專題三最值問題一、填空題1．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知的半徑是4，點A，B在上，且，動點C在上運(yùn)動（不與A，B重合），點D為線段的中點，連接，則線段長度的最值是_____．【答案】【分析】取中點E得是的中位線，知，即點D是在以E為圓心，2為半徑的圓上，從而知求的最大值就是求點A與上的點的距離的最大值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：如圖1，連接，取的中點E，連接．則，又∵點D為線段的中點，在中，是的中位線，∴，∴，即點D是在以E為圓心，2為半徑的圓上，∴求的最大值就是求點A與上的點的距離的最大值，如圖2，當(dāng)D在線段延長線上時，取最大值，∵，，，∴，，∴取最大值為，故答案為：．二、解答題2．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，動點P從點A出發(fā)沿邊向點B以的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)，沿邊BC向點C以的速度移動，當(dāng)P運(yùn)動到B點時P、Q兩點同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．(1)______；______（用含t的代數(shù)式表示）(2)D是的中點，連接，t為何值時，有最值？的面積最值為多少？【答案】(1)；(2)t為3時，的面積有最小值，最小值為9【分析】（1）根據(jù)速度乘時間等于路程，列出代數(shù)式即可；（2）過點D分別作，分別交于點E，F(xiàn)，可得，四邊形是矩形，從而得到，再由的面積等于，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∵，∴；故答案為：；（2）解：∵D是的中點，∴，如圖，過點D分別作，分別交于點E，F(xiàn)，∴，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴，∵，∴，，，∴，∵，∴當(dāng)時，有最值為9答：t為3時，的面積有最小值，最小值為9．3．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學(xué)?？计谥校┮辉畏匠讨校呐袆e式通常用來判斷方程實根個數(shù)，在實際應(yīng)用當(dāng)中，我們亦可用來解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)，當(dāng)為何值時，取最小值，最小值是多少？解答：已知函數(shù)，，（把當(dāng)作參數(shù)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程），即，，（當(dāng)為何值時，存在相應(yīng)的與之對應(yīng)，即方程有根）因此的最小值為，此時，解得，符合題意，所以當(dāng)時，．應(yīng)用：(1)已知函數(shù)，當(dāng)__________時，的最大值是___________．(2)已知函數(shù)，當(dāng)為何值時，取最小值，最小值是多少？【答案】(1)，；(2)即x為-1時，y取最小值，最小值是.【分析】（1）仿照題目所給的解題方法解答即可.（2）先將轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式，其中y是參數(shù)，然后按照題目所給的方法解答即可.【詳解】（1）解：已知函數(shù)因此，y的最大值為，此時-解得，符合題意.∴當(dāng)時，故答案為：（2）已知函數(shù)得整理得因此y的最小值為，此時得得符合題意.∴當(dāng)，即x為-1時，y取最小值，最小值是4．（2022春·江蘇淮安·九年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=?2x?3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，D為拋物線頂點．(1)A點坐標(biāo)：；頂點D的坐標(biāo)：；(2)如圖1，拋物線的對稱軸上是否存在點T，使得線段TA繞點T順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點恰好也落在此拋物線上?若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，連接AD，交y軸于點E，P是拋物線上第四象限的一個動點，連接AP、BE交于點G，設(shè)則w有最大值還是最小值？w的最值是多少？(4)點Q是拋物線對稱軸上一動點，連接OQ、AQ，設(shè)外接圓圓心為H，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，變直接寫出點H的坐標(biāo)．