2015年考研數(shù)學(xué)二真題選擇題：（1~8小題,每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。）(1)下列反常積分中收斂的是(A)2+∞1(C)2+∞1【答案】D?！窘馕觥款}干中給出4個反常積分，分別判斷斂散性即可得到正確答案。2+∞2+∞2+∞2=2因此(D)是收斂的。綜上所述，本題正確答案是D?！究键c】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—反常積分(2)函數(shù)fx(A)連續(xù)(B)有可去間斷點(C)有跳躍間斷點(D)有無窮間斷點【答案】B【解析】這是“1∞”型極限，直接有=efx在x且limx→0fx=limx→0ex綜上所述，本題正確答案是B?！究键c】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—兩個重要極限(3)設(shè)函數(shù)fx=xα(A)α-β>1(C)α-β>2【答案】A【解析】易求出f'再有于是，f'(0)存在?α>1當α>1時，limx→0β因此，f'x在x=0連續(xù)?α-綜上所述，本題正確答案是C。【考點】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)的左極限和右極限(4)設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，其 f二階導(dǎo)函數(shù)f''則曲線y=f(x)的拐點個數(shù)為 A O B (A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，除點x=0外處處二階可導(dǎo)。y=f(x)的可疑拐點是f''f''x的零點有兩個，如上圖所示，A點兩側(cè)f''(x)恒正，對應(yīng)的點不是y=fx拐點，B點兩側(cè)f雖然f''0不存在，但點x=0兩側(cè)f''(x)異號，因而(0,f(0)綜上所述，本題正確答案是C?！究键c】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)單調(diào)性，曲線的凹凸性和拐點(5)設(shè)函數(shù)f(μ,ν)滿足fx+y,yx=(A)12,0(C)-12【答案】D【解析】先求出f令μ于是f因此?f?f綜上所述，本題正確答案是D?！究键c】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(6)設(shè)D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x圍成的平面區(qū)域，函數(shù)(A)π(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x圍成的平面區(qū)域，作極坐標變換，將DD的極坐標表示為π因此D綜上所述，本題正確答案是B?！究键c】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—二重積分在直角坐標系和極坐標系下的計算。(7)設(shè)矩陣A=11112a14a2,b(A)a?Ω,d(C)a∈Ω,d?Ω(【答案】D【解析】Ax=bA是一個范德蒙德行列式，值為a-1(a-2),如果a?Ω，A≠0，rA=3，類似的，若d?Ω，則rAb=當a∈Ω,d∈Ω時，rAb綜上所述，本題正確答案是D?！究键c】線性代數(shù)-線性方程組-范德蒙德行列式取值，矩陣的秩，線性方程組求解。(8)設(shè)二次型f(x1,x2,x3)在正交變換xx=Qy(A)2y1(C)2y1【答案】A【解析】設(shè)二次型矩陣為A,則P可見e1,e2,e3都是AQ因此在正交變換x=Qy下的標準二次型為綜上所述，本題正確答案是A。【考點】線性代數(shù)-二次型-矩陣的秩和特征向量，正交變換化二次型為標準形。二、填空題：(9~14)小題，每小題4分，共24分。(9)設(shè)x=acrtant,【答案】48【解析】由參數(shù)式求導(dǎo)法dy再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得d2y=12t(1+綜上所述，本題正確答案是48?！究键c】高等數(shù)學(xué)-一元函數(shù)微分學(xué)-復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(10)函數(shù)fx=【答案】n【解析】解法1用求函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式在此處鍵入公式。f其中Cnk=ff因此f解法2利用泰勒展開f=由于泰勒展開系數(shù)的唯一性，得ln可得f綜上所述，本題正確答案是n【考點】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—高階導(dǎo)數(shù)，泰勒展開公式(11)設(shè)函數(shù)fx連續(xù)，φx=0xf【答案】2【解析】改寫φxφ由φ1=1=01可得f綜上所述，本題正確答案是2【考點】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—變限積分函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(12)設(shè)函數(shù)y=yx是微分方程y''+yx取得極值3，則y【答案】e【解析】求yxy由特征方程λ2+λ是得通解y=又已知C綜上所述，本題正確答案是e【考點】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—二階常系數(shù)齊次線性方程(13)若函數(shù)z=z(x,y)由方程ed【答案】-【解析】先求z(0,0)，在原方程中令x=0,y=0e3z=1方程兩邊同時求全微分得e令x=0,y=0dx+2dy+3dzd綜上所述，本題正確答案是-【考點】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(14)設(shè)3階矩陣A的特征值為2,-2,1，B=A2-A+E階單位矩陣，則行列式|B|=【答案】21【解析】A的特征值為2,-2,1,則B的特征值對應(yīng)為3,7,1所以|B|=21【考點】線性代數(shù)—行列式—行列式計算線性代數(shù)—矩陣—矩陣的特征值三、解答題：15~23小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)設(shè)函數(shù)fx=x+aln1+x+bxsinx,gx=kx【解析】利用泰勒公式f==當x?0時，fx~【考點】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小的比階，泰勒公式(16)設(shè)A>0，D是由曲線段y=Asinx(0≤x≤圍成的平面區(qū)域，V1,V2分別表示D繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。若【解析】V由A>0可得V=-2πA=-2πA=2πA又V1=【考點】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—定積分的應(yīng)用(17)已知函數(shù)ff求fx,y的極值【解析】由fxy''f又已知fxe得φxf對x積分得f又f0,y=所以f于是fy'x,yfyy''令fx'A=fxx''0,-1C=f由于B2-AC【考點】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—二元函數(shù)的無條件極值(18)計算二重積分Dx(x+y)dxdy其中D={【解析】因為區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，所以Dx原式=D=2=2令x=01x22-又0所以二重積分=π【考點】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—二重積分的計算(19)已知函數(shù)fx=x【解析】f'x=-1+x當x<12時，f當x>12時，f'x因為f1=0，所以fx又f12<f1=0,綜上可知，fx有且僅有兩個零點【考點】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—方程的根（零點問題）(20)已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時刻改物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質(zhì)的溫差成正比?，F(xiàn)將一初始溫度為120℃的物體在20℃恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降溫至30℃，若要將該物體的溫度繼續(xù)降至21℃，還需冷卻多長時間？【解析】設(shè)該物體在t時刻的溫度為Tt℃dT其中k為比例系數(shù)，k>0.解得T=C將初始條件T(0)=120代入上式，解得C=100將tT=100令T=21，得t=60,因此要降至21攝氏度，還需60-30=30（min）【考點】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—一階常微分方程，微分方程應(yīng)用(21)已知函數(shù)fx在區(qū)間a,+∞上具有2階導(dǎo)數(shù)，fa=0,f'x>0【解析】曲線y=fx在點(y-f解得切線與x軸交點的橫坐標為由于f'x>0，故fx又f'b>0,故x由拉格朗日中值定理得f因為f''x>0，所以f'xf由此可知x0-a>0綜上所述，a【考點】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—微分中值定理(22)設(shè)矩陣A=a10(1)求a的值；(2)若矩陣X滿足X-XA2【解析】由于A3=0A于是a由于X-X所以E-A由(1)知E-A因為E-A,E-X==【考點】線性代數(shù)—矩陣—矩陣方程(23)