第45練二項分布與正態(tài)分布

一、課本變式練

1.（人A選擇性必修三P87習(xí)題7.5T2變式）已知隨機變量X且P（X>-2）=0.8,貝I」

P（-2<X<4）=（）

A.0.6B.0.4C.0.2D.0.9

【答案】A

【解析】因為P（X>-2）=0.8,所以P（X4-2）=l-P（X>-2）=0.2,所以

P（-2<X<4）=l-2P（X<-2）=0.6,故選A.

2.（人A選擇性必修三P87習(xí)題7.5T3變式）隨機變量X服從正態(tài)分布N也,/），則P?L2（^X<H+G尸

()

附:

概率PQl一〈林O）P(ju—2(y<X</n+2(y)產(chǎn)(/L3dx+3。)

近似值0.68270.95450.9973

A.0.8186B.0.4772C.0.84D.0.9759

【答案】A

【解析】由題意可得：P（〃-2cr4XV〃+2cr）=0.9545,P（〃一b4XV〃+。）=0.6827

P（〃-2cr4X<〃+cr）=；P（〃-2<rVX<7z+2cr）+gp（〃-b4X<〃+cr）=0.8186,故選A.

3.（人A選擇性必修三P76練習(xí)T1變式）從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中有放回地取球5次，每

次取球1個，記X為取得紅球的次數(shù)，則O（X）=（）

15r20〃25-60

A.—B.—C.—D.—

772149

【答案】D

【解析】由題意得：從?個裝有4個白球和3個紅球的袋子中取出?個球，是紅球的概率為二3=35，

3+47

因為是有放回的取球，所以所以=墨，故選D

4.（人A選擇性必修三P80習(xí)題7.4T1變式）某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才

能合格.若他答每道題的正確率均為0.5,并且答每道題之間相互獨立，則他能合格的概率為.

【答案】得

【解析】某人參加考試，4道題目中，答對的題目數(shù)X滿足二項分布所以

P（X>3）=/>（X=3）P（X=4）=C：^J[1J^1

++1

二、考點分類練

（一）二項分布

1Q

5.設(shè)乂~3（4卬），其中。:且尸（x=2）=/那么P（X=1）=（）

8「16>32

A.—B.—C.—D.—

81812781

【答案】D

【解析】根據(jù)題意得P（X=2）=C*2（1-P）2=±即。2（「。）2ml卜

解得p=1或p（舍去），故P（X=l）=C：p（l_0）3=1^.故選D

6.2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會發(fā)布了15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項成果均

屬于芯片領(lǐng)域.現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項進行了解，且學(xué)生之間的

選擇互不影響，則恰好有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為（）

44八19r48

AA.-o.—C.—D.-----

92727125

【答案】A

【解析】由題意知，有3名學(xué)生且每位學(xué)生選擇互不影響，從這15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任

選1項，5項成果均屬于芯片領(lǐng)域，則：

5112

芯片領(lǐng)域被選的概率為：]=：；不被選的概率為：而選擇芯片領(lǐng)域的人數(shù)*={0,1,2,3},

.?.X服從二項分布X~2（3,',尸（X="）=C（|）j（y,那么恰好有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為

P（X=l）=C；g）f

7.（多選）如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘.，小

木釘之間留著適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰

到小木釘后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為1、2、3、4、5,

用X表示小球落入格子的號碼，則（）

12345

A.P（X=2）=；B.P（X=Z）4P（X=3）（Z=1,2,3,4,5）

C.E（X）=2D.D（X）=1

【答案】ABD

【解析】設(shè)y=x—i,依題意，y~B（4,￡],對于A選項，p（x=2）=p（y=i）=c,{gj=（,A對；

對于B選項，尸（乂=左）=尸（丫=上一1）=（2?。ā闿（人=1,2,3,4,5）,由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知。^（女=1，2,3,4,5）

中，C：最大，則P（X=&）4P（X=3X&=1,2,3,4,5）,B對；對于C選項，E（X）=E（Y）+1=4x；+l=3,

C錯；對于D選項，D（X）=￡>（Y）=4x（；）=1,D對.故選ABD.

