2023-2024學年陜西省西安市某中學高二（上）第一次月考數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設集合A={x|log2（x-1）<2],B={x\x<5},則（）

A.A=8B.BQAC.AQBD.AnB=0

2.若復數(shù)x=（M—i）+Q+i）i為純虛數(shù)。為虛數(shù)單位），則實數(shù)％的值為（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

3.橢圓盤+4=1與工+￡；=l（0<k<9）關系為（）

2599-k25-k''

A.有相等的長軸長B.有相等的離心率C.有相同的焦點D.有相等的焦距

4.下列命題為真命題的是（）

A.VxGR,——|%1+1<0B.Vx6R,-1<---<1

'1COSX

2

C.3x0GR,（/nx0）<0D.3x06R,sinx0=3

5.“a<4”是“過點（1,1）有兩條直線與圓/+丫2+2丫一。=0相切”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.若ae?,7T),s譏a=號，則tan(2a+6=()

A.4cB.—4仁c?奇D.-/5

~20

7.在等腰直角三角形4BC中，4B=AC=4,點P是邊4B邊上異于4B的一點，光線

從點P出發(fā)，經(jīng)BC,C4反射后又回到點P（如圖），若光線QR經(jīng)過△4BC的重心，則AP

等于（）

A.2B.1C.1D.g

22

8.已知Fi、&是雙曲線C：3一%=l（a>0/>0）的左，右焦點，過Fi的直線，與雙曲線C交于M,N兩點,

且物=3瓦羽,|F2M|=|尸2田，則C的離心率為（）

A.V-2B.V_5C.y/~7D.3

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下面四個結論正確的是（）

A.已知向量句=(9,4,一4),6=(1,2,2).則■在另上的投影向量為(1,2,2)

B.若對空間中任意一點。，有聲=4刃+J而+。歷，則P,A,B,C四點共面

004

C.已知他，瓦就是空間的一組基底，若記=五+3則僅花，記｝也是空間的一組基底

D.若直線/的方向向量為E=(1,0,3),平面a的法向量元=(一2,0,芻，則直線11a

10.已知函數(shù)/'(x)=Asin(^a)x+0)Q4>0,a)>0,\(p\<今的部分圖象如圖所示，圖

象與y軸交于點M，與％軸交于點C,點N在f(x)的圖象上，且點M,N關于點C對稱，

則下列說法其中正確的是()

A.a>=2

B.<(y+x)+/(-x)=0

C.f(x)在(-與,0)上單調遞增

D.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移弓個單位長度后得到的函數(shù)圖象關于y軸對稱

11.已知橢圓c：1+4=1上有一點尸，&、尸2分別為其左右焦點，Z.FPF=e,“iPF2的面積為s,則下

16912

列說法正確的是()

A.若。=60°,貝US=3c

B.若S=3,則滿足題意的點P有4個

C.若A&PF2是鈍角三角形，則sG(0,殍)

D.橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最小值為12

12.已知棱長為a的正方體ABCD-4BiCi￡>i中M為4G中點，點P在正方體的表面上運動，且總滿足MP垂

直于MC,則下列結論正確的是()

A.點P的軌跡中包含441的中點

B.點P在側面4人。山內(nèi)的軌跡的長為手

C.MP長度的最大值為手

D.直線CQ與直線MP所成角的余弦值的最大值為?

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若雙曲線經(jīng)過點(3,C),且漸近線方程是丁=±3h則這條雙曲線的方程是.

14.如果圓(x-a)2+(y-a)2=8上總存在兩個點到原點的距離為IL則實數(shù)a的取值范圍是.

