16四月2024第8章3二重積分的習題課（二）二重積分的計算1

、直角坐標系中(1)積分區(qū)域D的類型：X—型區(qū)域，Y—型區(qū)域,一般區(qū)域分劃。oabxyDyoxdc2積分區(qū)域的不等式表示的是二重積分化為二次積分確定積分限的基本依據(jù)。(2)積分順序的確定先積y還是先積x，要結合被積函數(shù)f(x,y)及積分區(qū)域兩個方面的特點加以考慮。如僅從積分區(qū)域的特點看，D是X—型區(qū)域時先積y；D是Y—型區(qū)域先積x。首先是“能積出”，其次是“易積出”。D既是X—型區(qū)域又是Y—型區(qū)域時,選定限時不需分塊或分塊較少的積分順序。3oabxyDyoxdc4(3)交換積分順序2、利用極坐標計算二重積分由所給的二次積分的順序及積分限，確定積分區(qū)域D（畫出圖形），再按新的積分順序?qū)用新的不等式表出，即定出新的積分限。(1)積分順序通常是先r后

(2)D的極坐標表示5如D的邊界是由直角坐標方程:y=f(x)給出，通?？蓮膸缀我饬x去確定D的極坐標表示（圖形是重要的）或利用x=rcos

，y=rsin

進行變換。OxDOxDoxD67（三）有關二重積分的對稱性的應用1、若D關于y軸對稱其中D1是D的右半?yún)^(qū)域即當(x,y)∈D時，必有(

x,y)∈D，則82、若D關于x軸對稱D1是D的上半部分區(qū)域即當(x,y)∈D時，必有(x,

y)∈D，則93、若D關于原點對稱，即當(x,y)

D時，必有(

x,

y)

D，則其中D1是D的上半部分（或右半部分）區(qū)域。10（四）有關二重積分的一些證明題4、若D關于直線y=x對稱，即當(x,y)∈D時，必有(y,x)∈D，則中值定理、變上限積分、換元等11y12xo因為在D2內(nèi)部f(x,y)

0;所以有I3

I1

I2

在D2外部f(x,y)<01213例3計算下列二重積分解(1)D的圖形如右。應先積y14應先積x15解yo2ay=y(x)x例41617y=xy=

xD關于x軸對稱，被積函數(shù)關于y為偶函數(shù)。用直線y=x、y=

x、y=0將D分成四個小區(qū)域。D2D4D1D3o

1xy21例5計算18y=xy=

xD2D4D1D3o

1xy2119解法一利用對稱性。D1D2D1關于y軸對稱D2關于x軸對稱作曲線y=－x3，將區(qū)域D分成兩部分D1和D2y

1

o

1x

因為連續(xù)函數(shù)xsinyf(x2+y2)關于變量x、y分別都是奇函數(shù)，x關于變量x是奇函數(shù)，所以有例620D1D2y

1

o

1x

21解法二設F(u)是f(u)的一個原函數(shù)，=0（被積函數(shù)為奇函數(shù)）y

1

o

1x

22例72324證明

選擇積分區(qū)域如右Dxy例825例9設f(x)是[0，1]上的正值連續(xù)函數(shù)，且單調(diào)減少，求證證明在題設條件下，xy26將上式中的x、y對換，有xy由于f(x)單調(diào)減且正值，知有所以I

0，即(1)式成立。27解

D的圖形如下,將D分成三個部分區(qū)域。例102829D2aOaxy例11計算下列二重積分30D2aOaxy31DoxyR32DoxyR33證明區(qū)域D如圖所示。將所給二次積分寫成二重積分，有

再將所給的二次積分中x、y對換xyD例1234xyDD

3