【答案】(1)（-1，0），（1，-4）(2)點T的坐標(biāo)為(1，3)或(1，-2)；(3)w有最小值，最小值為；(4)（-，）或（-，-）【分析】（1）令y=0，解方程可求得A、B兩點的坐標(biāo)，利用配方法配成頂點式，即可求得頂點D的坐標(biāo)；（2）作出解圖的輔助線，利用AAS證明≌△TAV，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)已知條件設(shè)P（m，-2m-3），其中0＜m＜3，求得直線AP的解析式，直線BE的解析式，聯(lián)立即可求得點G的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求得，令z=-3+8m+3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得z的最大值，即可求得w的最小值；（4）作△AOQ的外心H，作HG⊥x軸，則AG=AO=，進(jìn)而可得H在AO的垂直平分線上運(yùn)動，根據(jù)題意當(dāng)sin∠OQA最大轉(zhuǎn)化為求當(dāng)AH取得最小值時，sin∠OQA最大，進(jìn)而根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短，即可求得AH=，運(yùn)用勾股定理求得HG，即可求得點H的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性求得另一個坐標(biāo)．（1）解：∵拋物線y=-2x-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，D為拋物線頂點．∴令x=0，得：y=-3，則C（0，-3），令y=0，得：-2x-3=0，解得：=-1，=3，則A（-1，0），B（3，0），∵y=-2x-3=（x-1）2-4，∴D（1，-4）；故答案為：（-1，0），（1，-4）；（2）解：由（1）知對稱軸為直線x=1，設(shè)對稱軸直線與x軸交于點V，過點作⊥TV于點U，如圖：∵=90°，，∴=90°，∠ATV+∠TAV=90°，∴∠TAV，∴≌△TAV(AAS)，∴=TV，TU=AV=2，設(shè)TV=a，則=a，點T的坐標(biāo)為(1，a)，∴點的坐標(biāo)為(1-a，a+2)，由題意得a+2=-2()-3，整理得-a-6=0，解得a=3或-2，∴點T的坐標(biāo)為(1，3)或(1，-2)；（3）解：∵點P在第四象限的拋物線上，AP、BE交于點G，如圖，設(shè)P（m，-2m-3），其中0＜m＜3，設(shè)直線AP的解析式為y=cx+d，∵A（-1，0），P（m，-2m-3），∴，解得：，∴直線AP的解析式為y=（m-3）x+m-3，設(shè)直線BE的解析式為y=ex+f，∵B（3，0），E（0，-2），∴，解得：，∴直線BE的解析式為y=x-2，聯(lián)立方程組，得：，解得：，∴，∵0＜m＜3，∴24-8m＞0，3m-11＜0，∴＜0，∴，令，∵-3＜0，∴當(dāng)m=時，z取得最大值，w取得最小值為=，∴w有最小值，最小值為；（4）解：如圖，作△AOQ的外心H，作HG⊥x軸，則AG=GO=，∵AH=HO，∴H在AO的垂直平分線上運(yùn)動，依題意，當(dāng)sin∠OQA最大時，即∠OQA最大時，∵H是△AOQ的外心，∴∠AHO=2∠AHG=2∠OQA，即當(dāng)sin∠AHG最大時，sin∠OQA最大，∵AG=AO=，∴sin∠OQA=sin∠AHG=，則當(dāng)AH取得最小值時，sin∠OQA最大，∵AH=HQ，即當(dāng)HQ⊥直線x=1時，AH取得最小值，此時HQ=1-（-）=，∴AH=，在Rt△AHG中，HG=，∴H（-，），根據(jù)對稱性，則存在H（-，-），綜上所述，H（-，）或H（-，-）．故答案為：（-，）或（-，-）．5．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習(xí)）若函數(shù)G在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)G是在上的“最值差函數(shù)”．(1)函數(shù)①；②；③．其中函數(shù)______是在上的“最值差函數(shù)”；（填序號）(2)已知函數(shù)．①當(dāng)時，函數(shù)G是在上的“最值差函數(shù)”，求t的值；②函數(shù)G是在（m為整數(shù)）上的“最值差函數(shù)”，且存在整數(shù)k，使得，求a的值．【答案】(1)②(2)①，；②【分析】（1）根據(jù)概念分別將①；②；③的最大值，最小值求出，再根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可得出答案；（2）①分別求出、、時的y值，再分、、、進(jìn)行討論，即可得出t的值；②由，可得出，即可知，此時x在拋物線的對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，即可得出的表達(dá)式，再根據(jù)k為整數(shù)，求出m的值，即可求出a的值．【詳解】（1）對于①，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，不符合題意；對于②，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，符合題意；對于③，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，不符合題意；故答案為：②（2）①解：當(dāng)時，二次函數(shù)為，對稱軸為直線．當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．若，則，∴解得（舍去）；若，則，∴解得（舍去），；若，則，∴解得，（舍去）；若，則，∴解得（舍去）．綜上所述，，．