三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)河源市河源中學(xué)鐘少輝三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+ex+d（a豐0）是中學(xué)階段一個(gè)重要的函數(shù)，已經(jīng)成為高考的高頻考點(diǎn)。本文研究了三次函數(shù)的圖象，并且得到它的幾個(gè)性質(zhì)，以及例說性質(zhì)的應(yīng)用。已知三次函數(shù)：y=ax3+bx2+ex+d（a豐0）定義域（-8,+s）貝Iy'=3ax2+2bx+e,y"=6ax+2b。由y'=0得3ax2+2bx+e=0 （1）依一元二次方程根的判別式知：1.1若A=4b2-12ae>0,即b2>3ae。則方程（1）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根x,x，即三次函數(shù)必有兩個(gè)駐點(diǎn)12x,x （這里不妨設(shè)x>x）,且y'=3a（x-x）（x—x）。由函數(shù)極值的判定定理則有：12 2 1 1 2a>0當(dāng)xe(—?,x )時(shí)f'(x)>0 , f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)xe(x ,x )時(shí)f,(x)<0 , f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)1 12xe(x,+s)時(shí)f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.2駐點(diǎn)即為極值點(diǎn),且在兩個(gè)駐點(diǎn)中值較小的一個(gè)點(diǎn)上取得極大值，在值較大的一個(gè)點(diǎn)上取得極小值，且-b±bb2-3aeTOC\o"1-5"\h\zx,= 。12 3aHoa<0bxe(bxe(-8,—-)時(shí)，f(x)<0，3a由以上討論知：x+x=——，而由y"=0得x=——,因而：y"=6a(x+—),當(dāng)a〉0,123a 33a 3a曲線是■（向下凹）。xe（-旦,+8）時(shí)，f"（x）>0曲線是（向上凹）。當(dāng)a<0,xe（-8,-旦）時(shí)，f"（x）>0,曲3a 3a線是（向上凹），xe（-匹,+8）時(shí)，f〃（x）<0曲線是?（向下凹）。3a所以，無論a的正負(fù)，x為曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且x=xi上3 323+bx3+bx2+ex+d，當(dāng)b2>3ae時(shí)，其圖形的一般形狀見圖1.1o2若A=4b2-12ae=0，即b2=3ae，則由a>0by〃=6a(x+—),y〃=0by〃=6a(x+—),y〃=0,

3a得x=oa>0,xe(8,b)時(shí)，f"(x)<0,曲線是.(向下凹)。xe(-b,+8)時(shí)，

33a 3a 3af"(x)>0曲線是(向上凹).qV0,xe(—8,—b-)時(shí)，f"(x)>0，曲線是(向上凹)，xe(—b,+s)時(shí)，f"(x)<03a 3a曲線是■(向下凹)。故對(duì)于三次函數(shù)y=ax3+bx2+ex+d(a豐0),若b2=3ac有且僅有一個(gè)駐點(diǎn)，則該點(diǎn)一定是曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)標(biāo)1。1。3A=4b2—12ac<0圖2單一型圖象即b2<3ac，則由二次函數(shù)的性質(zhì)：a>a>0,f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。a<0，f'(x)<0,TOC\o"1-5"\h\z函數(shù)無駐點(diǎn)，也無極值點(diǎn).由y〃=0.得x=—b，y〃=6a(x+b))3 3a 3aa>0曲線在(-8,-與內(nèi)是?(向下凹)，在(—b,+8)內(nèi)是(向上凹)。3a 3aa<0曲線在(—b,-8)內(nèi)是..(向上凹)，在(—旦,+8)內(nèi)是..(向下凹)。x=--仍是曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).3a 3a 33a故對(duì)于三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d若b2<3ac時(shí)，其圖形形頭見圖3。a<0圖3單一型圖象性質(zhì)1函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a豐0)，若a>0,當(dāng)A<0時(shí) f(x)是增函虬當(dāng)A>0時(shí)，其單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,x)和,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間是(x,x)；1 2 1 2若a<0,當(dāng)人<0時(shí)ff)是減函數(shù)；當(dāng)A>0時(shí)，其單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,x)和,+8)，，單調(diào)遞增區(qū)間是(x,x).1 2 1 2推論函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a豐0)當(dāng)A<0時(shí)不存在極大值和極小值：若a>0,當(dāng)A>0時(shí)，有極大值f(x)、極小值f(x)；若a<0,當(dāng)A>0時(shí)，有極大值f(x)、極小值f(x).