第34練空間向量與立體幾何

課本變式練+考點(diǎn)分類練+最新模擬練+高考真題練+綜合提升練

一、課本變式練

1.（人A選擇性必修一P9習(xí)題1.1T2變式）如圖所示，在平行六面體A3CC-A8CQ中，M為AG與EQ

的父點(diǎn)，若AB=4，AD=b，AA,=c,則8A7=（）

cl17

A.—a——b+cB.—Q+—b+c

2222

c11,

D.——a+—b+c

22

【答案】D

【解析】由題意得，8用=84+；4"=/14|+；（44_44）=/14I+3（40_718）=_34+38+以故選口

2.（人A選擇性必修一P14練習(xí)T2變式）已知正四面體ABC。，M為BC中點(diǎn)，N為A。中點(diǎn)，則直線BN

與直線0M所成角的余弦值為（）

A.1B.|C.巨D(zhuǎn).坦

632121

【答案】B【解析】設(shè)該正面體的棱長(zhǎng)為1,因?yàn)镸為2c中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，

所以==J『-（gxl）2=專,

因?yàn)镸為8C中點(diǎn)，N為AO中點(diǎn)，

___.—.1一

所以有8N=a4+AN=-A8+-4Z）,

2

DM=DB+BM=DA+AB+-BC=-AD+AB+-（AC-AB）=-AD+-AB+-AC,

2222

BNDM

={-AB+1AD)(-AD+；AB+；AC)

1211211

=ABAD——AB——ABAC——AD+-ABAD+-ACAD

22244

111

=lIxlIx-1-----xPr——xl1xl1x------1-x1r2+—1xl?xl?x—1+—1xIlxlIx—1

222224242

1

二一5'

2

cos〈BN,DM)=

3

22

根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線OW所成角的余弦值為凈，故選B

3.（人A選擇性必修一P22習(xí)題1.3T8變式）如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體ABC。-4用6。中，E,尸分別為

AB,A。的中點(diǎn).

（1）求異面直線E尸與CR所成角的大小.

（2）證明：所1.平面48.

【解析】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系.于是:

0(0,0,0),4(2,0,2),C(0,2,0),E(2,l,0),尸(1,1,1),。(0,0,2)

/.￡F=(-1,0,1),8=(0,—2,2),DA,=(2,0,2),DC=(0,2,0).

EFCD-lx0+0x(-2)+lx21

⑴cos(M,C￡>)=|“n=t---------七2--------=-,

￡F||CD,&x2&

二(E￡S)=60°

二異面直線EF和CD,所成的角為60'.

(2)EFDA,=-1X2+0X0+1X2=0

二EF1DAt,即EF，DA,

EF?￡)C=-lx0+0x2+lx0=0，

又「OA，DCu平面。CA且。Acoc=。

；?EF_L平面AC。.

4.(人A選擇性必修一P41習(xí)題1.3T7變式)在直三棱柱ABC-A與和中，底面是等腰直角三角形，

ZACB=90°,側(cè)棱AA,=3,D,E分別是CG與AR的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面48。上的射影是△43。的重心G,

則點(diǎn)4到平面4即的距離為()

A.76B.顯C.偵D.2顯

23

【答案】A

【解析】如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CC,所在直線分別為x,九z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)C4=CB=a,則A(%0,0),B(0,a,0),D(0,0,1),A(a,0,3),可得G(￡祟)，GE=(=,gl),

222233266

SD=(0,-?,|),因?yàn)辄c(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，所以GE_L平面ABD,所以GE-B￡>=0，

即gx0+；x(_a)+]xl=0,解得a=3,即GE=(：q,l),則點(diǎn)4到平面ABD的距離為d,E是的中點(diǎn),

66222

所以d=2|GE|=C.故選A.

二、考點(diǎn)分類練

（一）空間向量的運(yùn)算

5.設(shè)平面a的法向量為（1,2,-2）,平面夕的法向量為（-2,T?）,若a〃夕，則女的值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

f-2=A.

