成實外教育集團高2021級高三聯(lián)考試題（二）數(shù)學（文）命題學校：成都外國語學校命題人：金鑫?方蘭英?王輝本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題）1至2頁，第II卷（非選擇題）3至4頁，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，務必將自己的姓名?考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5.考試結束后，只將答題卡交回.第I卷（選擇題）一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一?單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，解得，所以，又，所以.故選：C2.已知復數(shù)是虛數(shù)單位，若，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式加減運算和共軛復數(shù)的概念得到方程組，解出即可.【詳解】，則，解得，則其虛部為.故選：A.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為存在命題，任意變存在，范圍不變，結論相反，則命題“”的否定是“”，故選：B.4.高三某班學生每天完成作業(yè)所需的時間的頻率分布直方圖如圖，為響應國家減負政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎上減少小時，則減負后完成作業(yè)的時間的說法中正確的是（）A.減負后完成作業(yè)的時間的標準差減少B.減負后完成作業(yè)的時間的方差減少C.減負后完成作業(yè)的時間在小時以上的概率大于D.減負后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)在至之間【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方差、標準差的性質判斷A、B，由頻率分布直方圖分析減負前完成作業(yè)的時間在小時以上的概率，即可判斷C，分析減負前完成作業(yè)的時間的中位數(shù)位于之間，即可判斷D.【詳解】依題意若每天作業(yè)布置量在此基礎上減少小時，則平均數(shù)減小小時，方差和標準差均不變，故A、B錯誤；減負前完成作業(yè)的時間在小時以上的概率為，所以減負后完成作業(yè)的時間在小時以上的概率為，故C錯誤；由頻率分布直方圖可得，，所以減負前完成作業(yè)的時間的中位數(shù)位于之間，所以減負后完成作業(yè)時間的中位數(shù)在至之間，故D正確.故選：D5.在中，，則（）A. B. C. D.7【答案】D【解析】【分析】在中，直接利用余弦定理求解【詳解】在中，由余弦定理得：，所以，故選：D.6.在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使恒成立的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，利用導數(shù)求得為遞增函數(shù)，且，得到不等式的解集為，結合長度比的幾何概型的概率計算，即可求解.【詳解】設函數(shù)，可得，所以為遞增函數(shù)，且，所以，當時，；當時，，所以不等式的解集為，因為，所以不等式的解集為，由長度比的幾何概型的概率計算，可得使恒成立的概率是.故選：A.7.已知直線與圓交于兩點，則弦最短時，（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線所過定點，當⊥時，最小，根據(jù)直線垂直與斜率的關系即可得到答案.【詳解】變形為，故直線過定點，因為，則該定點在圓內，而的圓心為，半徑為，設圓心到該直線的距離為，因為，則當最大時，取得最小值，而當時，最大，即取得最小值，因為，則，故選：D8.在正方體中，、分別是棱、靠近下底面的三等分點，平面平面，則下列結論正確的是（）A.過點B.C.過點的截面是三角形D.過點的截面是四邊形【答案】B【解析】【分析】取靠近點的三等分點，的另一個三等分點，的中點，的中點，連接、、、、、、，即可證明五邊形即為過點的截面，即可判斷.【詳解】如圖取靠近點的三等分點，的另一個三等分點，的中點，的中點，連接、、、、、、，依題意可得且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可證、，所以，又、為的三等分點，所以為的中點，所以，則，所以、、、四點共面，又，所以，所以、、、四點共面，所以、、、、共面，所以五邊形即為過點的截面，平面平面，所以.故選：B.9.已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象，數(shù)形結合可得且、，從而將轉化為，令，，判斷函數(shù)的單調性，從而求出的值域，即可得解.【詳解】因為，所以，，，，又函數(shù)對稱軸為，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象，因為方程有四個不同的解，，，，且，即與有四個交點，所以，由圖可知，又，關于對稱，即，又，且，即，則，所以，則；所以，令，，由對勾函數(shù)的性質可知在上單調遞增，又，，所以，即．故選：D．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，現(xiàn)有如下說法：①函數(shù)在上單調遞減；②將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后關于軸對稱；③當時，，則正確命題的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】通過圖象求出的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象和性質逐項判斷即得.【詳解】由題意可知，，，，，，，，∵，∴，∴.①因此，當，即時單調遞增，當時，，與有交集，故錯誤；②的圖象向右平移個單位長度可得，，關于軸對稱，故正確；③當時，，，故錯誤.綜上，只有命題②正確，故選：.11.設為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點在上，，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓的定義可得,再結合余弦定理可得，然后由向量數(shù)量積定義得解.【詳解】由橢圓的定義可得,在中，由余弦定理，又可得：，即,即，即，則，故選：A.12.已知函數(shù)存在極小值點，且，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)結合零點存在性定理探討極小值點，并求出極小值，利用導數(shù)求出的解集，再利用導數(shù)求出的范圍.【詳解】函數(shù)定義域為，求導得，當時，函數(shù)在上單調遞減，，，則存在，使得，當時，，遞增，當時，，遞減，函數(shù)在取得極大值，無極小值，不符合題意；當時，令，求導得，顯然在上單調遞增，當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，于是，當，即時，，函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)無極值，當時，，而，存在，使得，當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，函數(shù)在取得極大值，又，令，求導得，函數(shù)在上單調遞減，，則，存在，使得，當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，函數(shù)在取得極小值，因此，由，得，，即有，令，求導得，函數(shù)在上單調遞減，而，即有，于是，顯然，令，求導得，即函數(shù)在上單調遞減，因此，即，又，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A【點睛】結論點睛：可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是，且在左側與右側的符號不同．