2023-2024學(xué)年湖北省武漢市高二上冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線(xiàn)c:0》+了+3=0的傾斜角。=()

A.30"B.60"C.120/D.150"

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意求出直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可求解傾斜角.

【詳解】由題，將直線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得y=-3,

所以直線(xiàn)的斜率左=tana=-6，

因?yàn)?%a<180",所以a=120",

故選:C.

2.橢圓《+片=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

43

A.(±5,0)B.(±1,0)C.(±75,0)D.(±77,0)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)闄E圓則0=，7萬(wàn)="^=1，

則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0)

故選:B.

3.在長(zhǎng)方體48cz中，設(shè)441=4,48=6,40=。,￡>為棱881的中點(diǎn)，則向量/)上可

用向量表示為()

x?xjzIXX|?

A.a+—b+-cB.-a-b-\—c

2222

!XJX>]XXX

C.—a——b-cD.-a+b-c

222

【正確答案】D

【分析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.

1XX

【詳解】如圖所示，BE=-a,DB=AB-AD=h-c,

XX?X1XX；

/.DE=DB4-BE=b-c-\—a=—a+b-c

22

故選:D.

4.若直線(xiàn)x+（l+加）歹一2=0和直線(xiàn)mx+2y+4=0平行，貝ijm的值為（）

2

A.1B.-2C.1或一2D.一一

3

【正確答案】A

【分析】由題知兩直線(xiàn)平行，直接列出9'=條#不（4*0,民#0,。,#0）即可求得加

月22C2

【詳解】直線(xiàn)工+（1+m）歹一2=0和直線(xiàn)加x+2y+4=0平行，

111x2=zw（l+w）,

可得cI，得m=l.

\m*-2

故選：A.

本題考查了已知兩直線(xiàn)平行求參的問(wèn)題，注意要排除兩直線(xiàn)重合的情況，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)圓G:x2+j?-2x+4y=4,圓C2：/+/+6x-8y=0,則圓g,G的公切線(xiàn)有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷出兩圓

的位置關(guān)系，從而得解.

[詳解】由題意，得圓C,:（X-1）2+3+2）2=32,圓心G（1,-2），圓。2：（X+3）2+（尸4）2=52,

圓心。2（T4）,.?.5-3<|CC|=2jiI<5+3,；.G與G相交，有2條公切線(xiàn).

故選：B.

6.若直線(xiàn)P=-x+分與曲線(xiàn)方=后》有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）

A.[-U]B.[-1,72]C.[1閥D.（1,旬

【正確答案】C

【分析】聯(lián)立方程，等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次方程的根，列得不等式組，可得答案.

【詳解】將P=-x+6代入》=「丁，可得x=Jl-(-x+M,

由題意，等價(jià)于2x2-2bx+67=0存在兩個(gè)大于等于零小于等于1且不相等的實(shí)數(shù)根,

A=4/)2-8(d2-l)>0

fe2-l>0

則-2b,解得

---->0n

4

2-2b+b2-l>0

故選：C.

22?--

7.已知耳、鳥(niǎo)是橢圓C:會(huì)+%=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且尸耳工尸".

若△尸石心的面積為9,則實(shí)數(shù)b的值為()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)、三角形面積公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.

【詳解】由題意，\PPt\+\PF2\=2a,S呻廣白產(chǎn)用歸用=9，即|尸制?〔尸閭=18,

附『+|尸引=4,

整理可得(附|+儼曰)2-2匹|.陀|="，4a2-36=4c2,則解得6=3.

故選：A.

8.已知點(diǎn)P為直線(xiàn)尸'+1上的一點(diǎn)，分別為圓G：(x-4)2+(y-l)2=4與圓

G：/+(y-4)2=l上的點(diǎn)，則|尸W+|*V|的最小值為()

A.5B.6C.2D.1

【正確答案】C

【分析】分別求得圓G，C?的圓心坐標(biāo)和半徑，求得|GG|=5,結(jié)合|PW|+|PN"5-q-4,

即可求解.

【詳解】如圖所示，由圓G：(x-4)2+(y-l)2=4,可得圓心G(4,l),半徑為4=2,

圓G：f+(y-4)2=l,可得圓心a(0,4),半徑為4=1,

可得圓心距|CC|=J(4-0)2+(1_4『=5,

所以巨5-r「G=2,當(dāng)",MG，G，尸共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，

故1PMi+|PN|的最小值為2.

二、多選題

9.已知直線(xiàn)/:J5x+y-2=0,貝ij()

A.傾斜角為60°B.恒過(guò)點(diǎn)(0,2)

C.直線(xiàn)/的方向向量為(1,-百)D.在x軸上的截距為2

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)直線(xiàn)的方程求出斜率得傾斜角判斷A,點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程可判斷B,根據(jù)

直線(xiàn)斜率判斷C,求出直線(xiàn)在x軸上截距判斷D.