F丸一一2

【解析】因?yàn)镃//尸，所以（—2,TZ）=4（l,2,—2）,即-4=22,解得心二二:故選B.

k=-2A1=

6.已知正六棱柱ABCDEF-的底面邊長(zhǎng)為1,P是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則APAB

的取值范圍是（）

【答案】A

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且AB=3C=C￡>=OE=EF=AF=1,

由正六邊形的性質(zhì)可得，A（0,0,0）,8（1,0,0）,尸-1,y,0,CI，當(dāng)，。，設(shè)時(shí),y,z）,其中

所以A3=（l,0,0）,AP=（x,y,z）,所以A8-AP=x，所以A戶的取值范圍.故選A.

7.如圖，在四棱錐P-43CD中，底面ABC。是平行四邊形，已知尸4=〃，PB=b，PC=c，PE=%D,

貝IJBE=（）

AB

A.—a——h+—cB.—a——b+—c

222222

13,1

C.—a+—b+—cD—+，

222222

【答案】A

貝ijBE=^BP+BD）=-^PB+^BA+BC）=-^PB+^PA-PB+PC-PB）

111QI1^1

=―PB+-（PA-2PB+PC\=-PA--PB+-PC=-a一一人+—c故選A.

22、>222222

（二）利用空間向量處理平行與垂直問題

8.（2022屆北京市昌平區(qū)高三上學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)）如圖，在正方體ABCD-AMGR中，過點(diǎn)A且與直

線BR垂直的所有面對(duì)角線的條數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】C

【解析】過點(diǎn)A的面對(duì)角線一共有三條，AC,A。，ABt,連接，AC,AR,AB,,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA

為x軸,。C為y軸，。R為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則R(0,0,1),A(l,0,0),

C(0,l,0),4(1,1』)，其中8。=(一1,一1,1),AD,=(-1,0,1),AC=(-1,1,0),AB；=(0,1,1),

B￡>l-ADl=(-l,-l,l)(-l,0,l)=2,B￡>1AC=(-l,-l,l)(-l,l,0)=0,BD^AB,=(-1,-1,1)-(0,1,1)=0,BQ

與AC,AB1垂直，與AR不垂直，故答案為2條.故選C

9.在正方體ABC。-48cA中，E,尸分別為AB,8c的中點(diǎn)，則()

A.平面B|EF_L平面B。。B.平面8聲尸，平面AB。

C.平面用EF//平面A/CD.平面4所〃平面AG。

［解析】在正方體ABCD-ABGR中，AC_LB。且DAJL平面ABCD,

又EFu平面ABCO,所以E尸，。R,因?yàn)镋,F分別為A&8C的中點(diǎn)，

所以EFAC,所以所，如，又B。DD、=D,所以所，平面B。。,

又EFu平面BXEF,所以平面BtEFL平面BDD,,故A正確；

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4?=2,

則4(2,2,2),E(2,1,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),4(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

G(0,2,2),

則E1=(T,l,0),甌=(0,1,2),加=(2,2,0),璃=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),AG=(-2,2,0),

設(shè)平面尸的法向量為,”=a，y,zj,

m?EF=-X|+y=0

則有1可取〃?=(2,2,—l),

m-E8]=y+2Z[=0

同理可得平面AB。的法向量為^=(1,-1,-1),

平面A4C的法向量為均=(1,1,0),

平面AG。的法向量為4=(1,1-1),

貝Umi\=2—2+1=1^0.

所以平面B、EF與平面ARC不垂宜，故B錯(cuò)誤;

uu

因?yàn)榧优c應(yīng)不平行，

所以平面用￡下與平面aAC不平行，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)榧优c均不平行，

所以平面瑪EF與平面ACQ不平行，故D錯(cuò)誤，故選A.

10.如圖，在直三棱柱ABC-A8G中，ACme,AC=BC=BA，。為AB的中點(diǎn).試用向量的方法證明:

8G〃平面AC3.

【解析】證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=Bq=2,

則8（0,2,2）C（0,0,0）,A（2,0,2），M（0,2,0）,BJ=（0,-2,-2）,

0（1」,2），A（2,0,0）,C（0,0,2）,QA=（1，_1，_2），AC=（—2,0,2）,

設(shè)平面AC。的法向量為〃=(x,y,z),

〃=x-y-2z=0

則故可令=,

n-A}C=-2x+2z=0

UUUI

則BC,g2=lx0+（-l）g：-2）+lx（-2）=0，

即8GJ_九，又BG2平面ACO,

所以BG〃平面A|CQ.

