2023-2024學(xué)年遼寧省高一上冊期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合厶={-1,0,1,2},B={1,2,3},則Au8=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【正確答案】D

【分析】根據(jù)集合的并集運算即可得出答案.

【詳解】因為A={-1,0,1,2},B={1,2,3},

所以AuB={-l,0,l,2,3},

故選：D.

2.如圖，在等腰梯形A8C。中，AD//BC,A￡>=2,AB=BC=CD=1,E為4。的中點.則下

列式子不正確的是()

A.AB+AE=ACB.|?E|=|EC|C.AB-CD=EDD.ED+CB=0

【正確答案】C

【分析】先分析清楚圖像內(nèi)部的幾何關(guān)系，再根據(jù)向量加法規(guī)則逐項分析.

【詳解】由題意|AE]=|￡?|=|3C|=1,A￡7/8C,￡Z)//3C,.”￡'=￡?=3C,

并且四邊形A8CE和四邊形都是平行四邊形，即8￡=?！?gt;,48=￡。，

對于A,AB+AE=AC，正確；

對于B,國=|西=1,図=網(wǎng)=1,正確；

對于C,ED=AE=AB+BE^AB+CD^AB-CD，錯誤；

對于D,ED=BC=-CB,ED+CB=0,正確；

故選：C.

o_o

3.“|%-1陣2”是“r三二的()

x+1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】化簡不等式，得到兩個不等式的解，根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由|x—1|<2,解得一14x43,由3解得—1VX43,

顯然-1<xK3=-l4x<3,但是一1Kx43推不出—1<x<3,

所以W2”是1”的必要不充分條件.

故選：B.

4.下列函數(shù)是增函數(shù)且在(0,5)上有零點的是()

A./(x)=x+4B./(力=4-兇C./(x)=lnx-3D./(x)=3v-8

【正確答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點存在性定理逐個選項判斷即可.

【詳解】對于A,/(x)=x+4是增函數(shù)，令/(x)=x+4=0,

貝!Jx=-4<0,故A錯誤；

對于B,/(力=4一國在(0,+oo)上是減函數(shù),故B錯誤；

對于C令〃x)=lnx-3=0,則x=e3>5,故C錯誤;

對于D,/(力=3*-8是増函數(shù)，令〃x)=3，-8=0,

則x=log38e(l,2),故D正確；

故選：D.

5.已知”二腿22,人=1嘔6,c=2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

33

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

【正確答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

a=log2<log=0

【詳解】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：2P,/?=log56>log55=l,又

c=*G（0,1）,所以b>c>a.

故選.C

6.如圖，這是甲、乙兩位同學(xué)在4次數(shù)學(xué)測試中得分的莖葉圖，若從甲、乙兩位同學(xué)的4

次得分中各抽選1次得分，則甲同學(xué)抽選的得分高于乙同學(xué)抽選的得分的概率為（）

甲乙

98879

10908

39

A.BD.

8-焉

【正確答案】B

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.

【詳解】從甲、乙兩位同學(xué)的4次得分中各抽選1次得分,

則共有16種情況，其中甲的得分高于乙的得分的情況有7種,

故所求的概率為一7.

16

故選：B.

7.下圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的我國最近10年的人口出生率（單位：%）,根據(jù)下圖，則（）

A.這10年的人口出生率逐年下降

B.這10年的人口出生率超過12%。的年數(shù)所占比例等于45%

C.這10年的人口出生率的80%分位數(shù)為13.57%

D.這10年的人口出生率的平均數(shù)小于12%。

【正確答案】D

【分析】由走勢圖對選項一一驗證即可.

【詳解】對于A：這10年的人口出生率有升有降，故A錯誤；

對于B：這10年的人口出生率超過12%。的年數(shù)所占比例等于50%,故B錯誤；

對于C：由于10x0.8=8,則這10年的人口出生率的80%分位數(shù)為從小到大第8個和第9

個數(shù)的平均數(shù)1367；3-83=]370,故c錯誤;

對于D：這10年的人口出生率的平均數(shù)為

木(14.57+13.03+13.83+11.99+13.57+12.64+10.86+10.41+8.52+7.52)=11.694小于

12%o,故D正確;

故選：D.

8."碳達峰''是指二氧化碳的排放不再增長，達到峰值之后開始下降，而"碳中和''是指企業(yè)、

團體或個人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化

碳“零排放某地區(qū)二氧化碳的排放量達到峰值“（億噸）后開始下降，其二氧化碳的排放

量S（億噸）與時間f（年）滿足函數(shù)關(guān)系式S=M'，若經(jīng)過4年，該地區(qū)二氧化碳的排放

量為當(dāng)（億噸）.已知該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放

量為三（億噸），則該地區(qū)要實現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：

lg2ao.30,lg3yo.48）

A.13年B.14年C.15年D.16年

【正確答案】D

【分析】由條件列式劭4=當(dāng)先確定參數(shù)，再結(jié)合對數(shù)運算解方程.