8.（2023屆黑龍江省大慶鐵人中學(xué)2高三上學(xué)期月考）已知隨機變量X~B（6,p）,卜~2（〃,"），且

p（y>2）=1,E（x）=E（y）,則夕=.

【答案】g

【解析】由題意，x~B（6,p）,，E（x）=6p=E（y）=〃，

又尸（F22）=；,故4=2,即6。=2,解得p=g.

9.某市為提升農(nóng)民的年收入，更好地實現(xiàn)2021年精準扶貧的工作計劃，統(tǒng)計了2020年50位農(nóng)民的年收入

并制成頻率分布直方圖，如圖.

頻率

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50位農(nóng)民的年平均收入元（單位：千元）（同一數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的

中點值表示）；

（2）由頻率分布直方圖，可以認為該市農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布NJ。?），其中〃近似為年平均收入了，

近似為樣本方差52,經(jīng)計算得利用該正態(tài)分布，求：

①在扶貧攻堅工作中，若使該市約有占農(nóng)民人數(shù)的84.135%的農(nóng)民的年收入高于本市規(guī)定的最低年收入標準,

則此最低年收入標準大約為多少千元？

②該市為了調(diào)研“精準扶貧，不落一人”的政策落實情況，隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互

相獨立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于17.56千元的人數(shù)最有可能是多少？

附：x/h5?1.22；若X則尸（〃—+b卜0.6827,打必一比《X4〃+2b）,

P^-3（T<X<〃+3b）。0.9973.

【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：

x-17x0.02+18x0.09+19x0.22+20x0.33+21x0.24+22x0.08+23x0.02=20,

故估計50位農(nóng)民的年平均收入最為20千元.

（2）由題意知X~N（20,1.222）,

1AA.Q77

①因為尸（X>〃—b）=；+；-0.84135,

20-1.22=18.78時，滿足題意，即最低年收入標準大約為18.78千元；

09545

②由P（X>17.56）=P（X>〃-2o~）=0.5+.2'〃097725,

每個農(nóng)民的年收入不少于17.56千元的概率為0.97725,記1000個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的人數(shù)為J,

則4~8（1000,p）,其中p=0.97725,

于是恰好有k個農(nóng)民的年收入不少于17.56千元的事件概率為尸管=k）=C^-pk.（1-pf-k.

從而由，/,~?->1，得k<1001p,而100Ip=978.22725,

P^=k-\）Ax（l-p），

所以當0WZW978時，P《=Z-1）＜P（J=Z）,

當9794Z41000時，產(chǎn)仁=%—1）＞尸（J=Z）

由此可知，在所走訪HXX）位農(nóng)民中，年收入不少于17.56「元的人數(shù)最有可能是978人.

10.2022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林

匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市.為迎接冬奧會的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會

賽事的活動，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和"單板滑雪''兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了10

所學(xué)校進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：

人數(shù)（人）——自由式滑雪

70一一--單板滑雪

60

504341/\

40

30

20

10

olABCDEFGHIJ*學(xué)校

（1）在這10所學(xué)校中隨機選取3所來調(diào)查研究，求在抽到學(xué)校至少有一個參與“自由式滑雪”超過40人的條

件下，“單板滑雪”不超過30人的概率；

（2）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進行了多輪

測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”.則該輪測試記為“優(yōu)秀”，在集訓(xùn)測試

中，小明同學(xué)3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為1，每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果

小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達到3次，那么理論上至少要進行多少輪測試？

【解析】（1）由題可知10個學(xué)校，參與''自由式滑雪''的人數(shù)依次為27,15,43,41,32,26,56,

36,49,20,參與“單板滑雪”的人數(shù)依次為46,52,26,37,58,18,25,48,32,30,

其中參與“自由式滑雪，，的人數(shù)超過40人的有4個，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人，且“單板滑雪”的人

數(shù)超過30人的有2個.