15.在棱長為2的正方體力BCD-A/iCiCi中，E是CD的中點，尸是CG上的動點，則三棱錐力一DEF外接球

表面積的最小值為.

x

16.已知實數(shù)與，x2i為，為滿足：i+yl=3,螃+遂=3,xxx2+y1y2=|,則|3/+4%-10|+|3x2+

4y2-10|的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎.同時國家提倡節(jié)約用水，全民積極維護飲用水水源安全，保

障安全飲水2021年5月13日下午，正在河南省南陽市考察調研的習近平總書記來到淅川縣，先后考察了陶岔

渠首樞紐工程、丹江口水庫，聽取南水北調中線工程建設管理運行和水源地生態(tài)保護等情況介紹.為了提

高節(jié)約用水意識，某校開展了“節(jié)約用水，從我做起”活動，從參賽的學生中隨機選取100人的成績作為樣

本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校此次參賽學生成績的平均分立同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

代表)；

(2)在該樣本中，若采用分層抽樣方法，從成績低于65分的學生中隨機抽取6人調查他們的答題情況，再從

這6人中隨機抽取3人進行深入調研，求這3人中至少有1人的成績低于55分的概率.

18.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知乂/加出。+ccosB=a.

(1)若。=2,b=y/~3,求△ABC的面積；

(2)若AaBC為銳角三角形，且c=2,求△ABC周長的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD^P，底面4BCD是邊長為a的正方形，側面PAO1底面4BC0,S.PA=PD=(心

設E,尸分別為PC,BD的中點.

(I)求證：￡7:7/平面H4D；

(II)求證：平面24B1平面PDC.

20.(本小題12.0分)

已知圓C過點R(2,0)、S(4,-2),且圓心。在直線2x-y-8=0上.

(1)求圓C的方程；

(2)若點P在圓C上，點4(6,0),M為4P的中點，。為坐標原點，求tan/MOA的最大值.

21.(本小題12.0分)

四棱錐P-ABC。中，四邊形4BCO為梯形，其中4B〃OC,AB=2BC=2CD=4,乙BCD=60°,平面PBD1

平面ABCD.

(1)證明：PB1AD：

(2)若PB=PD,且三棱錐P—BCD的體積為，？，點F滿足時=：正，求平面DBF與平面PBC所成的銳二面

角的余弦值.

22.(本小題12.0分)

已知橢圓C；各，=l(a>b>0)經(jīng)過點M(0,3),離心率為(Z.

(1)求C的方程；

(2)直線，：丫=--1與橢圓。相交于4B兩點,求|K4|?|MB|的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：,:A={x|log2(x-1)<2}={x|l<%<5}>B={x\x<5},

AQB,

故選：C.

由集合的定義化簡，從而確定集合間的關系.

本題考查了集合的化簡與運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：???復數(shù)z=(x2-l)+(x+l)i為純虛數(shù)(t為虛數(shù)單位)，

???產(chǎn)［1=0,解得％=1.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結合純虛數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：橢圓:+今=1，可得a=5,b=3,c=725—9=4,

則其長軸長2a=10,焦距2c=8,焦點坐標為(±4,0),離心率為e=g；

橢圓工+=1(0<k<9)，其中a'=725-k，b'=79-k，則c'=4,

則其長軸長2a'=2V25-k,焦距2c'=8,焦點坐標為(0,±4),離心率e'=蠟/，

所以它們有相等的焦距.

故選：D.

分別計算兩個橢圓的長軸長、焦點、焦距和離心率，分析選項可得答案.

本題考查橢圓的方程和性質，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：對于4VxG/?,x2-|x|+l=(|x|-j)2+1>0,恒成立，所以A是假命題.

對于B,Vxe/?,-1<—<1,不正確，反例x=寸，—=2,所以B是假命題；

COSXJCOSX

2

對于C,3x0GR,例如Xo=l,(Znx0)=0,所以C是真命題;

對于C,VxeR,sinxe[-1,1],所以。是假命題.

故選：C.

利用分析法判斷2,特殊值判斷8C,正弦函數(shù)的圓心判斷D.