(三)利用空間向量求空間角

11.在正方體A8CO-A4GA中。為面AA48的中心，O1為面A8CQ的中心.若E為co中點(diǎn)，則異面直

線AE與。01所成角的余弦值為()

A2石r>>/10「小

D.

5510

【答案】B

【解析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A(2,0,0),E(0,l,0),0(2,1,1),0,(1,1,2),

則c阿AE網(wǎng)OO.|=用2/=三Vio.

AE=(-2,l,0),Oa=(-1,0,1),設(shè)異面直線AE與。。1所成角為巴c°E|

故選B

12.已知正方體ABC。一ABCQ的棱長(zhǎng)為4,M在棱AA上，且3AM=加8],則直線與平面A^CO所

成角的正弦值為.

【答案】辿

5

【解析】如圖所示，以。為原點(diǎn)，兒方向?yàn)椋ポS，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

所以有，0(0,0,0),A(4,0,4),C(0,4,0),8(4,4,0),M(4,l,4),

則。A=（4,0,4）,DC=（0,4,0）,MB=（o,3,-4）,

設(shè)平面4OC的法向量〃=(x,y,z),則由

n-DC=4y=0..

\，令x=l,得〃

n-DA^=4x+4z=0

設(shè)直線8M與平面A4CO所成角為，，則

n-|4|272

sin^=|cos<n,MB>|=

V2x5-5

13.(2022屆四川省成都市石室中學(xué)高三上學(xué)期聯(lián)測(cè))如圖，在三棱錐A-38中，ABC是等邊三角形,

NBAD=NBCD=90°點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，連接BP,DP.

(1)證明:平面ACDL平面BDP;

(2)若8。=#,且二面角A-8O-C為120。,求直線與平面8c。所成角的正弦值.

【解析】(D證明:因?yàn)槎嗀BC是等邊二角形,NBAD=NBCD=90°.

所以Rt_ABD三Rt_CBD，可得AZ)=8.

因?yàn)辄c(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，則PD1AC,PBLAC,

因?yàn)镻DPB=P.PDu平面PBD,PBu平面PBD.

所以AC_L平面P8/),因?yàn)锳Cu平面ACD,

所以平面ACD±平面BDP.

(2)如圖，作CE1.8”垂足為￡連接AE.

因?yàn)镽t.ABOuRtCBD,

所以AE±BD,AE=CE,NAEC為二面角A-BD-C的平面角.

由已知二面角A-BD-C為120。.知ZAEC=nQ°.

在等腰三角形血中，由余弦定理可得AC=BAE.

因?yàn)開ABC是等邊三角形，則AC=M，所以A2=MAE.

在RtAABD中，有5AE.BD——AB-AO,得BD—y/3AD,

因?yàn)锽D=m，所以AD=Ji.

又BD?=A^+A。?,所以AB=2.

則AE=^3ED=—.

33

以E為坐標(biāo)原點(diǎn),以向量EC,E￡＞的方向分別為x軸，＞軸的正方向,

以過點(diǎn)E垂直于平面88的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyZ.

則°（o,半，oJ,A-乎,0,1」句量AZ）=半,T，

平面BCD的一個(gè)法向量為〃?=（0,0,1）,

設(shè)直線與平面BCD所成的角為0.

,m-AD-1y/2五

貝U8s〈肛A。〉=麗=百=一彳，sin*1cos〈肛AO〉|=與

所以直線A￡）與平面BCD所成角的正弦值為也.

2

14.（2023屆云南省下關(guān)第一中學(xué)高三上學(xué)期見面考）如圖，已知AB為圓錐5。底面的直徑，點(diǎn)C在圓錐

7T

底面的圓周上，BS=AB=2,ZBAC=~,BE平分NSBA,。是SC上一點(diǎn)，且平面￡＞B￡J_平面SA8.

s

⑴求證：SAYBD；

(2)求平面EBD與平面8DC所成角的余弦值.