②∵，∴，∴，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大∴當(dāng)時取得最大值，時取得最小值，∴，∴m，k為整數(shù)，且，∴m的值為3，又∵，∴∴．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）高郵雙黃鴨蛋已入選全世界最值得品嘗百種味道，某專賣店根據(jù)以往銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：高郵雙黃鴨蛋每天銷售數(shù)量y（盒）與銷售單價x（元/盒）的關(guān)系滿足一次函數(shù)，每盒高郵雙黃鴨蛋各項成本合計為40元/盒．(1)若該專賣店某天獲利800元，求銷售單價x（元/盒）的值；(2)當(dāng)銷售單價x定為多少元/盒時，該專賣店每天獲利最大？最大利潤為多少？(3)若該專賣店決定每銷售一盒就捐出元給當(dāng)?shù)貙W(xué)校作為貧困學(xué)生的助學(xué)金，當(dāng)每天的銷售量不低于25盒時，為了確保該店每天扣除捐出后的利潤隨著銷售量的減小而增大，則m的取值范圍為______．【答案】(1)60或80(2)當(dāng)銷售單價x定70元/盒時，該專賣店每天獲利最大，最大利潤，900元(3)【分析】（1）利用利潤等于每天的銷售額減去總成本，列出方程，即可求解；（2）設(shè)該專賣店每天獲利元，根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）設(shè)該店每天扣除捐出后的利潤為元，每天銷售量為盒，則每盒的銷售單價為元/盒，每盒的利潤為元，根據(jù)題意列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：，解得：，答：若該專賣店某天獲利800元，銷售單價為60或80元/盒；(2)解：設(shè)該專賣店每天獲利元，根據(jù)題意得：，∴當(dāng)銷售單價x定70元/盒時，該專賣店每天獲利最大，最大利潤，900元；(3)解：設(shè)該店每天扣除捐出后的利潤為元，每天銷售量為盒，則每盒的銷售單價為元/盒，每盒的利潤為元，根據(jù)題意得：，∵，∴該圖象開口向下，對稱軸為：，根據(jù)題意得：當(dāng)時，隨的減小而增大，∴，解得：，∵，∴m的取值范圍為．7．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）我們曾經(jīng)研究過：如圖1，點P在⊙O外或點P在⊙O內(nèi)，直線PO分別交⊙O于點A、B，則線段PA是點P到⊙O上各點的距離中最短的線段，線段PB是點P到⊙O上各點的距離中最長的線段．【運(yùn)用】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點E是AC的中點．（1）如圖2，若F是BC邊上一動點，將△CEF沿EF所在的直線翻折得到△C′EF，連接C′B，則C′B的最小值是（2）如圖3，若取AB的中點D，連接DE，得等腰Rt△ADE，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，點P為射線BD，CE的交點，點Q是AE的中點．①BD與CE的位置關(guān)系是②連接PQ，求PQ的最大值和最小值．【拓展】（3）喜歡研究的小聰把上述第（2）問圖中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，而△ABC不動，記點P為射線BD，CE的交點（如圖4），他發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中線段PB的長度存在最值，請直接寫出PB的最小值【答案】（1）-1；（2）①CE⊥BD；②PQ的最大值為，PQ的最小值為；（3）-1．【分析】（1）連接BE，由△CEF沿EF所在的直線翻折得到△C′EF，可得C'的軌跡是E為圓心，1為半徑的半⊙E，在Rt△ABE中，BE=，即可得BC'最小為-1；（2）①證明△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA=∠ECA，而∠ECA+∠AGC=90°，即得∠DBA+∠BGP=90°，∠P=90°，可得CE⊥BD；②由∠DPE=90°，可得P的軌跡是以DE為直徑的圓，設(shè)T為DE中點，當(dāng)PQ最大時，線段PQ過T，而PT=DT=ET=DE=，TQ=AD=，即得PQ最大值為，當(dāng)PQ最小時，Q在線段PT上，可求PQ最小值為PT-TQ=；（3）由BP=BC?sin∠BCP，知當(dāng)∠BCP最小時，BP最小，此時AE⊥CP，在Rt△AEC中，EC=，證明△AEC≌△ADB（SAS），可得BD=EC=，∠ADB=∠AEC=90°，即知PD=AE=1，故BP最小值為-1．