本題考查命題的真假的判斷，特稱命題與全稱命題的判斷，是基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：過點(1,1)有兩條直線與圓產(chǎn)+y2+2y-a=0相切Q點(1,1)在圓外0點(1,1)到圓心(0,1)的

距離大于半徑，解得a<0.

所以“a<4”是“過點(1,1)有兩條直線與圓方2+丁2+2丫一。=0相切”的必要不充分條件.

故選:B.

過點(1,1)有兩條直線與圓/+y2+2y-a=0相切o點(1,1)在圓外，以此可解決此題.

本題考查充分、必要條件的判斷及點圓位置關系，考查數(shù)學運算能力及推理能力，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：因為ae6，兀)，sina=

L3

所以cosa=—V1—sin2a=—可得tana=更吧=—tan2a="竺多--4V-5,

3cos?21-tan'a

則tan(2a+勺==一票.

'2，tan2a20

故選：D.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosa,tana的值，進而利用二倍角的正切公式可求tan2a的值，

根據(jù)誘導公式即可求解.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正切公式，誘導公式在三角函數(shù)求值中的應用，考查

了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：建立如圖所示的坐標系：

可得B(4,0),C(0,4),故直線BC的方程為x+y=4,

△ABC的重心為(號士,匕羅)，設P(a,0),其中0<a<4,

"+出=4

則點P關于直線的對稱點Pi(x,y),滿足2，

層YT)=T

P2ApB

解得_a，即P】(4,4-a)，易得P關于y軸的對稱點「2(-氏。)，

由光的反射原理可知3,Q,R，02四點共線,

直線QR的斜率為k==5=花，故直線QR的方程為y=露。+a),

由于直線(?/?過448c的重心(2),代入化簡可得3a2-4a=0,

解得a=g,或a=0(舍去)，故P?,0),故AP=g

故選：D.

建立坐標系，設點P的坐標，可得P關于直線BC的對稱點Pi的坐標，和P關于y軸的對稱點P2的坐標，由Pi，

Q,R，P2四點共線可得直線的方程，由于過A/IBC的重心，代入可得關于a的方程，解之可得P的坐標，進

而可得4P的值.

本題考查直線與點的對稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應用，屬中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：設|瓦M=m，則|瓦而=3m，設|F2Ml=|尸2川=n，

則由雙曲線的定義得乃—m=2：,解得產(chǎn)=2a,

I3?n-n=2am=4a

所以|領|=2a，\F^N\=6a,\F2M\=\F2N\=4a,\MN\=4a,

所以△MN4為等邊三角形，

所以4NMF2=60。，則"[MF2=120°,

在AF1MF2中，由余弦定理得，COSNaMF2=湍常肅正『，

即_^=生斗黠至，化簡得c2=7a2,c=la,

所以雙曲線的離心率為e=(=「，

故選：C.

由已知條件結合雙曲線的定義可得AMMF2為等邊三角形，從而得Z&MF2=120。，然后在ARMF?中，利

用余弦定理化簡可得到c=「a,從而可求出離心率的值.

本題主要考查雙曲線的幾何性質，雙曲線離心率的求解等知識，屬于中等題.

9.【答案】ABC

【解析】解：A.a-6=9+8—8=9>針=9,

???方在3上的投影向量為：*不=(L2,2),A正確；

8.；赤=;瓦？+:而+4於且六+鼻[=1,；.「，A,B,C四點共面，8正確；

O3LO3Z

C.若蒼，石，沆共面，設者="W+yE，BPa+c=xa+yb>

；.口=(x-1)五+yB，則益,玄5共面，與已知矛盾，二區(qū)瓦沅不共面，可構成基底，C正確；

D?.?3?祐=-2+3xg=0,.^/〃a或/ua,￡?錯誤.

故選:ABC.

根據(jù)投影向量的計算公式即可判斷4的正誤；根據(jù)四點共面的充要條件即可判斷8的正誤；根據(jù)共面向量基

本定理即可判斷C的正誤；根據(jù)向量坐標的數(shù)量積運算及平面法向量的定義即可判斷。的正誤.