【解析】(1)因?yàn)?4=M=AB=2,且BE平分NSB4,

所以BEISA,

又因?yàn)槠矫鍰BE±平面SAB,且平面DBE平面SAB=BE,SAu平面SAB,

所以SA_L平面BDE,

又因?yàn)锽Du平面BDE,

所以SAVBD-,

(2)取AB的中點(diǎn)加，連接。河，OS,則OM,OS,04兩兩垂直，

所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0M為x軸，以0A為)，軸，以0S為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),4(0,1,0),5(0,-1,0),Cy---j-O,S(0,0,我,

由(1)知81_1平面8/m，所以AS=(0,-1,6)是平面以汨的一個(gè)法向量,

設(shè)平面8。(7的法向量為加=(x,y,z),

(i、

因?yàn)锽S=(0,1,6),CS=---,-,V3

I22J

mBS=y+Gz=0

則m-CS=-^-x+—y+y/3z=0

.22

取z=VL則〃?=(63,百),

因此cos(m,AS)==]—°==

、\^\AS\J，+(TA+(GyxJ(拘2+(―3)2+(后5，

（四）利用空間向量求距離

15.（2022屆山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高三下學(xué)期4月月考）在直四棱柱A8CO-ASG。中，底面43C。

為正方形，AAX=2AB=2.點(diǎn)尸在側(cè)面8CC內(nèi)內(nèi)，若A。，平面3。尸，則點(diǎn)P到C。的距離的最小值為

【答案】李

【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A（l,0,2）,C（0,l,0）,8（l,l,0）,AC=（T,l,-2）,設(shè)P（X,1,Z）,

CP=（x,0,z）由于於平面吟所瞰黑二::吃°，所以x+2z=l.由于"。=0,即

CPLDC,P到CD的距離為|CP|=yjx2+Z2=yl（l-2z）2+z2=V5Z2-4Z+1,

所以當(dāng)2=44時(shí)，風(fēng)沙嚏4x|+l與即尸到8的距離的最小值為乎.

16.（2022屆北京市第五中學(xué)高三下學(xué)期三模）如圖，在三棱柱A8C-ASG中，平面ABCL平面

CC}B}B,CC乃乃是矩形，己知CG=3,ACYBC,AC=BC=2,動(dòng)點(diǎn)D在棱AA,上，點(diǎn)E在棱CC,

上，且C￡=2￡C,.

(1)求證：BCLED;

(2)若直線A8與平面DEB1所成角的正弦值為苴，求A2的值;

3DA

(3)在滿足(2)的條件下，求點(diǎn)A到平面OEq的距離.

【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜟C^B是矩形，所以8CJ.CG，

又AC_L8C,ACCC,=C,AC,CGu平面ACRA,

所以8c，平面4CGA,又。u平面ACGA，

所以3C，￡D,

(2)因?yàn)槠矫鍭BCJ?平面CCM8,平面ABC平面。。者出=3。,

ACu平面ABC,ACJ.BC,

所以ACJ■平面CG用8,又8CLCG，

所以AC,8C,CG兩兩相互垂直，以C為原點(diǎn)，C4,CB，CQ為巴孔z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),B(0,2,0),4(0,2,3),￡((),(),2),

An

設(shè)=〃042MD，則。(2,0,3/1),

/1/11

所以EB|=(0,2,1),ED=(2,0,32-2),AB=(-2,2,0)

設(shè)平面。Eq的法向量為〃，n=(x,y,z),

,\n-EB.=0(2y+z=0

則4,\,

n-ED=012x+(3/l-2)z=0

取z=2,可得是(2-32,-1,2),

設(shè)直線AB與平面OE4的夾角為6,

一—clI\lABn-6+62

則sin8=|cos(48,")|=?——n-f=..=------,

?4MW[2-34)2+5?-

cri,-6+626

所以I2―F=-T，

^(2-32)'+5-y/s3

化簡(jiǎn)可得3/12-10/1+3=0，又0W4W1,

(3)由(2)平面的法向量為〃,“=(.1,2),又4少=(0,0,—2),

設(shè)點(diǎn)A到平面OE瓦的距離為心

42S/6

則”=

|n|瓜3

所以點(diǎn)A到平面啊的距離為乎

三、最新模擬練

17.(2023屆廣西桂林市高三上學(xué)期階段性聯(lián)合檢測(cè))如圖，已知正方體A88-4B/GD的中心為。，則

下列結(jié)論中

①OA+0。與04i+OD\是一對(duì)相反向量；

②OB-0C1與OC-。8?是一對(duì)相反向量；

③OAi+OBi+0Ci+。。?與0￡>+0C+OB+是一對(duì)相反向量;

④OC-OA與OC1-OA?是一對(duì)相反向量.