【詳解】解：（1）連接BE，如圖：∵△CEF沿EF所在的直線翻折得到△C′EF，∴EC=EC'=AC=1，∴C'的軌跡是E為圓心，1為半徑的半⊙E，∴C'在BE上時，BC'最小，此時BC'=BE-C'E，在Rt△ABE中，BE==，∴BC'=-1，故答案為：-1；（2）①如圖：∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=90°-∠BAE=∠EAC，而AB=AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠DBA=∠ECA，∵∠ECA+∠AGC=90°，∠AGC=∠BGP，∴∠DBA+∠BGP=90°，∴∠P=90°，∴CE⊥BD，故答案為：CE⊥BD；②由①知，CE⊥BD，即在△DEP中，∠DPE=90°，∴P的軌跡是以DE為直徑的圓，設(shè)T為DE中點，當(dāng)PQ最大時，線段PQ過T，如圖：∵△ADE是等腰直角三角形，AE=AD=1，∴DE===，∴PT=DT=ET=DE=，而QT是△ADE中位線，∴TQ=AD=，∴PQ=；當(dāng)PQ最小時，Q在線段PT上，如圖：此時PT=，TQ=，∴PQ最小值為PT-TQ=，故PQ的最大值為，PQ的最小值為；（2）如圖：由（2）可知，CE⊥BD，∴∠BPC=90°，∴BP=BC?sin∠BCP，而BC===2，∴BP=2sin∠BCP，當(dāng)∠BCP最小時，BP最小，而∠ACB=45°，∴當(dāng)∠ACE最大時，∠BCP最小，此時AE⊥CP，在Rt△AEC中，AE=1，AC=2，∴EC=，∵AE=AD，∠EAC=90°-∠BAE=∠DAB，AC=AB，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴BD=EC=，∠ADB=∠AEC=90°，∴四邊形ADPE是正方形，∴PD=AE=1，∴BP=BD-PD=-1，故答案為：-1．8．（2021秋·江蘇連云港·九年級連云港市新海實驗中學(xué)校考期中）【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時碰到這樣一道題：如圖1，圓O的半徑為2，OA＝4，動點B在圓O上，連接AB，作等邊三角形ABC（A、B、C為順時針順序），求OC的最大值．【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試和探索，終于得到解題思路：在圖1中，連接OB，以O(shè)B為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE，連接AE；（1）請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；（2）請直接寫出線段OC的最大值【遷移拓展】（3）如圖2，BC＝，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以BD為邊作等邊△ABD，請求出AC的最值，并說明理由．【答案】（1）OC=AE，證明見解析；（2）6；（3）AC的最大值為，最小值為【分析】（1）結(jié)論：OC=AE．只要證明△CBO≌△ABE即可；（2）當(dāng)E、O、A共線，AE有最大值，此時OC有最大值，據(jù)此求解即可；（3）當(dāng)點A在線段BD的左側(cè)時，以BC為邊作等邊三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，所以欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，當(dāng)點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大；當(dāng)點A在線段BD的左側(cè)時，同理可求AC的最小值．【詳解】解：【解決問題】（1）由題意，作圖如下：OC＝AE，理由如下：∵△ABC，△BOE都是等邊三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴即：∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．（2）在△AOE中，，∴當(dāng)E、O、A共線時，AE取得最大值，∵,∴AE的最大值為6，∴OC的最大值為6．（3）【遷移拓展】如圖2中，當(dāng)點A在線段BD的左側(cè)時,以BC為邊作等邊三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝DM，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝，為定值，∠BDC＝90°，∴點D在以BC為直徑的⊙O上運(yùn)動，所以當(dāng)點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大，此時，∴AC的最大值為當(dāng)點A在線段BD的右側(cè)時，同理可得AC的最小值為綜上所述AC的最大值為，最小值為．9．（2021秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）我們曾經(jīng)研究過：如圖1，點在外或點在內(nèi)，直線分別交于點、，則線段是點到上各點的距離中最短的線段，線段是點到上各點的距離中最長的線段．【運(yùn)用】在中，，，點是的中點．（1）如圖2，若是邊上一動點，將沿所在的直線翻折得到，連接，則的最小值是__________．（2）如圖3，若取的中點，連接，得等腰．將繞點旋轉(zhuǎn)，點為射線，的交點，點是的中點．①與的位置關(guān)系是__________．②連接，求的最大值和最小值．【拓展】（3）喜歡研究的小聰把上述第（2）問圖中的繞點旋轉(zhuǎn)，而不動，記點為射線，的交點（如圖4），他發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中線段的長度存在最值，請直接寫出的最小值__________．