2、…、△Xn，其函數(shù)Z也將產(chǎn)生真誤差Δz.。

)取全微分,得則有式中，，…，為函數(shù)對(duì)各個(gè)變量所取得的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)的中誤差為：或者：，，…，

第14頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題設(shè)沿傾斜地面丈量A、B兩點(diǎn)，得傾斜距離L=29.992m，測(cè)得A、B兩點(diǎn)間高差h=2.05m，若測(cè)量L、h的中誤差分別為±0.003m和±0.05m，求水平距離S及其中誤差ms。解：水平距離為水平距離的中誤差為式中則有：第15頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天（五）若干獨(dú)立誤差綜合影響的中誤差一個(gè)觀測(cè)值的中誤差，往往受許多獨(dú)立誤差的綜合影響。例如，經(jīng)緯儀觀測(cè)一個(gè)方向時(shí)，就受目標(biāo)偏心、儀器偏心（儀器未真正對(duì)中）、照準(zhǔn)、讀數(shù)等誤差的綜合影響。這些獨(dú)立誤差都屬于偶然誤差?？梢哉J(rèn)為各獨(dú)立真誤差△1、△2、…、△n的代數(shù)和就是綜合影響的真誤差△F，△F=△1+△2+…+△n

第16頁(yè),共18頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題：已知使用某一經(jīng)緯儀觀測(cè)一個(gè)方向的讀數(shù)中誤差為±10〞，照準(zhǔn)中誤差為±3