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

［解析］設(shè)￡,尸分別為AD和40/的中點(diǎn),

①OA+0。=2OELJ+0D、=2OF不是一對(duì)相反向量，錯(cuò)誤；

②OB-OG=C\B與0C-OB\=gc不是一對(duì)相反向量，錯(cuò)誤；

③QA計(jì)0B?+0C計(jì)O.=-0C-OQ--OB=_（OC+OO++OB）是一對(duì)相反向量,正確;

Q）oc-0A=AC與OCi-。4=AC；不是一對(duì)相反向量，是相等向量，錯(cuò)誤.

即正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1個(gè)故選A

18.（2022屆北京市海淀區(qū)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期三模）如圖，在正方體A8CO-ASGA中,

E為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，尸為棱旦8的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線AR與直線EF相交

B.當(dāng)E為棱BC上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)E在平面A"尸的射影是點(diǎn)尸

C.存在點(diǎn)E,使得直線與直線E尸所成角為30

D.三棱錐E-W的體積為定值

【答案】D

【解析】A：由題意知，AD、〃B￡,B￡u平面B￡CB,A,D,<Z平面B,C,CB

所以AR//平面片GCB,

又EFu平面BCCB,所以4Q與EF不相交，故A錯(cuò)誤；

B：連接A。、D,RARAE.CB,,如圖,

4f

…產(chǎn)

當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EFUCB、,又所以EF_L4R,

若點(diǎn)￡在平面AQF的射影為F，則歷J■平面4。尸，垂足為尸，

所以印1AF，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則AE=AF=^,EF=6，

在乙鉆尸中，AF2+EF2AE--所以ZAFEW90",

即歷_LAF不成立，故B錯(cuò)誤；

C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系。一9z,連接BC一則4R//BC-

所以異面直線EF與AA所成角為直線EF與BC,所成角，

產(chǎn)

----

d.---

聲1------

9

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,若存在點(diǎn)E(a,2,0)(04a42)使得EF與BC,所成角為30°,

則8(2,2,0),尸(2,2,1),G(0,2,2),所以砂=(2—a,0,1),=(—2,0,2),

所以EFBCx=2a-2,又向波C；|=|研BQCOSSO。,

得|2a-2|=2&xJ(2-ay+lx*，解得a=4士百，

不符合題意，故不存在點(diǎn)E使得EF與AQ所成角為30',故C錯(cuò)誤；

D：如圖，

山等體積法可知vE-ADF=yF-ADE,

又吃.3=京,如"=gxgxADxABx",

AD.AB,B廠為定值，所以匕為定值，

所以:.棱錐E-AD廣的體積為定值，故D正確.故選D.

19.（2023屆廣東省七校聯(lián)合體高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）如圖，兩個(gè)正方形A8CO和4OEF所在平面互相

垂直，設(shè)M,N分別是AC和AE的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論正確的是（）

A.AD1MNB.MN平面COE

C.MN//CED.MN,CE異面.

【答案】ABC

【解析】由點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以A3、AD.AF所在直線為x軸、V軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正

方形A8CO和AOE尸的邊長(zhǎng)為2,如下圖：

對(duì)于A選項(xiàng),A（0,0,0）,￡>（0,2,0）,M（1,1,0）,N（0,l,I）,

則直線A。、MN的方向向量分別為AO=（0,2,0）,MN=（-1,0,1）,

因?yàn)锳Z>MN=0，所以AO_LMN，即A￡>_LMV,故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，連接CE,如下圖：

因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為4C,AE的中點(diǎn)，所以在二ACE中，MNHCE,

因?yàn)镃Eu平面C0E,且MN<Z平面COE,所以MN「平面COE,故B正確；

由選項(xiàng)B可知MN//CE,故C正確；故D錯(cuò)誤；故選ABC.

20.（2022屆青海省高三第四次模擬）手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、

智、體、美、勞各方面得到全面發(fā)展，某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地

看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合圖形,其直觀圖如圖所示，4尸=3尸=2五，AB=⑨=2AO=4,

P,Q,M,N分別是棱AB,C、E,BB-4尸的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是

【答案］名叵

15

【解析】如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?尸=4尸=20，AB=AAl=2AD=4,

所以可得尸(2,2,0),Q(0,3,5),M(2,4,2,),N(2,1,5),

所以PQ=(-2,l,5),M/V=(0,-3,3),

sPQMN122后

所以網(wǎng)網(wǎng)=爾五=十'

所以異面直線PQ與MN所成角的余弦值是漢叵.

