關于算法及其推廣EM算法是一種迭代算法，1977年由Dempster等人總結(jié)提出，用于含有隱變量的概率模型參數(shù)的極大似然估計，或極大后驗概率估計。EM算法的每次迭代由兩步組成：E步，求期望；M步，求極大。所以這一算法稱為期望極大算法（ExpectationMaximization）,簡稱EM算法。第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天極大似然估計極大似然估計是概率論在統(tǒng)計學中的應用，它是參數(shù)估計的方法之一。說的是已知某個隨機樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計就是通過若干次實驗，觀察其結(jié)果，利用結(jié)果推出參數(shù)的大概值。第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天極大似然估計似然函數(shù)：已知樣本集X,X是通過概率密度p(x|θ)抽取。樣本集X中各個樣本的聯(lián)合概率：為了便于分析，由于L(θ)是連乘的，還可以定義對數(shù)似然函數(shù)，將其變成連加的：第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天極大似然估計求極值可以轉(zhuǎn)換為以下方程：θ的極大似然估計量表示為：第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天9.1EM算法的引入9.1.1 EM算法9.1.2 EM算法的導出9.1.3 EM算法在非監(jiān)督學習中的應用9.2EM算法的收斂性第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天9.1.1EM算法例9.1（三硬幣模型）假設有3枚硬幣，分別記作A,B,C.這些硬幣正面出現(xiàn)的概率分別是π,p,q.進行如下擲硬幣試驗：先擲硬幣A，根據(jù)其結(jié)果選出硬幣B或硬幣C，正面選硬幣B，反面選硬幣C；然后擲選出的硬幣，擲硬幣的結(jié)果，出現(xiàn)正面記作1，出現(xiàn)反面記作0；獨立地重復n次試驗（這里，n=10），觀測結(jié)果如下：1,1,0,1,0,0,1,0,1,1假設只能觀測到擲硬幣的結(jié)果，不能觀測擲硬幣的過程。問如何估計三硬幣正面出現(xiàn)的概率，即三硬幣模型的參數(shù)。第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解三硬幣模型可以寫作y:觀測變量，表示一次試驗觀測的結(jié)果是1或0z:隱變量，表示未觀測到的擲硬幣A的結(jié)果θ：θ=(π,p,q)是模型參數(shù)第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天將觀測數(shù)據(jù)表示為Y=(Y1,Y2,…,Yn)T,未觀測數(shù)據(jù)表示為Z=(Z1,Z2,…,Zn)T,則觀測數(shù)據(jù)的似然函數(shù)為

即考慮求模型參數(shù)θ=(π,p,q)的極大似然估計，即

第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天EM算法首先選取參數(shù)的初值，記作

，然后通過下面的步驟迭代計算參數(shù)的估計值，直至收斂為止。第i次迭代參數(shù)的估計值為。EM算法的第i+1次迭代如下E步：計算在模型參數(shù)下觀測數(shù)據(jù)yj來自擲硬幣B的概率

那么觀測數(shù)據(jù)yj

來自硬幣C的概率為1-μ(i+1)第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天M步：先寫出期望然后分別求導，計算模型參數(shù)的新估計值第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天假設模型參數(shù)的初值取為由E步公式對yj=1與yj=0均有μj(1)=0.5利用M步迭代公式，得到繼續(xù)計算μj(2)=0.5，j=1,2,…,10繼續(xù)迭代，得于是得到模型參數(shù)θ的極大似然估計：