設(shè)事件A為“從這10所學(xué)校中抽到學(xué)校至少有一個參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人”

事件B為“從10所學(xué)校中選出的3所學(xué)校中參與“單板滑雪”的人數(shù)不超過30人”

c：c；+c：C,+c：_100

則，尸（A）=

C；C；+C；C；4

P（AB）=

--120

4

所以P(B|A)=P(AB)=120.=J_

111)尸⑷10025,

120

（2）由題意可得小明同學(xué)在一輪測試中為“優(yōu)秀”的概率為P=C；6）彩,

所以小在〃輪測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)y滿組y

721

由E（y）=〃下23,Wrt>y?11.6.

所以理論上至少要進行12輪測試.

（二）正態(tài)分布

11.（2023屆江蘇省徐州市高三上學(xué)期期末）某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X（單位：g）服從正態(tài)分

布N（184,2S）.隨機抽取1罐，其凈重在179g與186.5g之間的概率為（）

(注：若尸(|X-〃|<b)=0.683,P(|X-”<2cr)=0.954,P(|X-4<3cr)=0.997)

A.0.8185B.0.84C.0.954D.0.9755

【答案】A

【解析】由題意可知,〃=184。=2.5,可得179=〃2,186.5=〃+b

凈重在179g與186.5g之間的概率為P(179Vx<186.5)=P(〃-2b<X<〃+。)

由正態(tài)分布的對稱性可知，P(〃-2b<X<〃+。)=P(|X-*<<r)+g(P(|X—〃卜2o-)-P(|X-/z|<<T))

=0.683+-(0.954-0.683)=0.8185；

2

所以凈重在179g與186.5g之間的概率為P(179<X<186.5)=0.8185.故選A.

12.(2023屆四川省南江中學(xué)高三上學(xué)期12月階段考)已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增的概

[X十g,x<1,

率為9且隨機變量4~N(〃』).則尸(0<441)等于()

[附：若則P(〃-b?x4〃+b)=0.6827,

P(/7-2CT<X</Z+2a)=0.9545.]

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

【答案】A

【解析】使〃X）在R上單調(diào)遞增的充要條件是4+141og21=0,即J4-1,故尸?4-1）=］

由于隨機變量則〃=—1,即即M=-1,A=}.

^P（-2<<<0）=P（//-o-<^<//+o-）=0.6827,

P（-3<<^<l）=P（//-2cr<^<//+2cr）=0.9545,

所以P（O<JM1）=尸（一尸（一l<j40）=gx［尸（一3港41）-尸（一24440）］

=1x（0.9545-0.6827）=0.1359.故選A.

13.（多選）（2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全國I卷）試題）已知4~N（〃,4）,則專二2~N（0,1）.某

次數(shù)學(xué)考試滿分150分，甲、乙兩校各有1000人參加考試，其中甲校成績X~N（90,302）,乙校成績

F~7V（95,2O2）,貝ij（）

A.甲校成績在80分及以下的人數(shù)多于乙校

B.乙校成績在110分及以上的人數(shù)少于甲校

C.甲、乙兩校成績在90~95分的人數(shù)占比相同

D.甲校成績在85-95分與乙校成績在90-100分的人數(shù)占比相同

【答案】AB

丫一

【解析】當X480時，色X-9?0《一，1當丫480時，4952r53，

由標準正態(tài)分布可知P（X<80）>P（Y<80）,故A正確；

X-902丫一953

當X2iio時，當ywiio時，

303204

所以p（xwiio）>ay*iio）,故B正確；

由于甲乙學(xué)校成績在90~95分的轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布對應(yīng)概率分別為P（-^<7<0）,由正態(tài)

分布對稱性知，P（-!4140）>P（04"4，），甲、乙兩校成績在90~95分的人數(shù)占比不同，故C錯誤：

46

由于甲校方差大于乙校，所以在均值附近左右兩側(cè)取相同寬度的取值區(qū)間時，轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，甲校

