第四章曲線運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力與宇宙航行第4節(jié)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律目錄CONTENT立足“四層”·夯基礎(chǔ)著眼“四翼”·探考點(diǎn)聚焦“素養(yǎng)”·引思維020301鎖定“目標(biāo)”·提素能04Part01立足“四層”·夯基礎(chǔ)?一、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律1.第一定律：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是

橢圓

?，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。2.第二定律：對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。橢圓

3.第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的

三次方

?跟它的公轉(zhuǎn)周期的

二次方

?的比值都相等。三次方

二次方

二、萬(wàn)有引力定律1.內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的

乘積

?成正比，與它們之間距離r的

二次方

?成反比。

3.適用條件（1）公式適用于

質(zhì)點(diǎn)

?間的相互作用。當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。（2）質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球

球心

?間的距離。乘積

二次方

質(zhì)點(diǎn)

球心

4.萬(wàn)有引力的“三個(gè)特性”（1）普遍性：任何有質(zhì)量的物體間都存在萬(wàn)有引力。（2）相互性：兩物體間的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力與反作用力。（3）宏觀性：只有質(zhì)量巨大的天體間或天體與其附近物體間的萬(wàn)有引力才有實(shí)際的物理意義。?

一顆衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動(dòng)，A、B是衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)。（1）根據(jù)開(kāi)普勒第一定律，衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓，地球處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

（

√

）（2）根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，衛(wèi)星在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度比在A點(diǎn)小。

（

×

）（3）衛(wèi)星由A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，所受萬(wàn)有引力逐漸增大。

（

√

）（4）衛(wèi)星在A點(diǎn)沿衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向發(fā)射的激光速度大于c。

（

×

）（5）衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其質(zhì)量比靜止于地球表面時(shí)大。

（

√

）√×√×√Part02著眼“四翼”·探考點(diǎn)?考點(diǎn)一

開(kāi)普勒定律的理解與應(yīng)用

[素養(yǎng)自修型]1.[對(duì)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解]對(duì)于開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解，下列說(shuō)法正確的是（

）A.開(kāi)普勒通過(guò)自己長(zhǎng)期觀測(cè)，記錄了大量數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律B.根據(jù)開(kāi)普勒第一定律，行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓，太陽(yáng)處于圓心位置C.根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，行星距離太陽(yáng)越近，其運(yùn)動(dòng)速度越大；距離太陽(yáng)越遠(yuǎn)，其運(yùn)動(dòng)速度越小D.根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比解析：C

第谷進(jìn)行了長(zhǎng)期觀測(cè)，記錄了大量數(shù)據(jù)，開(kāi)普勒通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓，太陽(yáng)處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，行星距離太陽(yáng)越近，其運(yùn)動(dòng)速度越大，距離太陽(yáng)越遠(yuǎn)，其運(yùn)動(dòng)速度越小，選項(xiàng)C正確；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。2.[開(kāi)普勒第二定律的應(yīng)用]如圖所示，一顆衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期為T，圖中虛線為衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，A、B、C、D是軌道上的四個(gè)位置，其中A距離地球最近，C距離地球最遠(yuǎn)。B和D點(diǎn)是弧線ABC和ADC的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A.衛(wèi)星在C點(diǎn)的速度最大B.衛(wèi)星在C點(diǎn)的加速度最大

3.[開(kāi)普勒第三定律的應(yīng)用]太陽(yáng)系中有一顆繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的行星，距太陽(yáng)的平均距離是地球到太陽(yáng)平均距離的4倍，則該行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期是（

）A.10年B.2年C.4年D.8年

?1.開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。

3.運(yùn)用開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律分析求解橢圓軌道運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，判斷行星運(yùn)動(dòng)速度的變化，可結(jié)合功能關(guān)系進(jìn)行分析。行星（或運(yùn)動(dòng)天體）處在離太陽(yáng)（或所環(huán)繞的天體）越遠(yuǎn)的位置，速度越?。惶幵陔x太陽(yáng)（或所環(huán)繞的天體）越近的位置，速度越大。

【典例1】

1789年英國(guó)物理學(xué)家卡文迪什測(cè)出引力常量G，因此卡文迪什被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。若已知引力常量為G，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間為T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時(shí)間為T2（地球公轉(zhuǎn)周期），地球中心到月球中心的距離為L(zhǎng)1，地球中心到太陽(yáng)中心的距離為L(zhǎng)2。下列說(shuō)法正確的是（

）D.由題中數(shù)據(jù)可求月球的密度

答案

B?（1）由題中數(shù)據(jù)可以求出地球的平均密度嗎？

（2）由題中數(shù)據(jù)可以求出太陽(yáng)的平均密度嗎？

答案

見(jiàn)解析

?1.[重力加速度法計(jì)算天體密度]

C.4D.6

2.[天體環(huán)繞法計(jì)算天體的質(zhì)量]1970年4月24日，我國(guó)的第一顆人造地球衛(wèi)星發(fā)射成功，自2016年起，將每年的4月24日設(shè)為“中國(guó)航天日”?，F(xiàn)測(cè)得一顆人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，速度為v，引力常量為G，由此可推知地球的質(zhì)量為（