【詳解】由/：6x+y-2=0可得卜=-岳+2,

即直線(xiàn)斜率4=-6,所以?xún)A斜角為120。，故A錯(cuò)誤；

點(diǎn)(0,2)代入直線(xiàn)方程，6x0+2-2=0成立，故B正確；

因?yàn)橹本€(xiàn)/斜率％=-6,而(1,-6)與原點(diǎn)連線(xiàn)斜率也是-仃，與直線(xiàn)平行，所以(1,-6)是

直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，故C正確：

令y=0,可得x=3=述，即在x軸上的截距為垣，故D錯(cuò)誤.

V333

故選：BC

22

10.已知方程工+工=1表示的曲線(xiàn)為C,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

6-mm—2

A.當(dāng)，">6或〃?<2時(shí)，曲線(xiàn)C是雙曲線(xiàn)

B.當(dāng)2<〃?<6時(shí)，曲線(xiàn)C是橢圓

C.若曲線(xiàn)c是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，”>6

D.若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則2（機(jī)<4

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依次構(gòu)造不等式求得每種曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的加的范

圍即可.

【詳解】對(duì)于A,若曲線(xiàn)。為雙曲線(xiàn)，則（6-加）（加-2）<0,解得：相>6或加<2,A正確;

6->0

對(duì)于B,若曲線(xiàn)C為橢圓，則，加-2>0,解得：2<〃?<4或4c加<6,B錯(cuò)誤；

6—THw機(jī)一2

對(duì)于C,若曲線(xiàn)。是焦點(diǎn)在V軸上的橢圓，則機(jī)-2>6>0,解得：4<加<6,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若曲線(xiàn)。是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則6-加解得：2<〃?<4,D正確.

故選：AD.

11.過(guò)點(diǎn)尸（2,1）作圓。：/+/=1的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為48,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.\PA\=>/3

B.四邊形尸/08的外接圓方程為x2+/=2x+y

C.直線(xiàn)Z5方程為y=-2x+l

Q

D.三角形尸/B的面積為《

【正確答案】BCD

【分析】求出由勾股定理求解歸力|,即可判斷選項(xiàng)A；

利用PO為所求圓的直徑，求出圓心和半徑，即可判斷選項(xiàng)B；利用求出直線(xiàn)

的斜率，即可判斷選項(xiàng)C：求出直線(xiàn)尸。和13的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求解，

即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,由題意可得：|OP|=7FW=6,由勾股定理可得，1PH="（退尸_『=2,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由題意知，PBLOB,則P。為所求圓的直徑，所以線(xiàn)段尸。的中點(diǎn)為(l，g),半徑

為咚，則所求圓的方程為(x-l)2+(y-g)2=(，化為一般方程為/+歹2=2》+了，故選項(xiàng)B

正確；

對(duì)于C,由題意，其中一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),不妨設(shè)為點(diǎn)3,則又心「=；,

所以3?=-2,所以直線(xiàn)的方程為y=-2x+l,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,因?yàn)榍抑本€(xiàn)OP的方程為夕=!苫，直線(xiàn)48的方程為y=-2x+l,聯(lián)立

2

y=-2x+1X=—

521

方程組1,解得＜所以?xún)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為。(w,?，則

—、、、

忸*百百7考,囪=1|-2)2+(”2=竽,

故△尸8。的面積為‘X拽x生5=所以尸/8的面積為故選項(xiàng)D正確,

25555

故選.BCD

12.一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐

標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)尸(3,0),橢圓的短軸與半

圓的直徑重合.若直線(xiàn)N=，(/>0)與半圓交于點(diǎn)A,與半橢圓交于點(diǎn)B,則下列結(jié)論正確的

是()

A.橢圓的離心率是也

2

B.線(xiàn)段Z8長(zhǎng)度的取值范圍是(0,3+3夜)

c.尸的面積存在最大值

D.498的周長(zhǎng)存在最大值

【正確答案】ABC

【分析】求得半圓的方程和半橢圓的方程判斷AB選項(xiàng)，分別求得直線(xiàn)與半圓和半橢圓的交

點(diǎn)，利用面積公式判斷選項(xiàng)C,由0N8的周長(zhǎng)為/0=Q/|+|o@+M同求解判斷.