第II卷（非選擇題）二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，滿足，則目標函數(shù)的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】因為，滿足，作出可行域如下所示：由，解得，即，由圖可知，當直線過點時，有最大值，且．故答案為：．14.已知向量，，若，則__________.【答案】##【解析】【分析】首先求出的坐標，再由向量垂直得到，即可求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標表示計算可得.【詳解】因為，，所以，因為，所以，解得，所以.故答案為：15.已知圓錐的高是，其軸截面為等邊三角形，則其內切球體積為__________.【答案】##【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，求出內切圓的半徑即為圓錐內切球的半徑，從而求出其體積.【詳解】作出圓錐的軸截面如下所示：其中為的中點，，依題意可知為等邊三角形且，則內切圓的半徑，所以圓錐的內切球的體積.故答案為：16.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過向圓作一條切線與漸近線分別交于點，當時，雙曲線的離心率是__________.【答案】或【解析】【分析】依題意可得切點必在漸近線（軸左側）與圓的交點，不妨令為（在漸近線上），分分別在一、二象限和二?三象限兩種情況討論，分別求出漸近線的斜率，進一步計算離心率.【詳解】雙曲線的漸近線為和，顯然漸近線與相交，過向圓作一條切線，且切線與漸近線分別交于點、，所以切點必在漸近線（軸左側）與圓的交點，不妨令為（在漸近線上），若，在中，，當分別在一二象限時（如圖1），，設的傾斜角為，則，所以；當分別在二?三象限時（如圖2），設的傾斜角為，則，所以，綜上可得雙曲線的離心率為或.故答案為：或【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是分析出切點恰好在漸近線（軸左側）與圓的交點，另外一點就是分類討論，根據(jù)交點的位置得到不一樣的圖形.三?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟17.已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)作差即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得.【小問1詳解】數(shù)列的前項和為，當時，當時，所以，又當時，也成立，數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可得，設數(shù)列的前項和為，則.18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.（1）證明：；（2）若，點為棱中點，求點到平面的距離【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質可得，由面面垂直的性質可得平面，則，所以由線面垂直的判定可得平面，從而可得結論；（2）連接、，根據(jù)，利用等體積法計算可得.【小問1詳解】因為，點是的中點，所以，因為平面平面，所以平面平面，因為四邊形為矩形，所以，因為平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】連接、，因為，，所以，又點是的中點，點為棱中點，所以，，所以，又，，因為平面，又平面，所以，所以，因為平面，平面，所以.所以，設點到平面的距離為，又，即，即，所以，即點到平面的距離為.19.為了解溫度對物質參與的某種化學反應的影響，研究小組在不同溫度條件下做了四次實驗，實驗中測得的溫度（單位：）與的轉化率（轉化率）的數(shù)據(jù)如下表所示：4555657523386574（1）求與的相關系數(shù)（結果精確到0.01）；（2）該研究小組隨后又進行了一次該實驗，其中的起始量為，反應結束時還剩余，若已知關于的線性回歸方程為，估計這次實驗是在多少攝氏度的溫度條件下進行的.（結果精確到0.1）.參考數(shù)據(jù)：.參考公式：相關系數(shù)【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計算出，帶入相關系數(shù)的計算公式，即可算出答案.（2）由線性回歸方程必過樣本中心點，即可算出的值，根據(jù)題意算出帶入回歸方程即可算出答案.小問1詳解】，所以；【小問2詳解】根據(jù)回歸直線的性質，，即，得.由條件可知，令，得，因此估計這次實驗是在的溫度條件下進行的.20.拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長．（1）求拋物線的方程；（2）設是拋物線上位于第一象限的一點，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點,,證明：直線經(jīng)過定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓和拋物線的幾何性質即可求解；（2）設點，，求出直線的方程，利用直線和圓相切,直線和圓相切分別出關于和的一元二次方程，利用韋達定理即可求出直線經(jīng)過的定點.小問1詳解】由橢圓方程可知短軸長為，∴拋物線的焦點到準線的距離，故拋物線方程為．【小問2詳解】∵是拋物線上位于第一象限的點，∴且，∴．設，，則直線方程為，即，∵直線DM：與圓E：相切，∴，整理可得，，①同理，直線DN與圓E相切可得，，②由①②得a，b是方程的兩個實根，∴，，代入，化簡整理可得，，令，解得，故直線MN恒過定點．21.已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點.（1）求的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若關于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），單調遞增區(qū)間為，，無單調遞減區(qū)間（2）【解析】【分析】（1）首先得到，再求出導函數(shù)，即可得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式求出，再利用導數(shù)求出的單調區(qū)間；（2）依題意可得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，結合（1）中函數(shù)的單調性，得到在區(qū)間上恒成立，參變分離可得在區(qū)間上恒成立，利用導數(shù)說明，即可得解.【小問1詳解】因為，所以，又，則，又函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點，所以，解得，所以，函數(shù)的定義域為，又，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以當時恒成立，即恒成立，所以在，上單調遞增.即的單調遞增區(qū)間為，，無單調遞減區(qū)間.【小問2詳解】因為不等式在區(qū)間上恒成立，因為，則，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，又，所以，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，由（1）可知在上單調遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，則，所以在上單調遞減，所以，即區(qū)間上恒成立，所以時在區(qū)間上恒成立，即對任意關于的不等式在區(qū)間上恒成立.【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．請考生在第22，23題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑.選修：極坐標與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線：．以原