21.（2023屆廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三上學(xué)期第一次月考）如圖，在底面是菱形的四棱錐尸-438中,

平面ABC，/ABC=60。，PA=AB=2,點(diǎn)、E,尸分別為8C,PO的中點(diǎn)，設(shè)直線PC與平面AE尸交

于點(diǎn)Q

⑴已知平面PA8c平面PCD=/,求證：AB//1.

(2)求直線AQ與平面PC。所成角的正弦值.

【解析】(1)由已知C￡)u平面PC。，A8u平面PC。，所以A8//平面PC。,

又ABi平面R4B，平面平面PC￡>=/,

所以A8/〃；

(2)山已知:ABC是正三角形，E是8c中點(diǎn)，則AE_L5C,而BC7MD,所以AE_LAD,又R4_L平面ABC。,

故以AEAOAP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

AB=2,則AE=6,E(V3,0,0),C(石,1,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),則尸(0,1,1),

AE=(G,0,0).4F=(0,1,1),PC=(6,1,一2),防=(0,2,-2).

設(shè)PQ=kPC=(?,k,-2k),則AQ=AP+PQ=(6&次,2-2外，

又共面，

所以存在實(shí)數(shù)見〃，值得AQ=〃?AE+〃AF,

2

m=—

gk=下)m3

2

B|J'k=n,解得<n=—

3

2-2k=n

22.

所以AQ=5寸

設(shè)平面尸8的一個(gè)法向量是"=(x,y,z),

n?PC=Gx+y-2z=0令y=l,則z=l,x=*^,B|Jn-(-^-,1,1),

n?PD=2y-2z=0

設(shè)直線42與平面PC。所成角為e,則

26Gj,21

^XT+3X1+3X137105

sin0=|cos<AQ,A?>|=AQn

2亞V2135

kIH---------X----------

22.(2022屆天津市耀華中學(xué)高三下學(xué)期二模)如圖，在四棱錐P-ABC。中，PA_L平面A3Q),底面ABC。

是直角梯形，其中AA/BC,ABA.AD,PA=4,AB=AD=^BC=2,E為棱BC上的點(diǎn)，且=

⑴求證：OE_L平面PAC；

(2)求二面角4—PC-。的余弦值；

(3)求點(diǎn)E到平面PC￡>的距離.

【解析】(1)因?yàn)樘??平面ABC￡>,A8,AOu平面4BCZ),

所以而ABLA。，因此可以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則有P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),E(2,1,0),

DE=(2,-1,0),AP=(0,0,4),AC=(2,4,0),

因?yàn)??！辍?AP=2x0+(-l)x0+0x4=0,OE-4C=2x2+(T)x4+0x0=0,

所以O(shè)ELPLDELAC,而PAACu平面PAC,

所以O(shè)E_L平面PAC;

(2)設(shè)平面PDC的法向量為"z=(x,y,z),

PC=(2,4,-4),PD=(0,2,-4),

mlPCm-PC=Q2x+4y-4z=0

則有n=>m=(-2,2,1),

ml.PDm-PD=02y-4z=0

山(1)可知平面PAC的法向量為OE=(2,-1,0),

/_DE-2x2-2xl2石

所以有8s5'函=同網(wǎng)(-2)P+屋方+(.I)L亍'

由圖知二面角A-PC-。為銳角，所以二面角A-PC-。的余弦值為半;

(3)由(2)可知：平面PDC的法向量為，"=(-2,2,1),

PE=(2,l,-4),所以可得：

PE-n^_|-2x2+2xl-4xl|_2

cos(PE,/n)=

產(chǎn)N”,J(-2)2+2、+Fx,2?+r+(-4)2V21

所以點(diǎn)E到平面PC3的距離為圖.cos〈PE,附=722+12+(-4)2X-^==2.