【詳解】解：由題意得半圓的方程為f+爐=9(x40),

設(shè)半橢圓的方程為「+^-=l(6r>6>0,x>0),

a

又b=c=3，則a=3^2，

-)2

則半橢圓的方程為三+$1(x20),

18

3_Vj

則橢圓的離心率0=故A正確;

3&一2

直線(xiàn)歹=/。＞0)與半圓交于點(diǎn)A,與半橢圓交于點(diǎn)8,

則線(xiàn)段相長(zhǎng)度的取值范圍是e,3+3碼；

不妨設(shè)Z(x"),B(x2,t)

則由x：+?=9(x40),可得再=-，9-〃;

由C=l(x20),可得匕=，18-2『;

2

則SAgF=1(V18-2/+)=q＞也-t"t,

V2+1+/2_9(A/2+1)(當(dāng)且僅當(dāng)f亞時(shí)等號(hào)成立),

_iX-y

224

故C正確；

的周長(zhǎng)為/?)=[04|+|08|+|/8|=3+(0+1)。9-1+Jl8T?,

則/?)在(0,3)上單調(diào)遞減，

則0/8的周長(zhǎng)不存在最大值.故D錯(cuò)誤

故選：ABC

三、填空題

13.已知2(1,1,0),^=(2,1,1),則向量工與廠(chǎng)的夾角為.

7T

【正確答案】-##30°

【分析】運(yùn)用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

xx9,1/rxx

【詳解】蟲(chóng)所精行￡國(guó)^寸"‘"=6>

峙

V.2

14.雙曲線(xiàn)/一叁=1的漸近線(xiàn)方程為.

【正確答案】y=+—x

2

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程得到焦點(diǎn)在y軸，〃=1,b=五,即可得到漸近線(xiàn)方程.

丫2

【詳解】雙曲線(xiàn)/一三=1,焦點(diǎn)在y軸，a=\,b=6,

漸近線(xiàn)方程為y=土變x.

故尸土^^x

15.若直線(xiàn)履-y+1-24=0與圓/+/=9分別交于河、N兩點(diǎn).則弦也長(zhǎng)的最小值為

【正確答案】4

【分析】分析直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，再由勾股定理即可求解.

【詳解】由圓V+V=9可得圓心。(0,0),半徑為3,

直線(xiàn)Ax—y+1-2k=0,即左(x—2)—y+1=0,

直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)/(2,1),

又因?yàn)槿?F<9,

所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，

當(dāng)圓心到直線(xiàn)MV距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)A/N最小，此時(shí)0PlMN,

此時(shí)|A/N|=2,2_|0殲=2^-(22+12)=4,

故4.

22

16.已知雙曲線(xiàn)方程為=1,(。>0/>0),兩焦點(diǎn)分別為￡,F2,直線(xiàn)ZB經(jīng)過(guò)行與

雙曲線(xiàn)交于48兩點(diǎn)，其中月且2|/瑞|=內(nèi)回，則此雙曲線(xiàn)離心率為.

［正確答案］姮##［后

33

【分析】連接班,設(shè)|力用=也利用雙曲線(xiàn)的定義得到怩陰=2加+2〃，歸a=〃?+2a,利用直

角△/耳8和直角△//=；6構(gòu)造a,c的關(guān)系，即可求出答案

【詳解】連接8耳,

設(shè)|4周二叫則內(nèi)邳=2m,

由雙曲線(xiàn)的定義可得由⑼=叵用+2a=2/w+2a,|7*］j|=內(nèi)力卜2a=m+2a,

在直角△^￡8中，區(qū)力『+忸力『=出行，即(2a+〃z)~+(3加了=(2〃?+2@\

2

化簡(jiǎn)可得加=3%

在直角△陽(yáng)/中，陽(yáng)/f+|%412TH用2,即(2〃+加y+〃?2=(2cj,

將m=|a代入上式可得(2a+|aJ+f|aT=(2c)2整理可得［=技，

所以e=￡=姮，

3

故姮

3

四、解答題

17./8C的三個(gè)頂點(diǎn)分別是4(-3,0),8(2,1),C(-2,3).

(1)求BC邊的垂直平分線(xiàn)OE所在直線(xiàn)方程：

(2)求/8C內(nèi)8c邊上中線(xiàn)力。方程.

【正確答案】(l)2x—)+2=0

(2)2x-3y+6=0(-3<x<0)

【分析】(1)先得到線(xiàn)段8c的中點(diǎn)，再利用垂直平分線(xiàn)得到心￡=2,接著用點(diǎn)斜式即可求

解；

(2)利用截距式即可得到中線(xiàn)力。的方程，注意加上對(duì)應(yīng)范圍

【詳解】⑴由8(2,1),。(-2,3)可得線(xiàn)段8c的中點(diǎn)為(0,2),噎=拄志=一；，

因?yàn)镺E是8c邊的垂直平分線(xiàn)，所以的￡=2,

則QE所在直線(xiàn)方程：y-2=2x即2x-y+2=0

(2)由(1)可得線(xiàn)段8c的中點(diǎn)為(0,2),

故BC邊上中線(xiàn)ZO方程為H=1即2x-3y+6=0,

所以/8C內(nèi)BC邊上中線(xiàn)2。方程：2x-3y+6=0(-3<x<0)

18.已知圓心為“0,3),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)的圓.