本題考查了投影向量的定義及計算公式，向量坐標的數(shù)乘和數(shù)量積的運算，基底的定義，四點共面的充要

條件，屬于基礎題.

10.【答案】AB

【解析】【分析】

本題考查了三角函數(shù)的圖象及其性質，屬于中檔題.

先根據(jù)點M,N關于點C對稱求出點C的坐標，則函數(shù)的周期可求，然后再結合圖象即可求出解析式，然后

逐一判斷即可.

【解答】

解：由點M,N關于點C對稱可知嗎,0),故7=2?—(—/=兀，所以3=竿=2,故A正確；

所以/(無)=4sin(2支+邛)，又/(一看)=0，

所以sin(—+0)=0,即一g+0=k7T,kEZ

由|伊|<1，得<p=:所以/'(x)=4sin(2x+0,

因為/償)=Asin27r=0,故/(x)圖象關于/,0)對稱，則/+x)+/(-x)=0,故B正確；

當x6(-號,0)時，2久+*(一畸,故/⑸在(—等,0)上不滿足單調遞增，故C錯誤；

將函數(shù)/(X)的圖象向左平移著個單位長度后得y=4sin[2(x+*)+§=Asin(2x+^),x=0時顯然取不到

最值，故所得函數(shù)圖象不關于y軸對稱，故。錯誤.

故選：AB.

11.【答案】ABC

【解析】解：由橢圓C：看+[=1可得。=4,8=3,貝i」c=C，

169

對于4,因為，N&P『2=60°,所以AFiPF2的面積S=b2tang=9xtcm3()o=3q,所以A正確；

對于B,因為S="|Fi&l?h=；x2C/i=3,則/所以由橢圓的對稱性可知滿足題意的

點P有4個，所以8正確；

對于C,因為AF1PF2是鈍角三角形，所以AFiPF2中有一個角大于90°，

當乙「尸2尸1=90°時，設|P0|=m,|尸尸2|=n,貝Im2=必+4。2=九2+28,

因為m+n=2a=8,解得兀=務

所以S=芍外尸21仍尸2|=:x2Cxg=6=,所以AFiPF2是鈍角三角形時，有S6（0,號），所以C正確；

22444

對于。，嘯:揶，羥嘮，

則橢圓內(nèi)接矩形的周長為4（3sin。+4cos8）=16cos0+12sin6=20（|s譏。+^cos。）=20shi（0+8）（其

中＜pG（今,今且滿足sin"=,coscp=|）,

由。€（。，^）得。+g6卬+/）,

所以橢圓內(nèi)接矩形的周長的范圍為（20sin"+%20siW],即（12,20],所以。錯誤；

故選：ABC.

對于4,利用焦點三角形的面積公式可求解，對于B,利用三角形的面積公式求出三角形的高與b比較即可

判斷，對于C,三角形是鈍角三角形，求出三角形是直角三角形的面積，進而可求出范圍，對于。，利用橢

圓的參數(shù)方程以及三角函數(shù)的性質求出即可.

本題考查了橢圓的幾何性質，重點考查了焦點三角形的問題，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查了動點的軌跡和空間向量的計算，屬于拔高題.

根據(jù)動點P滿足的條件及正方體的結構特征得到動點P的軌跡，然后利用軌跡的特征判斷選項A,B,C,對

于選項。，要先將線線角問題轉化為線面角問題，再利用空間向量法求解.