EM算法與初值的選擇有關，選擇不同的初值可能得到不同的參數(shù)估計值。如果取初值

那么得到的模型參數(shù)的極大似然估計是第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天算法9.1（EM算法）輸入：觀測變量數(shù)據(jù)Y，隱變量數(shù)據(jù)Z，聯(lián)合概率分布P(Y,Z|θ)，條件概率分布P(Z,Y|θ)；輸出：模型參數(shù)θ.（1）選擇參數(shù)的初值，開始迭代，參數(shù)的初值可以任意選擇，但需注意EM算法對初值是敏感的；（2）E步：記為第i次迭代參數(shù)θ的估計值，在第i+1次迭代得E步，計算這里，是在給定觀測數(shù)據(jù)Y和當前的參數(shù)估計下隱變量數(shù)據(jù)Z的條件概率分布.注意，的第一個變元表示要極大化的參數(shù)，第2個變元表示參數(shù)的當前估計值.每次迭代實際在求Q函數(shù)及其極大；第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天（3）M步：求使極大化的θ，確定i+1次迭代得參數(shù)的估計值（4）重復第（2）步和第（3）步，直到收斂，這里給出停止迭代得條件，一般是對較小的正數(shù)，若滿足

則停止迭代.第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天定義9.1（Q函數(shù)）完全數(shù)據(jù)（觀測變量數(shù)據(jù)Y和隱變量數(shù)據(jù)Z）的對數(shù)似然函數(shù)關于在給定觀測數(shù)據(jù)Y和當前參數(shù)下對未觀測數(shù)據(jù)Z的條件概率分布的期望稱為Q函數(shù)，即第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天9.1.2EM算法的導出琴生（Jensen）不等式如果f是凸函數(shù)，X是隨機變量，那么

E[f(X)]≥f(EX)特別地，如果f是嚴格凸函數(shù),E[f(X)]≥f(EX)那么當且僅當p(x=E[X])=1，也就是說X是常量。這里我們將f(E[X])簡寫為f(EX)Jensen不等式應用于凹函數(shù)時，不等號方向反向，也就是E[f(X)]≤f(EX)第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天下面通過近似求解觀測數(shù)據(jù)的對數(shù)似然函數(shù)的極大化問題來導出EM算法，由此可以清楚地看出EM算法的作用。假設在第i次迭代后θ的估計值是.我們希望新估計值θ能使L(θ)增加，即L(θ)>L(),并逐步達到極大值.為此，考慮兩者的差：第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天利用Jensen不等式得到其下界：令則

第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天任何可以使增大的θ，也可以使L(θ)增大.為了使L(θ)有盡可能大的增長，選擇

使達到極大，即現(xiàn)在求的表達式.省去對θ的極大化而言是常數(shù)的項，有上式等價于EM算法的一次迭代，即求Q函數(shù)及其極大化.EM算法是通過不斷求解下界的極大化逼近求解對數(shù)似然函數(shù)極大化的算法.第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天9.1.3EM算法在非監(jiān)督學習中的應用有時訓練數(shù)據(jù)只有輸入沒有對應的輸出{(x1,·),(x2,·),…,(xn,·)}，從這樣的數(shù)據(jù)學習模型稱為非監(jiān)督學習問題EM算法可以用于生產(chǎn)模型的非監(jiān)督學習生成模型由聯(lián)合概率分布P(X,Y)表示，可以認為非監(jiān)督學習訓練數(shù)據(jù)是聯(lián)合概率分布產(chǎn)生的數(shù)據(jù).X為觀測數(shù)據(jù)，Y為未觀測數(shù)據(jù).第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天9.2EM算法的收斂性定理9.1設P(Y|θ)為觀測數(shù)據(jù)的似然函數(shù)，(i=1,2,…)為EM算法得到的參數(shù)估計序列，則(i=1,2,…)為對應的似然函數(shù)序列，則是單調(diào)遞增的，即第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天證明由于取對數(shù)有由令于是對數(shù)似然函數(shù)可以寫成第23頁,共26頁，2024年2月25日，星期天只需證明右端為非負值即得出結(jié)果，由于使達到極大，所以有

其第二項，由

得出第24頁,共26頁，2024年2月25日，星期天定理9.2設L(θ)=logP(Y|θ)為觀測數(shù)據(jù)的對數(shù)似然函數(shù)，(i=1,2,…)為EM算法得到的參數(shù)估計序列，(i=1,2,…)為對應的對數(shù)似然函數(shù)序列.（1）如果P(Y|θ)有上界，則收斂到某一值L*；（2）在函數(shù)