(1)求此圓C的方程；

⑵直線(xiàn)/：N=ax與圓C相交于A、8兩點(diǎn).若4BC為等邊三角形,求直線(xiàn)/的方程.

【正確答案】(1)一+(歹-3)2=3：

(2)y=y/3x或y=-也x.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)閳A心為C（0,3）,

所以圓C的方程設(shè)為一+&-3）2=/，該圓過(guò)（垃,2）,

所以有（亞））（2一3）2=戶(hù)=3,所以圓C的方程為一+（k3『=3；

（2）由（1）可知該圓的半徑為百

因?yàn)?8C為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為

所以該等邊三角形的高為石J,

3卜532=31a

所以圓心C到直線(xiàn)/：V=ax的距離為即"（_仔。^

所以直線(xiàn)/的方程為y=或y=

19.如圖，四棱雉P-/BCD的底面是矩形，PD_L底面N5CD,PD=DC=1,M為8C的

中點(diǎn)，且尸

（1）求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度;

（2）求直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值.

【正確答案】（1）0

⑵當(dāng)

6

【分析】（1）根據(jù)題意，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC、OP所在直線(xiàn)分別為x、Az軸建立

如圖空間直角坐標(biāo)系。-平，設(shè)BC=2”，由？8,力即可得到。，從而得到結(jié)果；

（2）由（1）中的結(jié)論，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線(xiàn)面角的公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.

平面/BCD,四邊形Z8CD為矩形，

不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、OP所在直線(xiàn)分別為x、Az軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系

D-xyz,

設(shè)2c=2a,則￡>（0,0,0）、尸（0,0,1）、C（0,l,0）,3（2凡1,0）、"（a,1,0）、>1（2a,0,0）,則

P5=(2a,l,-1),AM=(-d,l,0),

,?PBVAM,則誦：/。1-2/+1=0，解得"變，故8c=2a=正；

2

(2)尸￡(①0,-1)

設(shè)平面P8C的法向量為或(不如zj,BC=(-42,0,0),SP=(-72-1,1),

由]'又叫「干'-。，取M=1，可得會(huì)(0,1,1),

[n-BP=^j2x]-另+4=0

CM；隈=3=-阻直線(xiàn)產(chǎn)/與平面P8C所成角正弦值為四.

V3.V266

20.已知橢圓C:J+，=l（a>6>0）的焦距為6,橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)

為16.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)/與C交于A,8兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為求直線(xiàn)/的方程.

【正確答案】（1）1+m=1；

2516

⑵4x+5y-2=0.

【分析】（1）根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)公式，結(jié)合焦距的定義進(jìn)行求解即可:

（2）運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線(xiàn)斜率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）設(shè)C的焦距為2c（c>0）,2c=6nc=3,

因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2a,

而橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.

所以2。+2。=16=>々=5,

所以。=5,c=3,所以〃=/一/=16，

所以C的方程為\+《=1；

2516

（2）設(shè)/（占,乂），8（々，%），

2

y

一

一

一

25126

代入解圓方程得2為

%+一-

2516

兩式相減可得叱_2）（—J----2^.——?）I----）

2516

即（%+%）（%-%）=16

（玉+工2）（再一工2）25,

由點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn),

12

得zn玉+工2=萬(wàn)，M+%=1

乂一%_16165_4

則/的斜率左---------------------------X----------------——------X-

一x225必+為254一5

1_41

所以/的方程為yx——

54

即4x+5y-2=0.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用點(diǎn)差法是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，直三棱柱力8C-44G，AB}1BC.

（1）證明：BC1AB；

(2)設(shè)。為4c的中點(diǎn)，AA、=AB=BC=2,求二面角/-8D-C的余弦值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵-;

【分析】(1)根據(jù)與證明8cl平面442名.

(2)以8為原點(diǎn)，3￡：87；38：分別為xj,z非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)是，用空間向量法解決.

【詳解】(1)直三棱柱Z8C-/SG，

.?.8瑪，平面48。，并且8Cu平面月8C

BC1BB、,

又8C_L月與，且AB】cBBi=5,,u平面A,ABB.

8cl,平面4/881,

又4Bu平面44BB],

BCLAB.

(2)BC,BA,84兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則人0,2,0),

所以4c的中點(diǎn)1,1),則=(0,2,0),SC=(2,0,0),

八/、m-BD=x+y4-z=0八/、

設(shè)平面48。的一個(gè)法向量機(jī)=(x,y,z),則＜1x,可取胴=(1,0,-1),

m-BA=2y=0

x一?八

八/、n-B