【解答】

解：如圖，取4D1的中點E,分別取上靠近4，Bi的四等分點F,G,

連接EM,EF,FG,MG,

易知EM〃FG且EM=FG,所以E,M,F,G四點共面，連接GC,

因為MG?=（獷+聯(lián)=普MC2=向2+=苧，GC2=（第2+=需，

因此MG2+MC2=GC2,所以MG_LMC,

易知MEJ.MC,又MGCiME=M,MG,MEu平面MEFG，

所以MC，平面MEFG,

即點P的軌跡為四邊形MEFG（不含點M）,易知點P的軌跡與側面44道1。的交線為EF,

由EF不過力&的中點，故A選項錯誤；

又EF=MG=Ta，故B選項正確；

根據(jù)點P的軌跡可知，當P與尸重合時，MP最大，

易知IFG_L平面BBiCiC,又MGu平面

則FG1MG,

連接MF,所以MF=Ia2+—=—＞故C選項正確；

7164

由于點P的軌跡為四邊形MEFG（不含點M）,

所以直線CC］與直線MP所成的最小角就是直線CG與平面MEFG所成的角，

又向量鬲與平面MEFG的法向量前的夾角等于NGCM,

且sin“iCM=備=葺，所以直線CC］與平面MEFG所成角的余弦值為?，

~~2~

即直線CC1與直線MP所成角的余弦值的最大值等于?，故。選項正確.

故選：BCD.

13.【答案】y2-^=l

【解析】解：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程是丫=±3刈

2

則可設雙曲線的標準方程為5-y2=a，Q中0）；

又因為雙曲線經(jīng)過點(3,C)，

代入方程可得，4=一1；

故這條雙曲線的方程是y2—需=1；

故答案為：y2-=1.

2

根據(jù)題意中所給的雙曲線的漸近線方，則可設雙曲線的標準方程為家-f(2^0)；將點(3,/I)代

入方程，可得;1=一1；即可得答案.

本題考查雙曲線的標準方程，要求學生掌握由漸近線方程引入九進而設雙曲線方程的方法，注意標明440.

14.【答案】(-3,-l)U(l,3)

【解析】解：圓心(4(1)到原點的距離為|/天可，半徑r=2「，

圓上點到原點距離為d,

???圓(x-a)2+(y-a)2=8上總存在兩個點到原點的距離為根號。，

d=V-2>

|d-r|<|或d+r>\\T_2a\

???|瑞|<同<篝，即l<|a|<3,

解得1<a<3或一3<a<-1.

.??實數(shù)a的取值范圍是(一3,-1)U(1,3).

故答案為：(—3,-1)U(1,3).

由已知得圓上點到原點距離d=從而|d-r|<|/2a|或d+r>由此能求出實數(shù)a的取值范

圍.

本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用.

15.【答案】等

64

【解析】解：連結4E,取4E中點G,設Ci/上點F到A距離。/=3

連結EF,

過G作G。垂直平面4BCD,設GO=m,。為三棱錐4一DEF的外接球

的球心，

以。為原點，分別以DC,所在直線為x,y,z軸建立空間直

角坐標系，

B

x

1

則4(2,0,0),E(0,1,0),O(l,i,7n),F(0,t,2),

則球半徑R=OF=OE=OD=OA,

22

???J1+(t-1)+(2-m)=J1+；+小

???三棱錐A-DEF的外接球的表面積取最小值時，t=i,

此時(2—m)2=；+m2,解得m=5

???三棱錐4-DEF的外接球的表面積最小值為:

5455457r

S=4itR2471X256="64-

故答案沏

連結AE,取4E中點G,設G5上點F到Di距離D/=t,連結EF,過G作GO垂直平面ABCD,設G。=m,則

。為三棱錐4-。EF的外接球的球心，以。為原點，建立空間直角坐標系，由外接球半徑相等，列式求得三

棱錐4-OEF的外接球半徑的最小值，則三棱錐4-OEF外接球表面積的最小值可求.

本題考查三棱錐的外接球的表面積，訓練了利用空間向量求解空間中兩點間距離的最值問題，考查運算求

解能力，是中檔題.

16.【答案】35

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查化歸與轉化思想，考查運算求解能力，是較難題.