43

【詳解】由題意，S=a/=當(dāng)，即所以b邛,

44v4

令即故=；,即=

JJ丿。Vrj

141g3

可得力（Ig3-2lg2）=—Ig3,即……"16.

421g2-lg3

故選：D

二、多選題

9.已知e是直線/上的一個單位向量，a與匕都是直線/上的向量，且a=2e，b=-3e,則

()

A.人的坐標(biāo)為—3B.|ft|=3

C.2a+3〃的坐標(biāo)為5D.\2a+3b\=5

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)題意得到忖=|2e|=2,W="e|=3,a,6的夾角為180,再依次判斷選項即可.

【詳解】對選項A,因為人=-3e，所以6的坐標(biāo)為-3,故A正確；

對選項B,慟=卜3書3,故B正確.

對選項C,因為a=2e，b=-3e?所以2〃+3b的坐標(biāo)為-5,故C錯誤；

對選項D,因為卜卜慟=2,卜卜卜3［=3,〃力的夾角為180,

所以（2a+30=4了+9片+12a）=4x22+9x9+12x2x3x（-l）=25,

所以|2a+3bl=5,故D正確.

故選：ABD

10.為了解某班學(xué)生每周課外活動的時間，甲同學(xué)調(diào)查了10名男生，其平均數(shù)為9,方差

為11;乙同學(xué)調(diào)查了10名女生，其平均數(shù)為7,方差為8.若將甲、乙兩名同學(xué)調(diào)查的學(xué)

生合在一起組成一個容量為20的樣本，則該樣本數(shù)據(jù)的（）

A.平均數(shù)為8.5B.平均數(shù)為8C.方差為10.5D.方差為10

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計算求解即可.

10x9+10x7

【詳解】由題意，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)本=8,

方差$2=芻口1+（9-8円+第［8+（7-8円=10.5.

故選：BC

11.設(shè)函數(shù)〃x）=ln（W-a）,則下列說法正確的是（）

A.“X）是偶函數(shù)

B.當(dāng)a=l時，〃X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,0）

C.若的定義域為R,則〃的取值范圍為（-8,01

D.若/（x）的值域為R,則a的取值范圍為［0,+oo）

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域和定義域進行逐項的判斷即可求解.

【詳解】對于A選項，因為當(dāng)時，函數(shù)定義域為(—,-a)(",七?),當(dāng)。=0時，函數(shù)

定義域為(e，O)L(O，E);

當(dāng)。<0時，函數(shù)的定義域為R,函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，且/(-x)=/(x),所以〃x)是

偶函數(shù)，故A正確；

對于B選項，當(dāng)a=l時，令兇-1>0,解得x<-l或x>l,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(x)的

單調(diào)遞減區(qū)間為(9，-1),故B錯誤；

對于C選項，若"X)的定義域為R,則恒成立，故"0,則”的取值范圍為(-8,0),

故C錯誤；

對于D選項，若〃x)的值域為R,則-。40,故aNO,則a的取值范圍為［0,轉(zhuǎn))，故D正

確.

故選.AD

12.已知函數(shù)“X),g(x)的定義域均為R,g(x)為偶函數(shù),且〃x)+g(x+l)=l,

/(x+l)-g(x)=3,貝ij()

A.g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱B./(x)的圖象關(guān)于點(0,2)對稱

C./(x)是以3為周期的周期函數(shù)D.g(x)是以4為周期的周期函數(shù)

【正確答案】ABD

［分析］根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性逐項進行求解即可.

【詳解】由/(x)+g(x+l)=l,可得/(x+1)+g(x+2)=l,

又f(x+l)-g(x)=3,所以g(x+2)+g(x)=-2,則g(x+4)+g(x+2)=-2,

所以g(x+4)=g(x),所以g(x)周期為4,故D正確；

同理可得〃x+4)=/(x),所以f(x)周期為4,故C錯誤;.

因為g(x)為偶函數(shù)，所以g(r)=g(x)=g(x+4),

所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故A正確；

因為/(x)+g(x+l)=l,可得g(x)=l—/(x—l),

又/(x+l)-g(x)=3,所以g(-x)=/(l-x)-3,

由g(T)=g(x),可得=HP/(1-X)+/(X-1)=4,

所以/(X)的圖象關(guān)于點(0,2)對稱，故B正確；

故選：ABD.