對應(yīng)概率小于乙校對應(yīng)概率，故D錯誤.故選AB

14.(2023屆河北省高三上學(xué)期省級聯(lián)測)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,4),且

P(X2-4X+3<0)=0.6827,則P(X<-1)=,(附:若XN3b?),則

尸(〃一b4XM〃+cr)=0.6827,P(p-2a<X<p+2a)=0.9545,P(ju-3a<X<ju+3a)=0.9973)

【答案】0.00135

【解析】又XN(〃,")，則P(〃-b4X4〃+b)=0.6827,

隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,〃)，且P(XJ4X+340)=0.6827,

即下(14X43)=0.6827，所以2-b=1,即cr=1,所〃一3b4XV〃+3cr)=0.9973，即P(-14X45)=0.9973,

所以P(-l4X42)=0.49865,所以P(X<-1)=0.5-0.49865=0.0()135.

故答案為:0.00135.

15.(2023屆福建省福州延安中學(xué)高三上學(xué)期12月檢測)某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實

踐活動”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生作為樣本進行測試，記錄他們的

成績，測試卷滿分100分，并將得分分成以下6組：［40,50)、［50,60)、［60,70).........［90,100］,統(tǒng)計結(jié)果

如圖所示:

(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3

人，記其得分在［90,100］的人數(shù)為九試求J的分布列和數(shù)學(xué)期望：

(3)以樣本估計總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認為參加知識競賽的學(xué)生的得分X近似地服從正態(tài)分布

N3b2),其中〃近似為樣本平均數(shù)，〃近似為樣本方差52,經(jīng)計算d=42.25.所有參加知識競賽的2000

名學(xué)生中，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？

參考數(shù)據(jù)：P(〃-cr<X4〃+b)=0.6827,P(〃-2cr<X4〃+2。)=0.9545,

P(〃一3b<XV〃+3cr)=0.9974.

【解析】(I)解：由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)

x=(45x0.01+55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.015+95x0.01)x10=70.5.

(2)

解：參加座談的11人中，得分在［90,100］的有人x八一=2人,

0.03+0.015+0.01

所以4的可能取值為0,1,2,

所以*=0)=與=生，P傳=1)=室13,p(”2)=隼」

'7C：55''C；,55''C：55

所以g的分布列為

g012

28243

p

555555

.??E?=0x生+1出+2x2」.

v755555511

(3)解：由(1)知，X~/V(70.5,6.52),

所以P(X>77)=P(X>〃+b)J-0,27=0［5865.

E(X)=2(X)0x0.15865=317

得分高于77分的人數(shù)最有可能是317.

16.2020年我國科技成果斐然，其中北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)7月31日正式開通.北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)

航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組成.北

斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于10米，實測的導(dǎo)航定位精度都是2~3米，全球服務(wù)可用性99%,

亞太地區(qū)性能更優(yōu).

(I)南美地區(qū)某城市通過對1000輛家用汽車進行定位測試，發(fā)現(xiàn)定位精確度X近似滿足

預(yù)估該地區(qū)某輛家用汽車導(dǎo)航精確度在口，3］的概率；

(ID(i)某地基站工作人員30顆衛(wèi)星中隨機選取4顆衛(wèi)星進行信號分析，選取的4顆衛(wèi)星中含3顆傾

斜地球同步軌道衛(wèi)星數(shù)記為y,求y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)某日北京、上海、拉薩、巴黎、里約5個基地同時獨立隨機選取1顆衛(wèi)星進行信號分析，選取的5

顆衛(wèi)星中含中圓地球軌道衛(wèi)星的數(shù)目記為4,求4的數(shù)學(xué)期望.

附：若X~N(",『)，則尸(〃一bWXW〃+b)a0.6827,P(/z-2cr<X<//+2cr)?0.9545,

尸（〃-3crWX<〃+3o■b0.9973.