作出圓。：x2+y2=3,與直線八3x+4y—10=0,可得N（%2，y2）都在圓/+y?=3上，求得

AMON=60°,取M、N的中點G,過G作GG'1垂足為G',把|3%+4yI-10|+|3冷+4y2-=

匚/34+4%-10|,|3工2+4曠2-101、

(I―n7I―77)表7KM和N到直線1：3x+4y—10=0的距離和|MM'|+|NN'|的5倍,

J3Z+4ZJ32+42

求|MM'|+|NN'|的最值轉化為求2|GG'|的最值，求出0G=?,再求出G到直線1的最大距離，則答案可求.

【解答】

解：作出圓0：x2+y2=3,與直線八3x+4y-10=0,

由題意，”(％1，為),N(%2，y2)都在圓%之+M=3上,

\MN\=J(久1-%2)2+(71一%)2=則/■MON=60°,

|3%+4yl-10|+|3X2+4y2-10|=5(詈+做:慧表示用和％到直線/：3x+4y-10=0

J32+42J32+42

的距離和|MM'|+|NN'|的5倍,

取M、N的中點G,過G作GG'_L/,垂足為G',則+|NM|=2|GG'|,

???△MON為等邊三角形，G為MN的中點，OG=5，

則G在圓/+y2=*上運動，故G到直線3x+4y—10=0距離的最大值為2+|=夕

\MM'\+\NN'\=2|GG'|的最大值為2x^=7.

故|3%+4yl-10|+|3打+4y2—也|最大值為35.

故答案為：35.

17.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知，(0.005+0.025x2+0.01+a)x10=1,解得a=0.035；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50x0.05+60x0.25+70x0.35+80x0.25+90x0.1=71,

所以估計該校此次參賽學生成績的平均分I=71;

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，成績在［45,55),［55,65)內(nèi)的頻率分別為0.05,0.25,

所以采用分層隨機抽樣的方法從樣本中抽取6人，

則成績在［45,55)內(nèi)的有1人，在［55,65)內(nèi)的有5人，

所以從這6人中隨機抽取3人進行深入調研，

這3人中至少有1人的成績低于55分的概率為卻=

Cl2

【解析】本題考查了頻率分布直方圖的理解與應用，平均數(shù)計算公式的運用以及古典概型概率公式的運用.

(1)利用頻率之和為1列式求解a即可，由平均數(shù)的計算公式求解。

(2)先由分層隨機抽樣得到成績在［45,55),［55,65)內(nèi)的人數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可.

18.【答案】解：(1)因為一bsinC+ccosB=a，

所以由正弦定理可得?sinBsinC+sinCcosB=sinA>

又siziA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以?siziBsinC=sinBcosC，

又sinB>0,

所以siiiC=cosC，可得tcmC=，~^,由CW(0,乃)，可得C=*

33

因為Q=2,b=，3,

所以△ABC的面積S=^absinC=；x2xV-3x/=|.

(2)由(1)可得C=*又c=2,

所以由正弦定理急=熹=廉=殍,可得a=^s出4,6=手s譏8=殍$也a-4)=

4y,<3.,1...?.,2yT3..

―-—(―^―cosA+~SITIA)=2.cosAH---sinA>

可得△ABC周長Q+6+c=sinA4-2cosA+-^r^sinA+2=2cosA+2>/~~3sinA+2=4sin(A+g)+2,

336

[0<4<g

因為△ABC為銳角三角形，12nn,可得*<4<M可得4+(€辱爭,sin(A+看)€(?，1卜

[o<y-4<62

所以△4BC周長a+b+c=4s譏(力+^)+2e(2<^+2,6].

【解析】(1)利用正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關系式化簡已知等式，結合s譏B>0,

可得tanC的值，結合范圍C6(0,兀)，可得C的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

(2)由題意利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可求AABC周長a+b+c=4sin(A+》+2,由已知可

(0<A<^

得可得4的范圍，可求4+旨有爭，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求解.