四、高考真題練

23.(2021新高考全國(guó)卷1)在正三棱柱ABC—中,45=蝴=1,點(diǎn)P滿足8。=/18。+〃83；,其中

A.當(dāng)4=1時(shí),ZVIB/的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí),三棱錐P-A/。的體積為定值

C.當(dāng)2=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得APLBP

D.當(dāng)〃=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得ABJ?平面AB/

【答案】BD

【解析】解法一：對(duì)于A,當(dāng)2=1時(shí).82=8。+〃84=3。+〃。?！杆?。/>=〃。。],因?yàn)閺?[0,1],

所以點(diǎn)P是線段eq上的動(dòng)點(diǎn)，所以△Aqp周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí),BP=+44G,所以4P=因?yàn)閹譿[0,1],所以點(diǎn)尸為線段

上的動(dòng)點(diǎn)，而B￡HBC.B,C,//平面ABC.點(diǎn)到平面\BC的距離為定值，所以，三棱錐P-A.BC的體積為定

值，故B正確.

當(dāng)4=g時(shí),BP=；BC+.取中點(diǎn)M,4G中等N.則MB+5P=〃碗，即MP=.

所以點(diǎn)尸點(diǎn)是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，易得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)都有A.P，故C錯(cuò)誤;

AC

1-1

對(duì)于D,當(dāng)〃=5時(shí),BP=ABC+-取BBrCC1中點(diǎn)為E,F,則3P=BE+4EF，即石尸=2EF，所以

乙乙

點(diǎn)P是線段EF上的動(dòng)點(diǎn).若A/，平面,則48，6尸,取BC中點(diǎn)D,可得AD1BtP,

，所以B7_L平面AB。，所以用P_LBD,所以點(diǎn)P與點(diǎn)F重合,D正確，故選BD.

解法二：易知，點(diǎn)P在矩形8CG4內(nèi)部（含邊界）.

對(duì)于A,當(dāng);I=1時(shí),BP=BC+juBB^BC+〃CG?，即此時(shí)Pe線段CC,,周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí),麗=ABC+BR=BB；+43C；，故此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線段耳G，而B'CJ/BC,BQ〃平面

A]C,則有「到平面48c的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)2=g時(shí),BP=；8C+〃6耳,取BC,B?中點(diǎn)分別為。.H,則BP=BQ+"QH，所以P點(diǎn)軌跡

為線段,不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖,A岑，°，1,尸（°,0，川，《0，g，0]則

Af=--,BP-0,-彳,4l4P.8P="（4_l）=0,所以〃=0或〃=1.故“,Q均滿足,

2\727

故c錯(cuò)誤:

11

對(duì)于D,當(dāng)〃=一時(shí),BP=ZBC+-BB,MBB],CC,<||點(diǎn)為M,N.BP=BM+AMN，所以P點(diǎn)軌跡為線

22

段MN.設(shè)P,,為,；）,因?yàn)锳所以AP=2

B1,所以

45

外-』/1小\T2/

3111

—H■—%=0=>%=，此時(shí)P與N重合，故D正確.故選BD.

42°2-02

24.（2022新高考全國(guó)卷I）如圖，直三棱柱ABC-4MG的體積為4,4ABC的面積為2&.

（1）求A到平面48。的距離;

（2）設(shè)。為AC的中點(diǎn),蝴=AB,平面ABC_L平面AB用A，求二面角4一80-。的正弦值.

【解析】（1）因?yàn)槿庵鵄BC-44C的體積丫=4,

14

所以VVA8C=§V=5，

在直三棱柱ABC—AUC中，設(shè)點(diǎn)A到平面\BC的距離為h,

由匕-&8C=匕「ABC得；S48c,h=〃=［，

所以〃=J5，

所以點(diǎn)A到平面\BC的距離為&:

(2)如圖，取A8的中點(diǎn)E,連接AE,因?yàn)锳41=A8,所以AE_L4B.

又平面ABC_L平面ABB|A，平面ABC,平面ABB/=人5,

且AEu平面ABB14,所以平面ABC,

在直三棱柱ABC-^^C,中,84±平面ABC.

由BCu平面ABC,8Cu平面ABC可得恁J_3C8用工BC,

又AE,BBq平面ABB.A,且相交，所以BC_L平面ABBXAX,

所以BC,BA,BB］兩兩垂宜，以8為原點(diǎn).直線BC,BA,BB｛分別為,r軸,y軸,z軸，建立空間宜角坐標(biāo)系,

山(1)得4￡=血,所以明=48=2.45=20,所以3c=2,

則A(0,2,0),4(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0)，所以的中點(diǎn)。(1,1,1).

則6。=(1,1,1).BA=(0,2,0),BC=(2,0,0).