【解析】（I）由易知4=|,b=g

/、00*7Q八（QG^7

...尸（14X43）=P（〃-3b<X</z+cr）?0.6827+--~-=0.6827+0.1573=0.84,

則預(yù)估該地區(qū)某輛家用汽車導(dǎo)航精確度在［1,3］的概率為0.84.

（it）（i）由題意知丫“（4,3,30）,P（Y=i）=（i=0』,2,3）,

二y的分布列為

Y0123

13065391

P

20320310151015

X變+以色+2x2

￡（r）=o--------F3X

2032031015-------10155

（ii）5個基地相互獨立，每個基地隨機選取1顆衛(wèi)星是中圓地球軌道衛(wèi)星的概率為2奈4=］4,所以5個基地

選取的5顆衛(wèi)星中含中圓地球軌道衛(wèi)星的數(shù)目J~,

4

E（^）=??/?=5x—=4.

三、最新模擬練

17.（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期期末）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,4），且

P（-1<X<2）=3P（X>5）,則P（-1<X45）=（）

A.0.5B.0.625C.0.75D.0.875

【答案】C

【解析】因為XW（2,/），P（—1<X42）=尸（24X<5）并且尸（X22）=0.5

又因為尸（T<X42）=3P（X>5）,所以P（X22）=P（24X<5）+P（X>5）=4P（X>5）=0.5,所以

P（X>5）=0.125

所以尸（24X<5）=0.5—0.125=0.375,所以P（T<X45）=0.75,故選C

18.（2023屆上海市華東師范大學(xué)第二附中高三上學(xué)期期中）設(shè)X~N3。；），Y~N（"2冠）,這兩個正

態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是（）

B.P（X<<r2）<P（X<（rt）

C.對任意正數(shù)f,P（X<t）>P（Y<t）

D.對任意正數(shù)f,P（X>t）>P（Y>t）

【答案】C

【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，

xN（內(nèi),爐）、YN（〃2，&）的密度曲線分別關(guān)于x=M、x=〃2對稱，

因此結(jié)合所給圖像可得M<〃2，

又X刈外,端）的密度曲線較yN（〃?,反）的密度曲線“瘦高”，

所以。<5<%,

:.P（X<CT2）>P（X<CTI）；

故A、B錯誤.

由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對任意正數(shù)乙

p（x</）>p（y<o.

故C正確，D錯誤.故選C.

19.（多選）（2023屆廣東省廣州市高三上學(xué)期12月月考）為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識別方法中存在的問題，

科學(xué)家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動識別系統(tǒng).規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的加個點《（4為4）的