【答案】（1）；（2）①垂直；②PQ的最大值為，最小值為；（3）【分析】（1）如圖，連接BE，根據(jù)題意可得的軌跡是以E為圓心，1為半徑的圓，在中，由勾股定理得，即可求解；（2）①可先證明△DAB≌△EAC，可得∠DBA=∠ECA，又由∠ECA+∠AGC=90°，可得∠DBA+∠BGP=90°，即可求解；②由①知，CE⊥BD，可得P的軌跡是以DE為直徑的圓，設(shè)T為DE中點，然后根據(jù)當(dāng)PQ最大時，線段PQ過T；當(dāng)PQ最小時，Q在線段PT上，即可求解；（3）由【運(yùn)用】可知，CE⊥BD，可得，又由當(dāng)∠BCP最小時，BP最小，此時AE⊥CP，再證明△AEC≌△ADB，可得到四邊形ADPE是正方形，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接BE，∵將沿所在的直線翻折得到，點是的中點，∴，∴的軌跡是以E為圓心，1為半徑的圓，∴在BE上時，最小，此時，在中，由勾股定理得：，∴；（2）①如圖，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=90°-∠BAE=∠EAC，而AB=AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠DBA=∠ECA，∵∠ECA+∠AGC=90°，∠AGC=∠BGP，∴∠DBA+∠BGP=90°，∴∠P=90°，∴CE⊥BD；②由①知，CE⊥BD，即在△DEP中，∠DPE=90°，∴P的軌跡是以DE為直徑的圓，設(shè)T為DE中點，當(dāng)PQ最大時，線段PQ過T，如圖：∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵的中點，∴，∴，∴，∵點是的中點，∴TQ是△ADE的中位線，∴，∴PQ的最大值為；當(dāng)PQ最小時，Q在線段PT上，如圖此時，，，∴PQ的最小值為，綜上所述，PQ的最大值為，最小值為；（3）由【運(yùn)用】可知，CE⊥BD，∴∠BPC=90°，∴，∵，∴，當(dāng)∠BCP最小時，BP最小，∵，∴當(dāng)最大時，∠BCP最小，此時AE⊥CP，在中，AE=1，AC=2，∴，∵AE=AD，∠EAC=90°-∠BAE=∠DAB，AC=AB，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴BD=EC=，∠ADB=∠AEC=90°，∴四邊形ADPE是正方形，∴PD=AE=1，∴BP=BD-PD=-1．10．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上,老師展示了這樣一段內(nèi)容．問題求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小麗和小明想,二次多項式都能用類似的方法求出最值（最小值或最大值）嗎？（1）小麗寫出了一些二次三項式:①;

②;

③;④;

⑤;

⑥．經(jīng)探索可知,有最值的是__________（只填序號）,任選其中一個求出其最值;（2）小明寫出了如下3個二次多項式:①;②;③．請選擇其中一個,探索它是否有最值,并說明理由．說明:①②③的滿分分值分別為3分?4分?5分;若選多個作答,則以較低分計分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①無最值,見解析;②最小值為1,見解析;③最小值為,見解析【分析】（1）可以選擇①,運(yùn)用上面類似的方法——配方法,可得到:,再根據(jù)平方具有非負(fù)性可得到最小值,其它的也用類似的方法解答即可;（2）①進(jìn)行探究,配方后得到,無法確定最值,②進(jìn)行研究,配方后得到即可,③進(jìn)行研究,配方后得到即可,選擇一個作答即可．【詳解】（1）①②③⑥①

最小值為0②,∵,∴,即原式最小值5;③,∵,∴,∴,即原式有最大值為4;④,無法確定最值;⑤,無法確定最值;⑥,∵,∴,∴,即原式有最大值為;（2）①

無最值②

∵,∴,即原式有最小值為1③

,∵,,,∴,即原式有最小值為．11．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）閱讀如下材料，完成下列問題：材料一：對于二次三項式求最值問題，有如下示例：．因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為2．材料二：對于實數(shù)a，b，若，則．完成問題：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若實數(shù)m，n滿足．求的最大值．【答案】（1）-5；（2）（3）【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；（2）把原式化成，求最小值即可；（3）根據(jù)已知得到，即或，代入求最值即可．【詳解】解：（1），因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為-5．（2），當(dāng)取最小值時，原式最大，由（1）可知，最小值為2，此時的最大值為；（3）∵，∴，，或，或，=，最大值是，的最大值為；或=，最大值是，的最大值為；綜上，的最大值為12．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使點A落在邊CD上的點M處（不與點C、D重合），折痕EF分別交AD、BC于點E、F，邊AB折疊后交邊BC于點G．