高考小題突破4空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積考點一空間幾何體的三視圖例1(1)(2023貴州銅仁二模)用若干個棱長為1的正方體搭成一個幾何體,其正視圖、側(cè)視圖都如圖所示,則這個幾何體體積的最小值為(

)A.5 B.7

C.9

D.11A解析

幾何體如圖所示,注意調(diào)整小正方體的位置,使所得幾何體的體積盡可能的小.由圖易知,該幾何體體積的最小值為5.故選A.(2)(2023四川宜賓模擬)已知某四棱錐的三視圖如圖所示,其正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形,則該四棱錐最長的棱長是(

)D解析

依題意,還原三視圖得四棱錐的直觀圖,如圖所示.其中底面ABCD是邊長為1的正方形,PC⊥平面ABCD,且PC=1.解題技巧

解決三視圖問題的解題思路

由直觀圖確定三視圖(1)要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認.(2)要熟悉常見幾何體的三視圖由三視圖還原到直觀圖(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀對點訓(xùn)練1(1)(2023四川成都模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體是下面的(

)C解析

根據(jù)正視圖可知A,B錯誤,根據(jù)俯視圖可知D錯誤,結(jié)合三視圖可知C符合題意,故選C.(2)在三棱錐P-ABC中,底面ABC是銳角三角形,PC垂直于平面ABC,若取垂直于平面PAC的方向為正視圖的方向,其三視圖中正視圖和側(cè)視圖如圖所示,則棱PB的長為

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考點二空間幾何體的表面積和體積考向1空間幾何體的側(cè)面積和表面積例2(1)(2023山東濰坊一模)圓錐的底面半徑為1,側(cè)面展開圖是一個圓心角為60°的扇形.把該圓錐截成圓臺,已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合,圓臺的上底面半徑為,則圓臺的側(cè)面積為(

)C(2)一個六面體的上、下底面互相平行,且均為正方形,其三視圖如圖所示.其中正視圖與側(cè)視圖為全等的等腰梯形,兩底的邊長分別為1和3,高為4,則該六面體的表面積為

.

解題技巧

求幾何體表面積的方法

基本思路將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題,即空間圖形平面化分割法求不規(guī)則幾何體的表面積時,通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體、球,先求這些柱、錐、臺體、球的表面積,再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積對點訓(xùn)練2(1)如圖所示,網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,粗線所畫為一個幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(

)B(2)(2023湖南邵陽一模)一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓,則該圓錐的表面積為(

)A考向2空間幾何體的體積例3(1)(2022全國甲,文4)如圖,網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為(

)A.8 B.12

C.16 D.20B解析

(1)該多面體的直觀圖如圖所示,多面體是一個正方體和一個三棱柱的組合體,所以多面體的體積為V=2×2×2+×2×2×2=12,故選B.B解題技巧

求空間幾何體的體積的常用方法

公式法對于規(guī)則的幾何體的體積,可直接利用體積公式求解等積法等積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形,通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法,多用來解決錐體的體積,特別是三棱錐的體積割補法求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體,以易于求解對點訓(xùn)練3(1)(2023陜西西安名校聯(lián)考)已知一平面截某旋轉(zhuǎn)體,截得的幾何體的三視圖如圖,則截得的幾何體的體積為(

)A(2)(2023新高考Ⅱ,14)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為

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28解析

如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.點O',O分別為正四棱臺ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,點H',H為垂足.由題意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知△PO'H'∽△POH,所以

,解得PO=6,所以O(shè)O'=PO-PO'=3,所以該正四棱臺的體積是考點三球與幾何體的切、接問題考向1外接球例4(1)(2022新高考Ⅱ,7)已知正三棱臺的高為1,上下底面的邊長分別為,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(

)A.100π

B.128π

C.144π

D.192πA(2)(2023全國乙,文16)已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=

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2解題技巧

求多面體的外接球半徑的技巧

解題依據(jù)球的性質(zhì):任何直角所對的棱必然是球的直徑補形法側(cè)面為直角三角形,或正四面體,或?qū)庀嗟?或線面垂直的模型,可以還原到正方體或長方體模型中去求解定義法到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心,方法是先確定有特殊底面的外接圓的圓心,再過圓心作垂直此面的垂線,則球心一定在此垂線上,最后根據(jù)其他頂點確定球心的準確位置,列關(guān)系式求解對點訓(xùn)練4(1)(2023甘肅一模)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1=2,其外接球的體積為36π,則此長方體的表面積為(

)B(2)(2023陜西榆林三模)在三棱錐A-BCD中,AB⊥BC,BC⊥CD,CD=2AB=2BC=4,二面角A-BC-D為60°,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為(

)A.16π

B.24π

C.18π

D.20πD解析

如圖所示,設(shè)點E,F,G分別是BC,AC,BD的中點,則EF∥AB,EG∥CD.因為AB⊥BC,BC⊥CD,所以BC⊥EF,BC⊥EG,則二面角A-BC-D的平面角為∠FEG=60°,且BC⊥平面EFG.又因為EF=AB=1,EG=CD=2,所以考向2內(nèi)切球例5(2023河南開封模擬)在三棱錐A-BCD中,△ABC和△BCD都是邊長為2的正三角形,當三棱錐A-BCD的表面積最大時,其內(nèi)切球的半徑是(

)A解析

如圖所示,設(shè)三棱錐A-BCD的表面積為S.則S=S△ABC+S△BCD+S△ABD+S△ACD=+2××BA×BD×sin∠ABD=4+8sin∠ABD,當∠ABD=90°,即AB⊥BD時,表面積最大為8+4.此時AD=4.過點A作BC的垂線,垂足為點E,連接ED.因為△ABC和△BCD都是正三角形,解題技巧

解決內(nèi)切問題的思路

基本步驟(1)抓切點:要認真分析圖形,明確切點的位置;(2)作截面:作出合適的截面圖;(3)定關(guān)系:確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系組合體問題(1)球與旋轉(zhuǎn)體的組合,通常作它們的軸截面解題;(2)球與多面體的組合,通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖對點訓(xùn)練5(2023河北石家莊一模)已知圓臺的上、下底面圓的半徑之比為,側(cè)面積為9π,在圓臺的內(nèi)部有一球O,該球與圓臺的上、下底面及母線均相切,則球O的表面積為(

)A.3π B.5π

C.8π D.9πC解析

設(shè)圓臺的上底面圓的半徑為r,則下底面圓的半徑為2r,母線長為l.如圖所示