三、填空題

13.已知。=(，",-2),6=(3,1),若a〃b，則同=.

【正確答案】2M

【分析】首先根據(jù)“〃6得到加=-6,再計算同即可.

【詳解】由a〃￡＞，得〃7+6=0,則機=-6,故|a|=J36+4=.

故2函

四、雙空題

14.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生生活方面的日支出情況，抽出了一個容量為”的樣本，將數(shù)據(jù)按

120,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成5組，制定成如圖所示的頻率分布直方圖,

貝,要從日支出在[50,70]的樣本中用分層抽樣的方法抽取10人，則日支出在

[60,70]中被抽取的人數(shù)為.

【正確答案】0.0052

【分析】根據(jù)頻率之和為1列岀方程，求出。=0.005,得到［50,60）內(nèi)和［60,70］內(nèi)的樣本比

例，從而得到在［60,70］中被抽取的人數(shù).

【詳解】（2xa+0.02+0.025+0.045）xl0=l,解得4=0.005.

因為［50,60）內(nèi)和［60,70］內(nèi)的樣本個數(shù)比例為0.020:0.005=4:1,

根據(jù)分層抽樣可知，日支出在［60,70］中被抽取的人數(shù)為10x$=2.

故0.005,2

五、填空題

15.設(shè)。，feeR,若9a2+廿+3ab=6,則3〃+b的最大值為.

【正確答案】2竝

【分析】利用條件變形和問題建立起聯(lián)系：（3a+b）2=3ab+6,再利用基本不等式求出油的

范圍即可求解.

詳解】9a2+b2+3ab=6=（3a+/>）'-3ab,

即（3a+匕）-=3ab+6,

因為9/+廿+3ab=6>2\l9a2-b2+3ab-

2

可得姉當(dāng)且僅當(dāng)3a=6時，等號成立，

所以（3a+b）2=3"+648,

即34+b的最大值為2無.

故答案為.2及

16.已知/1BC內(nèi)一點P滿足AP=/M8+，AC,若PCB的面積與：ABC的面積之比為1:3,

4

則4的值為.

【正確答案】總

【分析】過點P作尸“//AC,PN//AB,根據(jù)向量運算和平面向量基本定理可得AM=/lAB,

4V=.作PG丄AC于點G,8H丄AC于點”.根據(jù)三角形面積公式結(jié)合三角形相似判

4

斷可得以.=朮厶.，SAW=；SMC，列方程求人的值.

【詳解】如圖，過點P作PM//AC,PN//AB,則AP=AM+AN,

y.AP=AAB+-AC,

4

由平面向量基本定理可得AM=2A5,4V=JAC.

4

作PG丄AC于點G,BH丄AC于點H.

又因為△PNGs^BAH,所以空■二空二彳，

BHAB

因為S"AC="S△ABC?同理5厶姉8二1^ABC?

因為PCB的面積與一ABC的面積之比為1:3,

所以義+:十;=1,

43

解得2=卷.

故答案為

12

六、解答題

17.已知命題P：*eR,x2+mx+w＜0＞集合A是命題。為假命題時實數(shù)加的取值集合,

函數(shù)/@)=E(》+4)+71=的定義域為集合乩

\la-x

(1)求集合A;

(2)已知。＞0,若“xeA”是“xeB”的充分不必要條件，求”的取值范圍.

【正確答案】(1)A=[(),4]

(2)(4,田)

【分析】(1)分析可知，命題P的否定為真命題，由△?()可求得集合A;

(2)求出集合8,分析可知AB,可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式組，即可解得實數(shù)。的取值

范圍.

【詳解】(1)解：命題。的否定為祗eR,x2+mx+m>0,

命題。的否定為真命題等價于△=病-4%40,解得04機44,所以A=[(),4].

x-\-a>0/、

解得-a<x<a,則8=(—a,a),

{a-x>\)

因為“xeA”是“xe夕'的充分不必要條件，則AB,

f—6Z<0

所以，,,解得。>4,

[a>4

當(dāng)”=4時，8=(-4,4),此時AB.

因此，實數(shù)。的取值范圍是(4,止).

18.已知幕函數(shù)〃x)=(>-3)，"在(O,+a))上單調(diào)遞減.

⑴求“X)的解析式；

⑵若Vx?l,2],/(X)<^-Z￡,求〃的取值范圍.

X

【正確答案】⑴/(司=/

⑵y,i]

【分析】(1)根據(jù)哥函數(shù)的定義和單調(diào)性列式求解即可；

(2)根據(jù)題意分離變量得到a<2'-丄在口.“恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

X

加2_Q_1

【詳解】(1)因為黒函數(shù)〃X)=(病-3)?”在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以機<0一，

解得“=-2,所以“X)的解析式為〃x)=x-2.