（1）若點M是邊CD的中點，求△CMG的周長；（2）若DM＝CD，求△CMG的周長；（3）若M是邊CD上的動點，①你有什么猜想？證明你的猜想；②四邊形CDEF的面積S是否存在最值？若存在，求出這個最值；若不存在，說明理由．【答案】（1）8；（2）8；（3）①周長為定值，見解析；②存在，最大值為10【分析】（1）由勾股定理計算DE的長，由此得EM的長，得△DEM的周長為6，證明△EDM∽△MCG，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比列式可得結(jié)論；（2）由勾股定理計算DE的長，由此得EM的長，證明△EDM∽△MCG，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比列式可得結(jié)論；（3）①設(shè)DE=y，DM=b，則CM=4-b，EM=AE=4-y，由勾股定理計算DE的長，由此得EM的長，證明△EDM∽△MCG，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比列式可得結(jié)論；②由“AAS”可證△ADM≌△FHE，可得DM=EH，由勾股定理和面積關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，點M為CD邊的中點，∴DM=CM=2，設(shè)AE=x，則EM=x，DE=4x，由勾股定理得：DM2+DE2=EM2，∴22+（4-x）2=x2，∴x=，∴DE=，由折疊得：∠EMG=∠BAD=90°，∵∠DEM+∠DME=∠DME+∠MGC=90°，∴∠DEM=∠MGC，∵∠D=∠C=90°，∴△EDM∽△MCG，∴，∴△MCG的周長=；（2）∵正方形ABCD的邊長為4，DM=CD，∴DM=，CM=，設(shè)AE=x，則EM=x，DE=4x，由勾股定理得：DM2+DE2=EM2，∴（）2+（4x）2=x2，∴x=，∴DE=，由折疊得：∠EMG=∠BAD=90°，∵∠DEM+∠DME=∠DME+∠MGC=90°，∴∠DEM=∠MGC，∵∠D=∠C=90°，∴△EDM∽△MCG，∴，∴△MCG的周長=；（3）①△CMG的周長恒等于8，理由如下：設(shè)DE=y，DM=b，則CM=4-b，EM=AE=4-y，Rt△DEM中，DE2+DM2=EM2，y2+b2=（4-y）2，16-b2=8y，由（1）得△DEM∽△CMG，∴，∴△CMG的周長=．∴△CMG的周長恒等于8；②如圖，連接AM，過點F作FH⊥AD于H，∴∠FHA=∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABFH是矩形，∴HF=AB=CD=AD，由折疊的性質(zhì)可得：EF⊥AM，∴∠EAM+∠AMD=90°=∠EAM+∠AEF，∴∠AEF=∠AMD，又∵∠D=∠EHF=90°，∴△ADM≌△FHE（AAS），∴DM=EH，設(shè)DM=a=EH，DE=b，∵EM2=DE2+DM2，∴（4b）2=a2+b2，∴4b=，∵S=4×（a+b）×4a=2a+4b=+2=，∴當(dāng)a=2時，S有最大值為10．13．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知拋物線y＝x2﹣2ax+m．（1）當(dāng)a＝2，m＝﹣5時，求拋物線的最值；（2）當(dāng)a＝2時，若該拋物線與坐標(biāo)軸有兩個交點，把它沿y軸向上平移k個單位長度后，得到新的拋物線與x軸沒有交點，請判斷k的取值情況，并說明理由；（3）當(dāng)m＝0時，平行于y軸的直線l分別與直線y＝x﹣（a﹣1）和該拋物線交于P，Q兩點．若平移直線l，可以使點P，Q都在x軸的下方，求a的取值范圍．【答案】（1）-9；（2）當(dāng)m=0時，k＞4或當(dāng)m=4時，k＞0時，得到新的拋物線與x軸沒有交點；（3）a＞1或a＜﹣1【分析】(1)把a(bǔ)＝2，m＝﹣5代入拋物線解析式即可求拋物線的最值；(2)把a(bǔ)＝2代入，當(dāng)該拋物線與坐標(biāo)軸有兩個交點，分拋物線與x軸、y軸分別有一個交點和拋物線與x軸、y軸交于原點，分別求出m的值，把它沿y軸向上平移k個單位長度，得到新的拋物線與x軸沒有交點，列出不等式，即可判斷k的取值；(3)根據(jù)題意，分a大于0和a小于0兩種情況討論即可得a的取值范圍．【詳解】解：(1)當(dāng)a＝2，m＝﹣5時，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以拋物線的最小值為﹣9．(2)當(dāng)a＝2時，y＝x2﹣4x+m因為該拋物線與坐標(biāo)軸有兩個交點，①該拋物線與x軸、y軸分別有一個交點∴△=16-4m=0，∴m=4，∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2沿y軸向上平移k個單位長度后，得到新的拋物線與x軸沒有交點，則k＞0；②該拋物線與x軸、y軸交于原點，即m=0，∴y＝x2﹣4x∵把它沿y軸向上平移k個單位長度后，得到新的拋物線與x軸沒有交點，∴y＝x2﹣4x+k此時△＜0，即16﹣4k＜0解得k＞4;綜上，當(dāng)m=0時，k＞4或當(dāng)m=4時，k＞0時，得到新的拋物線與x軸沒有交點；(3)當(dāng)m＝0時，y＝x2﹣2ax拋物線開口向上，與x軸交點坐標(biāo)為（0，0）（2a，0），a≠0．