第4講圓錐曲線的綜合問題專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考情分析1.圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常見的熱點(diǎn)題型有范圍、最值

問題，定點(diǎn)、定直線、定值問題及探索性問題.2.以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大.母題突破1范圍、最值問題

(2023·全國甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝

.(1)求p；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，

＝0，求△MFN面積的最小值.母題思路分析?聯(lián)立方程利用弦長求p?設(shè)直線MN：x＝my＋n和點(diǎn)M，N的坐標(biāo)?利用

＝0，得m，n的關(guān)系?寫出S△MFN的面積?利用函數(shù)性質(zhì)求S△MFN面積的最小值(1)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，即2p2－p－6＝0，解得p＝2(負(fù)值舍去).(2)由(1)知y2＝4x，所以焦點(diǎn)F(1,0)，顯然直線MN的斜率不可能為零，設(shè)直線MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0?m2＋n>0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，將y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，所以△MFN的面積

(2023·武漢模擬)已知橢圓C：

＋y2＝1，橢圓C的右頂點(diǎn)為A，若點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為

，求△APQ面積的最大值.子題1易知直線AP與AQ的斜率同號，所以直線PQ不垂直于x軸，故可設(shè)直線PQ：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，即4k2＋1>m2，化簡可得20(kx1＋m)(kx2＋m)＝(x1－2)(x2－2)，即20k2x1x2＋20km(x1＋x2)＋20m2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4，整理得6k2＋mk－m2＝0，所以m＝－2k或m＝3k，所以直線PQ：y＝k(x－2)或y＝k(x＋3)，因為直線PQ不經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)，所以直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(－3,0)，即m＝3k.所以直線PQ的方程為y＝k(x＋3)，易知k≠0，因為Δ>0，且m＝3k，

(2023·深圳模擬)已知雙曲線C：x2－y2＝1，設(shè)點(diǎn)A為C的左頂點(diǎn)，若過點(diǎn)(3,0)的直線l與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且直線AP，AQ與圓O：x2＋y2＝1分別交于M，N兩點(diǎn)，記四邊形PQNM的面積為S1，△AMN的面積為S2，求

的取值范圍.子題2如圖所示，設(shè)直線lPQ的方程為x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得(t2－1)y2＋6ty＋8＝0，因為直線l與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn)，解得－1<t<1，設(shè)AP：x＝m1y－1，AQ：x＝m2y－1，且|m1|>1，|m2|>1，即m1·m2＝－2，所以|m1|·|m2|＝2，因為f(n)在區(qū)間[4,5)上單調(diào)遞增，所以f(n)的取值范圍為[9，＋∞)，規(guī)律方法求解范圍、最值問題的常見方法(1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系.(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系.(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式.(4)利用基本不等式.1.(2023·佛山模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

，N(1,0)，Q為線段MN上異于M，N的一動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；

跟蹤演練∴|PM|＝2|QM|，|PN|＝2|QN|，∴|PM|＋|PN|＝2(|QM|＋|QN|)＝2|MN|＝4，∴點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，∴b2＝a2－c2＝3，(2)點(diǎn)A，C是曲線E上兩點(diǎn)，且在x軸上方，滿足AM∥NC，求四邊形AMNC面積的最大值.如圖所示，連接CO，并延長交橢圓E于點(diǎn)B，連接BM，AN，CM，由橢圓對稱性可知|OC|＝|OB|，又|OM|＝|ON|，∴四邊形CMBN為平行四邊形，∴CN∥BM，|CN|＝|BM|，∴S△BOM＝S△CON且A，M，B三點(diǎn)共線，∴四邊形AMNC的面積S＝S△ACM＋S△COM＋S△CON＝S△ACM＋S△COM＋S△BOM＝S△ABC，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，又AM∥NC，∴點(diǎn)C到直線AB的距離即為點(diǎn)N到直線AB的距離，2.(2023·溫州模擬)已知拋物線C1：y2＝4x－4與雙曲線C2：

＝1(1<a<2)相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是C2的右焦點(diǎn)，直線AF分別交C1，C2于C，D(不同于A，B點(diǎn))兩點(diǎn)，直線BC，BD分別交x軸于P，Q兩點(diǎn).(1)設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，求證：y1y2是定值；由A(x1，y1)，C(x2，y2)是直線AF與拋物線C1：y2＝4x－4的兩個交點(diǎn)，顯然直線AF不垂直于y軸，點(diǎn)F(2,0)，故設(shè)直線AF的方程為x＝my＋2，所以y1y2＝－4為定值.由(1)知B(x1，－y1)，直線BC的斜率為令y＝0，得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)消去x得(4m2－m2a2－a2)y2＋4m(4－a2)y＋(4－a2)2＝0，4m2－m2a2－a2≠0，且Δ＝16m2(4－a2)2－4(4－a2)2·(4m2－m2a2－a2)＝4a2(m2＋1)(4－a2)2>0，專題強(qiáng)化練12(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；12設(shè)橢圓C的半焦距為c>0，12(2)過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的取值范圍.12當(dāng)直線l的斜率不存在時，則l：x＝0，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，消去y得(2k2＋1)x2＋4kx－4＝0，12則Δ＝(4k)2－4(2k2＋1)×(－4)＝16(3k2＋1)>0，12122.(2023·鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線E：

＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，離心率為2，且過點(diǎn)P(2,3).(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；12①②又c2＝a2＋b2，③12(2)設(shè)過原點(diǎn)O的直線l1在第一、三象限內(nèi)分別交雙曲線E于A，C兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l2在第二、四象限內(nèi)分別交雙曲線E于B，D兩點(diǎn)，若直線AD過雙曲線的右焦點(diǎn)F，求四邊形ABCD面積的最小值.12由雙曲線的對稱性，知OA＝OC，OB＝OD，所以四邊形ABCD為平行四邊形，所以S四邊形ABCD＝4