]"1I1m

深度Z,.的均值為〃=—￡>,,標準偏差為。=、上尤（Z,.-〃）2,深度Z,展[〃-36〃+35的點視為孤立點.則

根據(jù)下表中某區(qū)域內(nèi)8個點的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）

P,6AAP4Ps凡Ea

xi15.115.215.315.415.515.415.413.4

%15.114.214.314.414.515.414.415.4

Zj2012131516141218

A.〃=16B.<7=衛(wèi)C.6不是孤立點D.G是孤立點

2

【答案】BC

【解析】由表可知2=1(20+12+13+15+16+14+12+18)=15,A錯誤；

8

°卜2。-15）2+（12-15）2+…+（18-河=叵,B正確；

V82

所以[〃-3cr,〃+3b]=15-|＞/29,15+1^9],

因為回＞5,所以15+|炳＞20,

貝iJ4=20e15—|回,15+|a],z8=18e15-|a,15+|同],

所以＜、G不是孤立點，C正確，D錯誤；故選BC

20.（多選）（2022屆湖北省襄陽市高三下學(xué)期考試）下列命題中，正確的是（）

A.已知隨機變量X服從正態(tài)分布若尸（X40）=0.2,則P（X＜2）=0.8

B.已知隨機變量*的分布列為尸（*=。=用飛。=1,2,3,,100）,貝丘=粉

C.用X表示w次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次試驗中事件A發(fā)生的概率，若

E（X）=50,D（X）=30,則p=（

4_2

D.已知某家系有甲和乙兩種遺傳病，該家系成員A患甲病的概率為不，患乙病的概率為百，甲乙兩種病

都不患的概率為777.則家系成員A在患甲病的條件下，患乙病的概率為3：

10°

【答案】ACD

【解析】對于A,因X服從正態(tài)分布N0,/）,且P（XW0）=0.2,

由正態(tài)分布的性質(zhì)知1,P(X>2)=P(X<0)=0.2,則P(X<2)=l-P(X22)=0.8,A正確;

I(X)KX)100

對于B,依題意，由分布列的性質(zhì)知ZP(X=i)=l,而ZP(X=i)=Z7；F

罩,1I、Z11、100?.,?,101,,

=4、(二-「)=4(1-加)=-^-=1，解得n4=痂，BD錯/()誤r；

MI1+1101101100

'E(X)=np=502

對于C,顯然x則有必-p)=3?！獾肅正確；

42---7

對于D,記事件M="A患甲病”，事件N="患乙病”，則尸(加)=百，尸(N)=不，II.P(MN)=—,而

P(MN)=P(M+N),

于是有「("+%)=1-尸(市/)=得，又P(M+N)=P(M)+P(N)-P(MN),從而得P(MN)=±,

1

3

所以A在患甲病的條件下，患乙病的概率為P(N|M)=4^?=10=

48-

P(M)一

15

故選ACD

21.(2023屆黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期10月月考)首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎得主，雜交水稻之父袁隆

平院士為全世界糧食問題和農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展貢獻了中國力量，某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時,

發(fā)現(xiàn)株高(單位：cm)服從正態(tài)分布N(100,102),若測量10000株水稻，株高在(110,120)的約有

株.(若XN出吟,尸(〃-<r<X<〃+cr)=0.6826,尸(〃-2b<X<〃+2cr)=0.9544)

【答案】1359

【解析】根據(jù)題意可知〃=100，。=10，所以P(90<X<110)=0.6826,尸(80<X<120)=0.9544,所以

P(110<X<120)=g[尸(80<X<120)-P(90<X<110)]=1(0.9544-0.6826)=0.1359,所以株高在(110,120)

的約有10000x0.1359=1359株.

22.(2023屆北京市高三“極光杯”跨年線上測試)設(shè)隨機變量XN(1,(T2),y=2X+l,

P{X<a)+P[Y<a)=\,則°=.

【答案】|

【解析】由于隨機變量XN(l,〃)，所以概率分布關(guān)于X=1對稱，

J.P(X<a)+P(y<a)=l=>P(X<a)+P(2X+l<a)=l=>P(X<a)+pfx<^yl^l,

所以〃+卞a-\=2,解得a5

23.（2023屆廣東省廣州市高三一模）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進行2.5至5小時的中等強度運動.己知A

社區(qū)有56%的居民每周運動總時間超過5小時，8社區(qū)有65%的居民每周運動總時間超過5小時，C社區(qū)

有70%的居民每周運動總時間超過5小時，且A8,C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為5:6:9.

（1）從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；

（2）假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量X（單位：小時），且X~N（5.5,/）.現(xiàn)從這三個社

區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率.

【解析】（1）因為三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為5:6:9,

設(shè)A8,C三個社區(qū)的居民人數(shù)為5”,6a,9a,

所以A社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為：5a-56%=2.8?,

B社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為：6?-65%=3.9?，

C社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為：9a.70%=6.3a,

該居民每周運動總時間超過5小時的概率Pt=2.8f+39*.3j065

（2）因為這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量X（單位：小時），且X~N（5.5,cr2）,

所以P（X>5.5）=0.5,由（1）知，P（X>5）=0.65,

所以P（5<X<5.5）=0.65-0.5=0.15,

因為隨機變量X服從正態(tài)分布，且關(guān)于X=5.5對稱，

所以P（5<X<6）=2P（5<X<5.5）=0.3,

所以從這三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為：

P2=C；（O.3）2（O.7）+C；（O.3）3=0.216.