直線l分別與直線y＝x﹣（a﹣1）和該拋物線交于P，Q兩點，平移直線l，可以使點P，Q都在x軸的下方，①當(dāng)a＞0時，如圖1所示，此時，當(dāng)x＝0時，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②當(dāng)a＜0時，如圖2所示，此時，當(dāng)x＝2a時，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．綜上：a＞1或a＜﹣1．14．（2022秋·江蘇常州·九年級常州市第二十四中學(xué)?？计谥校景l(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：如圖1，點O為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑為1，點A（2，0）．動點B在⊙O上，連接AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時針順序），求OC的最大值．【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以O(shè)B為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE，連接AE．（1）請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；（2）請直接寫出線段OC的最大值．【遷移拓展】（3）如圖2，BC＝4，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以BD為邊作等邊△ABD，請求出AC的最值，并說明理由．【答案】[解決問題]（1）OC＝AE，（2）OC的最大值為3．[遷移拓展]（3）AC的最大值為2+2．AC的最小值為2﹣2．【分析】（1）結(jié)論：OC=AE．只要證明△CBO≌△ABE即可；（2）當(dāng)E、O、A共線，AE有最大值，此時OC有最大值，據(jù)此求解即可；（3）當(dāng)點A在線段BD的左側(cè)時，以BC為邊作等邊三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，當(dāng)點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大；當(dāng)點A在線段BD的左側(cè)時，同理可求AC的最小值.【詳解】解：【解決問題】（1）如圖1中，結(jié)論：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等邊三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴當(dāng)E、O、A共線，∴AE的最大值為3，∴OC的最大值為3．【遷移拓展】（3）如圖2中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴點D在以BC為直徑的⊙O上運(yùn)動，由圖像可知，當(dāng)點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大，最大值＝2+2，∴AC的最大值為2+2．當(dāng)點A在線段BD的右側(cè)時，同理可得AC的最小值為2-2．綜上所述AC的最大值為2+2，最小值為2-2.15．（2018秋·江蘇無錫·九年級無錫市南長實驗中學(xué)階段練習(xí)）已知：二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A(-1,0)、B（3,0）、C（0,3）求:（1）求這個函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)x取何值時，y有最值；（3）當(dāng)—3＜x＜2時，求y的取值范圍？【答案】（1）；（2）當(dāng)x=1時，y最大值=4；（3）-12<y<4【分析】（1）由于已知二次函數(shù)圖形與x軸的兩交點坐標(biāo)，則可設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點坐標(biāo)代入求出a的值，從而得到二次函數(shù)解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．（2）將拋物線的一般式化為頂點式，就可以確定頂點坐標(biāo)，從而求得最值.【詳解】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入得a?1?（-3）=3，解得a=-1，所以二次函數(shù)的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3．（2）：（1））∵y=-x2+2x+3，=-（x-1）2+4，∴頂點（1，4），∵拋物線開口向下，∴當(dāng)x=1時，y最大值=4；（3）∵-3＜x＜2，頂點（1，4）對稱軸是直線x=1∴x=1時，y最大值=4，又∵x=-3時，y=-12當(dāng)-3＜x＜2時，-12<y<416．（2016秋·江蘇鹽城·九年級階段練習(xí)）閱讀材料：用配方法求最值．已知x，y為非負(fù)實數(shù)，∵x+y﹣2≥0∴x+y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時，等號成立．示例：當(dāng)x＞0時，求y=x++4的最小值．