/、fm-BD=x,+y,+z,=0

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量5=(%,X,4),則，

m-BA=2y}=0

取玉=1,得利=(1,0,_1),

n-BD=x24-y2+z2=0

設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量n=(9,乂，Z2)，則＜八八八，取出=1,

n-BC=2X2=0

得〃=(O,1,T).

/xmn11

則c°s"〃〉=麗［二萬(wàn)亞二

所以二面角A—BD—C的正弦值為，一（；）=乎.

25.（2022新高考全國(guó)卷2）如圖,P。是三棱錐P—ABC的高,P4=PB,A8，AC,E是心的中點(diǎn).

（1）證明：OE//平面PAC；

（2）若乙鉆0=/。80=30°,。0=3,~4=5,求二面角。一4￡—3的正弦值.

【解析】（1）連接30并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)O,連接。4、PD-

因?yàn)槭?。是三棱錐P-ABC的高，所以P。_L平面ABCAO,80u平面ABC,

所以POLAO、POA.BO.

又B4=必,所以△尸Q4三△尸。8,即。4=。3,所以ZOAB=NOBA.

又AB，AC,即ABAC=90°,所以ZOAB+ZOAD=90°.AOBA+/ODA=90°.

所以NOZM=NQ4￡>

所以AO=DO,即AO=比>=08,所以。為BD的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)EHPD,

又?！?平面P4C.u平面PAC.

所以O(shè)E〃平面PAC.

（2）如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線A8,4C分別為X軸,y軸，過點(diǎn)A與平面ABC垂直的直線為z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

因?yàn)镻O=3.AP=5,所以O(shè)A=JAF*2一po?=4

又NQ8A=NOBC=30°,=204=8,所以AD=4.AB=4如，

4c=12,所以0（26,2,0）,川46,0,0）/（2"2,3"（0,12,0）,所以“3百,1目，

則AE=卜國(guó)，|）AB=（4E0,0）,AC=（0,12,0）.

3

,、〃?AE=3V3x,+y,+—z,=0

設(shè)平面AE6的法向量為“=（》|,y,馬）,則彳-2,

〃AB=4瓜=0

令4=2,得〃=（0,—3,2）；

3

z、in-AE=3V3x+y+—c=0

設(shè)平面AEC的法向量為〃2=（%，M，Z2），則，?92,

inAC=12y2=0

取尤2=百，得帆=（G，0，-6）；

..\n-m\124\/3

設(shè)二面角C-AE-B為夕則cose===-—==——

\n\\m\V13xV3913

所以sin夕==U,故二面角。一A￡-B的正弦值為U.

1313

26.（2021新高考全國(guó)卷2）在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=y/5,QC=3.

（1）求證：平面QAD1平面ABCD；

（2）求二面角5—。。一A的平面角的余弦值.

【解析】(1)因?yàn)??！?行,CO=2,QC=3,

所以QC?=Q02+c02所以Q)，

因?yàn)榈酌鍭BCD是LE方形，所以C。，AD.

因?yàn)?>所以COJ.平面QAO,

因?yàn)镃Du平面ABC。,所以平面QAD1平面ABCD.

(2)在平面A3CO內(nèi)，過。作O77/CD,交BC于T，則OTLAO,

結(jié)合(1)中的Q。，平面A58,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則￡>(0,1,0),2(0,0,2),5(2,-1,0),故BQ=(-2,1,2),BD=(-2,2,0).

設(shè)平面QBD的法向量n=(x,y,z),

n-BQ=0-2x+y+2z=01

則(即《，取x=],則y=l,z=_

n-BD=Q—2x+2y=02

故HI

而平面的法向量為〃?=(1,0,0),

2

二面角8A的平面角為銳角，故其余弦值為

五、綜合提升練

27.如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x,平行于80的直線/在正方形EFG”內(nèi)，點(diǎn)

E到直線/的距離記為"，記二面角為A—/-P為凡已知初始狀態(tài)下x=0,d=0,則（）

A.當(dāng)x增大時(shí)，〃先增大后減小B.當(dāng)x增大時(shí)，夕先減小后增大

C.當(dāng)d增大時(shí)，8先增大后減小D.當(dāng)d增大時(shí)，e先減小后增大

【答案】C

【解析】由題設(shè)，以尸為原點(diǎn)，尸仇F