(2)由/(幻4竺心，可得丄42，-a,則。42，一丄，

XXX

因為y=2，,y=-丄在[1,2]上單調(diào)遞增，

X

所以y=2，-丄在［1,2］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=l時，取得最小值1.

X

所以a的取值范圍為(9」］.

19.已知/(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時，/(x)=logJx+4)+〃z.

⑴求機的值并求出/(同在(-^,0)上的解析式；

(2)若求。的取值范圍.

【正確答案】⑴帆=2,/(x)=-logi(-x+4)-2

2

⑵(YO,f

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)為R上的奇函數(shù)得到/(O)=O,求出機的值，并利用函數(shù)的奇偶性

求出解析式；

(2)得到函數(shù)的單調(diào)性及〃T)=-l°gl8-2=l,從而解不等式，求出答案.

2

【詳解】(D由題可知/(o)=—2+機=0,即〃7=2,經(jīng)檢驗符合題意，

令x<0,則-x>0,/(T)=bgi(-x+4)+2,

2

又f(x)為奇函數(shù)，所以〃—x)=-〃x),

所以―/(x)=logi(—x+4)+2,故〃x)=-1og|(—x+4)—2,

22

故〃x)在(-8,0)上的解析式為"x)=Togi(-x+4)-2

2

(2)由函數(shù)性質(zhì)可知/(x)在［0,Ko)上單調(diào)遞減，則f(x)在R上單調(diào)遞減.

又因為“Yb-bg邙-Zf,所以即/(a)>/(T),

2

所以當(dāng)av-4時，/(?)>1,即a的取值范圍為(—,-4).

20.某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有四關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活

動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過率為0.7,

第二關(guān)、第三關(guān)的通過率均為0.5,第四關(guān)的通過率為0.2,四關(guān)全部通過可以獲得一等獎(獎

金為500元)，通過前三關(guān)就可以獲得二等獎(獎金為200元)，如果獲得二等獎又獲得一等

獎，獎金可以累加.假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動.

（1）求甲未獲得獎金的概率；

（2）求甲和乙最后所得獎金之和為900元的概率.

【正確答案】（1）0.825

（2）0.0098

【分析】（1）根據(jù)概率乘法公式分別求出獲得一二等獎概率，再利用對立事件即可求出甲未

獲獎金的概率；

（2）根據(jù)最后獎金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，根據(jù)概率乘法

和加法公式即可求解.

【詳解】（1）獲得二等獎的概率為0.7x0.5x0.5x0.8=054,

獲得一等獎的概率為0.7*0.5*0.5*0.2=0.035,

所以甲未獲得獎金的概率為1-0.14—0.035=0.825.

（2）由（1）可知，獲得二等獎的概率為0.14,獲得一等獎的概率為0.035.

甲和乙最后所得獎金之和為900元，則甲和乙中一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，

則所求的概率為0.035x0.14+0.14x0.035=0.0098.

21.已知〃?>0,〃>0,如圖，在A8C中，點M,N滿足AN=nAC.。是線

段BC上一點，=點E為4。的中點，且M,N,E三點共線.

（D若點。滿足2Ao=OB+OC,證明：OEHBC.

⑵求m+2〃的最小值.

【正確答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算法則，利用AbAC依次表示再結(jié)合

向量共線定理證明OE//CB即可;

(2)由(1)AE=^-AM+^-AN,結(jié)合結(jié)論可得J+二=1,再利用基本不等式求帆+2”的

3m67?3m6〃

最小值.

11Q1

【詳解】(1)由題可知AD=A8+8O=A8+-8C=46+-(AC—A8)=-A6+-AC,

一33、丿33

因為點E為4。的中點，所以AE=2A8+!AC.

36

由2Ao=OB+OC,貝12Ao=OA+A8+OA+AC，即AO=；(A8+AC),

OE=AE-AO=\-AB+-AC\--(AB+AC}=—AB-—AC,

(36丿4、>1212

又CB=AB-AC

所以O(shè)E〃圓，又旦C,B三點不共線，

所以O(shè)E//BC.

(2)因為M,N,E三點共線，

所以可設(shè)ME=2MN，5(.AM=mAB.AN=nAC，

所以AE=(1—義)AM+，A7V=(1—2)AC

11

y.AE=-AB+-AC,

36

所以(1一;l)m=g,X〃=熹,

所以J-+；=l，

3mon

bi、i。zc、，11A112H/7i2_(2n―nt4

所以機+2〃=(/%+2〃