24.（2022屆遼寧省大連市高考最后一模）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛

汽車進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

頻率

180230280330380430單次最大續(xù)航里程/千米

（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差S的近似值為50,根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)

航里程X近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)彳和標準差s分別作為〃、。的近似值），現(xiàn)任取一輛

汽車，求它的單次最大續(xù)航里程X€[250,400]的概率；

（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X則p（〃一成K〃+b）=0.6827,

P（〃-2向卜〃+2cr）《0.9545,P（〃一3o^k〃+3b）=0.9973）

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲

硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標有數(shù)字0、1、2、3.....20）移動，若遙控車最終

停在“勝利大本營“（第19格），則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營”（第20格）,

則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控

車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從改到4+1）；若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從

k到4+2）,直到遙控車移至U“勝利大本營”或“微笑大本營”時，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第〃（攝W19）格的概

率為P“，試證明｛巴-5"是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到0.1萬元）.

【解析】（1）

估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值為：

x=205X0.01+255X0.02+305x0.45+355x0.02+405x0.05=300;

（2）

X/V（3OO,5O2）,

，P（25噴N400）=P（〃-碑N〃+2cr）?+。?學(xué)5=0$x86

（3）

由題可知《=1,

遙控車移到第n（2<n<19）格有兩種可能：

①遙控車先到第〃-2格，乂擲出反面，其概率為ge一2；

②遙控車先到第n-1格，又擲出正面，其概率為:

...24〃419時，P"-P"T=TEI-%)，又

二當14〃419時，數(shù)歹IJ{匕-與一)首項為-g,公比為-g的等比數(shù)列，

-/>=(-1)3,,P?-P?.,=(一夕,

以上各式相加，得勺—1=(-g)+(-}'+(-：)'++(—3)"=(-g)dl—(—g)"],

二時，^=|+^(-^)",

711

...到達“勝利大本營”的概率

?設(shè)參與游戲-次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為y萬元，則丫=3或()，

丫的期望E(y)=3?片9+0-(1-69)=3一(|-；,表)=2-/，

...參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為2.0萬元

25.(2023屆廣東省東莞市高三上學(xué)期期末)現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標飛行物連

續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物與否相互獨立.已知射擊訓(xùn)練有4,B兩種型號的炮彈，對于A

型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物的概率均為p(0<p40.4),且擊中一彈目標飛行物墜毀的概率為0.6,

擊中兩彈目標飛行物必墜段；對子8型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物的概率均為g且擊中

一彈目標飛行物墜毀的概率為04,擊中兩彈目標飛行物墜毀的概率為0.8,擊中三彈目標飛行物必墜毀.

(1)在一次訓(xùn)練中，使用8型號炮彈，求q滿足什么條件時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標飛行物的概

率不低于0.936；

(2)若P+q=l,試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號炮彈還是B型號炮彈使得目標飛行物墜毀的概率更大？并

說明理由.

【解析】(1)因為每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物與否

相互獨立，

所以在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)3型號炮彈，用X表示命中目標飛行物的炮彈數(shù)，則X-5(3,q)(X服從二

項分布)，

則尸(X21)=l-P(X=0)=l-CQ°(l-4)320.963,

QP1-(1-^)3>0.936,則(1-4)340.064=0.43,即l-g40.4,則qN0.6,

又0<”1,故0.6“<1,

所以當0.644<1時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標飛行物的概率不低于0.936.