解：+4=6，當(dāng)x=，即x=1時，y的最小值為6．（1）嘗試：當(dāng)x＞0時，求y=的最小值．（2）問題解決：隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來越多家庭的交通工具，假設(shè)某種小轎車的購車費(fèi)用為10萬元，每年應(yīng)繳保險費(fèi)等各類費(fèi)用共計0．4萬元，n年的保養(yǎng)、維護(hù)費(fèi)用總和為萬元．問這種小轎車使用多少年報廢最合算（即：使用多少年的年平均費(fèi)用最少，年平均費(fèi)用=）？最少年平均費(fèi)用為多少萬元？【答案】（1）x=1時，y的最小值為3．（2）n=10時，最少年平均費(fèi)用為2．5萬元．【詳解】試題分析：（1）首先根據(jù)y=，可得y=x++1，然后應(yīng)用配方法，求出當(dāng)x＞0時，y=的最小值是多少即可．（2）首先根據(jù)題意，求出年平均費(fèi)用=（+0．4n+10）÷n=，然后應(yīng)用配方法，求出這種小轎車使用多少年報廢最合算，以及最少年平均費(fèi)用為多少萬元即可．解：（1）y==x++1+1=3，∴當(dāng)x=，即x=1時，y的最小值為3．（2）年平均費(fèi)用=（+0．4n+10）÷n==2+0．5=2．5，∴當(dāng)，即n=10時，最少年平均費(fèi)用為2．5萬元．17．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：如果兩個正數(shù)a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取到等號我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最值問題的有力工具．初步探究：（1）已知x＞0，求函數(shù)y＝x+的最小值．問題遷移：（2）學(xué)校準(zhǔn)備以圍墻一面為斜邊，用柵欄圍成一個面積為100m2的直角三角形，作為英語角，直角三角形的兩直角邊各為多少時，所用柵欄最短？創(chuàng)新應(yīng)用：（3）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB經(jīng)點P（3，4），與坐標(biāo)軸正半軸相交于A，B兩點，當(dāng)△AOB的面積最小時，求△AOB的內(nèi)切圓的半徑．【答案】初步探究：（1）4；問題遷移：（2）x＝10m時，y有最小值，即所用柵欄最短；創(chuàng)新應(yīng)用：（3）R＝2．【分析】（1）根據(jù)x＞0，令a=x，b=，利用題中的新定義求出函數(shù)的最小值即可；（2）設(shè)一直角邊為xm，則另一直角邊為m，柵欄總長為ym，根據(jù)題意表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式，利用題中的新定義求出y取得最小值時x的值即可；（3）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把P坐標(biāo)代入用k表示出b，進(jìn)而表示出A與B坐標(biāo)，確定出OA與OB的長，得出三角形AOB面積，利用題中的新定義求出三角形AOB面積最小時k的值，確定出直角三角形三邊，即可求出三角形AOB內(nèi)切圓半徑．【詳解】解：（1）令a＝x，b＝（x＞0），由a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，即x＝2時，函數(shù)有最小值，最小值為4；（2）設(shè)一直角邊為xm，則另一直角邊為m，柵欄總長為ym，y＝x+，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，即x＝10m時，y有最小值，即所用柵欄最短；（3）設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把P（3，4）代入得：4＝3k+b，整理得：b＝4﹣3k，∴直線AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，當(dāng)x＝0時，y＝4﹣3k；當(dāng)y＝0時，x＝，即A（0，4﹣3k），B（，0），∴S△AOB＝OB?OA＝（4﹣3k）?＝12﹣（），∵要使△AOB的面積最小，∴必須最大，∵k＜0，∴﹣k＞0，∵=2×6＝12，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，解得：k＝±，∵k＜0，∴k＝﹣，即OA＝4﹣3k＝8，OB＝6，根據(jù)勾股定理得：AB＝10，設(shè)三角形AOB的內(nèi)切圓的半徑是R，由三角形面積公式得：×6×8＝×6R+×8R+×10R，解得：R＝2．18．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）某學(xué)校要在圍墻旁建一個長方形的中藥材種植實習(xí)苗圃，苗圃的一邊靠圍墻（墻的長度不限），另三邊用木欄圍成，建成的苗圃為如圖所示的長方形ABCD．已知木欄總長為120米，設(shè)AB邊的長為x米，長方形ABCD的面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）．當(dāng)x為何值時，S取得最值（請指出是最大值還是最小值）？并求出這個最值；（2）學(xué)校計劃將苗圃內(nèi)