）

考點(diǎn)三

天體表面的重力加速度問(wèn)題

[多維探究類]1.萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。

考法一

距天體表面高為h處的重力加速度問(wèn)題【典例2】

太空電梯是人類構(gòu)想的一種通往太空的設(shè)備，與普通電梯類似，不同的是，它的作用并不是讓乘客往返于樓層之間，而是將人和物體送入空間站。假設(shè)太空電梯豎直向上勻速運(yùn)動(dòng)，它從地面上帶了重25N的植物種子，當(dāng)太空電梯上升到某高度時(shí)發(fā)現(xiàn)種子的重力“變成”了16N。已知地球的半徑為R，不考慮地球的自轉(zhuǎn)，則此時(shí)太空電梯距地面的高度約為（

）A.R

答案

B考法二

天體內(nèi)部某深度處的重力加速度問(wèn)題【典例3】

假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（

）

答案

A考法三

地球赤道與兩極的重力加速度問(wèn)題【典例4】

假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。地球的密度為（

）

答案

B考點(diǎn)四

相對(duì)論

[素養(yǎng)自修類]1.[相對(duì)論時(shí)空觀的理解]下列說(shuō)法不正確的是（

）A.牛頓力學(xué)時(shí)空觀認(rèn)為空間和時(shí)間是獨(dú)立于物體及其運(yùn)動(dòng)而存在的B.相對(duì)論時(shí)空觀認(rèn)為物體的長(zhǎng)度和質(zhì)量會(huì)隨著物體的速度不同而不同C.牛頓力學(xué)只適用于宏觀物體、低速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，不適用于高速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題D.當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，相對(duì)論和牛頓力學(xué)的結(jié)論仍有很大的區(qū)別解析：D

牛頓力學(xué)時(shí)空觀認(rèn)為時(shí)間和空間是獨(dú)立于物體及其運(yùn)動(dòng)而存在的，而相對(duì)論時(shí)空觀認(rèn)為時(shí)間和空間與物體及其運(yùn)動(dòng)有關(guān)系，故A正確；相對(duì)論時(shí)空觀認(rèn)為物體的長(zhǎng)度和質(zhì)量會(huì)隨著物體的速度不同而不同，故B正確；牛頓力學(xué)只適用于宏觀物體、低速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，不適用于高速運(yùn)動(dòng)（相對(duì)于光速）問(wèn)題，故C正確；當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，相對(duì)論和牛頓力學(xué)的結(jié)論相差不大，所以牛頓力學(xué)是適用的，故D錯(cuò)誤。2.[時(shí)間延緩效應(yīng)]接近光速飛行的飛船和地球上各有一只相同的銫原子鐘，飛船和地球上的人觀測(cè)這兩只鐘的快慢，下列說(shuō)法正確的有（

）A.飛船上的人觀測(cè)到飛船上的鐘一樣快B.飛船上的人觀測(cè)到飛船上的鐘較慢C.地球上的人觀測(cè)到地球上的鐘較快D.地球上的人觀測(cè)到地球上的鐘較慢解析：C

相對(duì)論告訴我們，運(yùn)動(dòng)的鐘會(huì)變慢，由于飛船上的人相對(duì)飛船上的鐘是靜止的，而觀測(cè)到地球上的鐘是高速運(yùn)動(dòng)的，因此飛船上的人觀測(cè)到飛船上的鐘相對(duì)于地球上的鐘快，A、B錯(cuò)誤；同樣，地球上的人觀測(cè)到飛船上的鐘是高速運(yùn)動(dòng)的，因此地球上的人觀測(cè)到地球上的鐘比飛船上的鐘快，C正確，D錯(cuò)誤。3.[長(zhǎng)度收縮效應(yīng)]一艘太空飛船靜止時(shí)的長(zhǎng)度為30m，它以0.6c（c為光速）的速度沿長(zhǎng)度方向飛行越過(guò)地球，下列說(shuō)法正確的是（

）A.飛船上的觀測(cè)者測(cè)得該飛船的長(zhǎng)度小于30mB.地球上的觀測(cè)者測(cè)得該飛船的長(zhǎng)度小于30mC.飛船上的觀測(cè)者測(cè)得地球上發(fā)來(lái)的光信號(hào)速度小于cD.地球上的觀測(cè)者測(cè)得飛船上發(fā)來(lái)的光信號(hào)速度小于c

?一、兩種時(shí)空觀1.經(jīng)典時(shí)空觀空間、時(shí)間是獨(dú)立于物體及其運(yùn)動(dòng)而存在的。2.相對(duì)論時(shí)空觀物體占有的空間以及物理過(guò)程、化學(xué)過(guò)程，甚至還有生命過(guò)程的持續(xù)時(shí)間，都與它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)。二、狹義相對(duì)論的三個(gè)有用的結(jié)論1.運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘變慢了。2.運(yùn)動(dòng)的尺子長(zhǎng)度縮短了。3.運(yùn)動(dòng)的物體質(zhì)量增大了。以上三個(gè)結(jié)論均為相對(duì)觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的現(xiàn)象。Part03聚焦“素養(yǎng)”·引思維?“融會(huì)貫通”歸納好─“填補(bǔ)法”求解萬(wàn)有引力