(2)在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)A型號炮彈，用y表示命中目標飛行物的炮彈數(shù)，則y3(3,p)(y服從二

項分布)，

記事件C為“使用A型號炮彈使得目標飛行物墜毀“，事件。為“使用3型號炮彈使得目標飛行物墜毀”，

則P(C)=0.6xP(Y=1)+P(r>2)=0.6xC>(l-p)2—p)+C^3

=1.8/?(1—p)2+3/?2(l-/?)+/?3=-2p+/J2)+3/72-3/?3+/?3

=-0.2/?3-0.6/?2+1.8p,

P(￡>)=0.4P(X=1)+0.8P(X=2)+P(X=3)=0.4C；q(l—蘇+0.8C^2(1一g)+C；/

=1.2q(l—g)~+2.4q~(l—q)+/=1.2q(l—2q+q-)+2.4q--2.4〃'+q'

=-0.2^3+1.217，

因為。+4=1，所以4=1一。，

則P(C)-P(￡>)=-0.2p3-0.6p2+1.8p+0.2(l-P?-1.2(1-p)

=-0.2p3-0.6p2+1.8/2+0.2(l-3p+3p2-^3)-1.2+1.2^

=-0.4/?3+2.4/?-l,

令/(P)=-04p3+2.4p-l(0<p<0,4),則r(p)=-1.2p2+2.4,

令f(p)>0,即一1.2/+2.4>0,則p2<2,得-母<p<0,

又0<p40.4,所以，(p)>0恒成立，

所以/(P)在(0,0.4］上單調(diào)遞增，

又了(0.4)=-0.44+2.4x0.4-l=-0.0256+0.96-1<0,則f(p)</(0.4)<0,

故P(C)—P(O)<0,即P(O<P(D),

所以使用B型號炮彈使得目標飛行物墜毀的概率更大.

四、高考真題練

26.(2022新高考全國II卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,/),且P(2<X<2.5)=0.36廁

P(X>2.5)=.

【答案】0.14.

【解析】因為xN(2,〃)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.

五、綜合提升練

27.已知隨機變量X的分布服從XB(n,p),記〃〃,〃)=P(x="-l)+P(x=〃)，記〃％p)在pe[0,l]上

的最大值為尸(〃)，若正整數(shù)“，人滿足a>6>2()19,則尸(。)和尸㈤的大小關(guān)系是()

A.F(a)>F(b)B.F(a)^F(b)

C.F(a)<F(b)D.無法確定

【答案】B

【解析】P(x=k)=C^l-p)n-kpk,

f(n,p)=P(x=n-l)+P(x=n)=C^'(l-p)pn-'+C；；(l-p)°p"=(l-n)p"+np"~',

設(shè)g(p)=(l-〃)P"+叩i，pe[0,l]，g'(P)="(l-〃)"T(pT)，

當”=1時，g(p)=l，故*1)=1,

當〃22時，n(l-w)<0,pn~2>0,p-l<l,故g'(p)20,

所以g(p)在(0,1)上遞增,所以尸(")=g(l)=l-"+”=l.

故尸(〃)=1,所以尸(a)=*b)=l,故選A

28.(多選)己知隨機變量服從若E(X)=30,D(X)=20,貝=：

B.已知尸(BA)=0.34,P(8)=0.71,則P(癡)=0.37

C.設(shè)隨機變量4服從正態(tài)分布N(0,l),若P《>1)=",則；-p

D.某人在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為X,X~B(10,0.8),則當X=8時概率最大

【答案】BCD

【解析】對于選項A：隨機變量服從二項分布B[n,p),E(X)=30,X)=20,可得叩=30,叩(1-p)=20,

則P=g,選項A錯誤；

對于選項B：A+久為必然事件，所以B=B(A+4)=BA+BA,而54與B司互斥,

，P（B）=尸（3A）+P（8A）nP（8A）=P（8）-尸（&4）=0.71-0.34=0.37,選項B正確；

對于選項c：隨機變量&服從正態(tài)分布N（O』），則圖象關(guān)于y軸對稱，若>1）=。，則p（o<j<1）=g-p,

P（-l<J<O）=P（O<J<l）=；-p,選項c正確；

對于選項D：因為在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為X