本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質在解三角形中的綜

合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

19.【答案】(I)證明：連結AC,

?底面4BCD為正方形，F(xiàn)分別為BD的中點，.?.為AC中點，

又?:E為PC的中點，

???EF//PA,又PAu平面PAD,EF仁平面PAD,

AEF〃平面PAD.

(II)證明：面PADJ■面4BC0,平面P4Dn面4BCD=4。,

又???ABCO為正方形，CD1DA,平面ABC。，CDL平面PAD,:,CD1PA,

又PA=PD=好a，△P40是等腰直角三角形，且PALPC,

PDu平面PDC,CDu平面PCC,且PDnCD=D,

???PA_L平面PDC,

又R4u平面H4B,

平面P4B1平面PDC,

【解析】（I）連結AC,證明EF〃PA,然后證明EF〃平面PAD.

（H）證明CD1?平面PAD,得到CDJLP4推出P41PD,然后證明24_L平面PDC,即可證明平面P4B_L平面

PDC,

本題考查平面與平面垂直的判斷定理的應用，直線與平面平行的判斷定理的應用，考查空間想象能力，邏

輯推理能力，是中檔題.

20.【答案】解：(1)設圓C的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0,

f-D+f-8=0,

則有14+2。+尸=0,

(20+4。-2E+F=0.

(D=-8,

解得E=0,.

F=12.

??.圓C的方程為：x2+y2-8x+12=0.

(2)由(1)知C：(%-4)24-y2=4,

設P(x(),yo)，M(x,y),則

(x0=2x-6

lyo=2y，

又P在圓C：(x-4)2+y2=4上，

」?Oo-4產(chǎn)+環(huán)=4，

(2x-10)2+(2y)2=4,M的軌跡方程為Q-5)2+y2=1.

如圖，當OM與。一5y+y2=i相切時，tan4M。4取最大值,

此時。M=V25-1=2y/~6>

所以tan/MOA=

【解析】（1）設圓C的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0,利用待定系數(shù)法確定圓C的方程；

（2）由題意設出P的坐標，利用中點坐標公式和圓的方程得到點M的軌跡方程，數(shù)形結合易知當?！迸c（X-

5）2+y2=1相切時，tan/MOA取最大值.

本題考查的是圓的一般方程，考查了軌跡方程的求法，利用代入法求圓的方程，訓練了中點坐標公式的應

用，是中檔題.

21.【答案】解：（1）證明：四棱錐P-ABCD中，四邊形4BCD為梯形，其中4B〃DC,

AB=2BC=2CD=4,/.BCD=60°,平面PB。1平面4BC0,

由題設，△BCD為等邊三角形，貝ijAB=2BD=4,

又四邊形力BCD為梯形，AB//DC,則乙4BD=60。，

在4ABD^,AB=4,BD=2,所以力。2=AB2+BD2_2ABxBDxcos^ABD,

2

即4/）2=42+2-2X4X2XCOS60°=12,則力。=2y/~3,

所以4。2+8。2=AB2,即4。1皿

面PBD1面ABC。，面PBDD面ZBCD=BD,ADc^ABCD,

則AD1面PBD,

又PBu面PBD,^.PBLAD.

(2)若。為BD中點，PB=PD,

則PO1BD,面PBD1面ABCD,面PBDD面ABCD=BD,POu面PBD,

則POl^ABCD,

連接。C,則。C1BO,且OCu面ABC。，故PO1OC,

綜上，PO,BD,0c兩兩垂直，以。為原點，05,0C，訶為x,y,z軸正方向的空間直角坐標系.

所以4(一1,一2二,0),8(1,0,0),C(0,-3,0),。(-1,0,0),

PB=PD,且三棱錐P-BCO的體積為，豆，點F滿足方=g定,

由三棱錐P—BCD的體積為「，則：SABCD?OP=C，

即gxgx2x2OP=q,故。P=3.

則P(0,0,3),則尸(0,?,2)，

所以喬=(-1,早,2),麗=(2,0,0),