運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題的關(guān)鍵是緊扣萬(wàn)有引力定律的適用條件，先填補(bǔ)后運(yùn)算，運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題主要體現(xiàn)了等效思想?！镜淅?/p>

如圖所示，O1是一個(gè)半徑為2R，質(zhì)量為M的密度均勻球體的球心，現(xiàn)在其內(nèi)以O(shè)2為球心挖去一個(gè)半徑為R的球，并在O2處放置一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。若已知質(zhì)量分布均勻的薄球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，則O1球剩余部分對(duì)O2處質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為（

）

答案

A｜反思領(lǐng)悟｜（1）萬(wàn)有引力定律只適用于求質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力。（2）在質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球中挖去小球后其質(zhì)量分布不再均勻，不可再視為質(zhì)點(diǎn)處理。?

Part04鎖定“目標(biāo)”·提素能?1.（2022·全國(guó)乙卷）2022年3月，中國(guó)航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號(hào)”空間站上通過(guò)天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過(guò)直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號(hào)”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們

（

）A.所受地球引力的大小近似為零B.所受地球引力與飛船對(duì)其作用力兩者的合力近似為零C.所受地球引力的大小與其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小解析：C

航天員在“天宮二號(hào)”空間站中可以自由漂浮，是由于航天員在“天宮二號(hào)”空間站中處于完全失重狀態(tài)，飛船對(duì)航天員的作用力近似為零，所受地球引力大小不為零，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；航天員所受地球引力提供航天員隨空間站運(yùn)動(dòng)的向心力，即航天員所受地球引力的大小與航天員隨空間站運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小近似相等，選項(xiàng)C正確；由萬(wàn)有引力定律可知，航天員在地球表面所受地球引力的大小大于航天員在空間站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天員隨空間站運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。2.（2023·江蘇省昆山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來(lái)自火星。某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料（如圖所示）計(jì)算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的公式錯(cuò)誤的是（引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響）（

）火星－Mars火星的小檔案直徑d＝6794km質(zhì)量M＝6.4219×1023kg表面重力加速度g0＝3.7m/s2近地衛(wèi)星周期T＝3.4h

3.2021年2月，執(zhí)行我國(guó)火星探測(cè)任務(wù)的“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問(wèn)一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為（

）A.6×105mB.6×106mC.6×107mD.6×108m

4.2021年5月，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器成功在火星軟著陸，我國(guó)成為世界上第一個(gè)首次探測(cè)火星就實(shí)現(xiàn)“繞、落、巡”三項(xiàng)任務(wù)的國(guó)家?！疤靻?wèn)一號(hào)”在火星停泊軌道運(yùn)行時(shí)，近火點(diǎn)距離火星表面2.8×102km、遠(yuǎn)火點(diǎn)距離火星表面5.9×105km，則“天問(wèn)一號(hào)”（

）A.在近火點(diǎn)的加速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小B.在近火點(diǎn)的運(yùn)行速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小C.在近火點(diǎn)的機(jī)械能比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小D.在近火點(diǎn)通過(guò)減速可實(shí)現(xiàn)繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)

5.科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1000AU（太陽(yáng)到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為（

）A.4×104MB.4×106MC.4×108MD.4×1010M

6.木星自轉(zhuǎn)周期約10個(gè)小時(shí)，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的318倍，木星的半徑約為地球半徑的11.2倍。下列說(shuō)法正確的是（

）A.木星上的“一天”比地球長(zhǎng)B.木星上的“一年”比地球長(zhǎng)C.木星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度D.地球、木星分別與太陽(yáng)中心連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等

7.2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行，若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是（

）A.核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B.核心艙的質(zhì)量和繞地周期C.核心艙的繞地角速度和繞地周期D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑

?8.某同學(xué)認(rèn)為只要測(cè)出地球赤道位置處的重力加速度g，就可以利用一些常見(jiàn)的數(shù)據(jù)計(jì)算出地球的半徑和質(zhì)量。已知常見(jiàn)數(shù)據(jù)為萬(wàn)有引力常量G，地球的自轉(zhuǎn)周期T，地球兩極處的重力加速度g0。若視地球?yàn)橘|(zhì)量分布均勻的球體，赤道處的重力加速度g已經(jīng)測(cè)出，則下列說(shuō)法中正確的是（

）

9.已知均勻球殼對(duì)其內(nèi)部任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零。若將地球看作質(zhì)量分布均勻的球體（半徑為R），且不計(jì)地球的自轉(zhuǎn)。關(guān)于地球表面處的重力加速度g1，地球表面下方深0.5R處的重力加速度g2，地球表面上方高0.5R處的重力加速度為g3，下列說(shuō)法正確的是（

）A.g1＜g