根據(jù)a和A的不同情況，其圖象特征分別為:0 0f(x) =max{f(m),f(x),f(n)};max 0f(x) =min{f(m),f(x),f(n)};min 0由函數(shù)f(x)圖象易知，f(x)在xe[m,n]上的最值出現(xiàn)在x=m,x=x,x=n處0性質(zhì)3任何三次函數(shù)曲數(shù)y=ax3+bx2+ex+d(a豐0)都存在唯一拐點(diǎn)，并且曲線關(guān)于拐點(diǎn)對(duì)稱，即經(jīng)坐標(biāo)變換后，都可以將曲線所表示的函數(shù)化為奇函數(shù)。證明為方便起見，不妨設(shè)y=ax3+bx2+ex+d(a>0)。，日 ，口 b ,日求導(dǎo)，得y'= 3ax2+2bx+c,y"=6ax+2b.令y"=0，得x0 ——^^，將x代入y=ax3+bx2+ex+d，得,b , ，/ b、 ,b. 22b3-9abe+27a2dy=a(——)3+b(——)2+e(――)+d= 0 3a 3a 3a 27a2當(dāng)xe(—8,x)時(shí)，y"<-；當(dāng)xe(x,+s)時(shí)，y">00...點(diǎn).，(x,y)=(-b,2b3-9阪+27a2d)是y=皿+bx2+ex+d的唯一拐點(diǎn)。00 3a 27a2作代換Jx=x+x0，代入原曲線方程得y=y+y0TOC\o"1-5"\h\zY+y=a(X+x)3+b(X+x)2+e(X+x)+d=00 0 0b b bx 1八a(X )3+b(X )2+e(X )+d=ax3 (b2—3ae)X+y,3a 3a 3a 3a 0Y=aX3——(b2-3ae)X.它是一個(gè)關(guān)于XOY為坐標(biāo)系的奇函數(shù)，該函數(shù)表示的曲線對(duì)稱于點(diǎn)3aO，(x,y)，即原曲線y=ax3+bx2+ex+d(a00)關(guān)于拐點(diǎn)對(duì)稱.00推論函數(shù)f(x)=ax3+bx2+ex+d(a00)是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是(-2,f(——))3a 3a證明設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+ex+d(a豐0)的對(duì)稱中心為(m， n)。按向量a=(-m,-n)將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)y=f(x+m)-n是奇函數(shù)，所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0，化同得(3ma+b)x2+am3+bm2+em+d-n=0,上式對(duì)％eR恒成立，故3ma+b=0,m=—丁.所以n=am3+bm2+cm+d=f(一—)，函數(shù)的對(duì)稱中心是3a 3a(——,f(——))，可見，y=f(x)圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的對(duì)稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)。3a 3a性質(zhì)4直線與三次函數(shù)圖象相切，切點(diǎn)唯一。證明設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a豐0)。曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))處的切線方程為：y—f(t)=f(t),(x—t)即y=(3at2+2bt+c)x—2at3-bt2+d，假設(shè)l與曲線y相切，切點(diǎn)不唯'一'。不妨設(shè)l與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)A(x,f(x)),B(x，/(x))，其中x豐x。TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2 12所以3ax2+2bx+c=3ax2+2bx+c11 22—2ax3—bx2+d=—2ax3—bx2+d11 22由于x產(chǎn)x2，由①得3a(x1+x2)+2b=0即b=-3a(x1+x2) ③由②得2a(x2+xx+x2)+b(x+x)=0 ④1 12 2 1 2將③代入④得(x—x)2=0，所以x=x，與假設(shè)矛盾.12 1 2所以原命題得證！性質(zhì)5 三次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的切線存在情況。設(shè)P(x,y)是f(x)圖象上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線有以下兩00種情況：TOC\o"1-5"\h\z(1)以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線有一條。方程為y—y=f(x)(x—x)；0 00(2)以不同于點(diǎn)月的點(diǎn)M(x',y')為切點(diǎn)并過點(diǎn)月的切線，方程為因切線過點(diǎn)P，所以y—y，=f(x')(x—x'),00 0 0 0 0 0化簡(jiǎn)得：2ax'2+(b—ax)x'—(ax2+bx)=0,A=(b—ax)2+8a(ax2+bx)=(3ax+b)2,當(dāng)x=——時(shí)，解得x'=x(舍去)，0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3a 0 0即x=—b時(shí)這種切線不存在；當(dāng)x豐一旦時(shí)，解得x-x(舍去)…'=—b—%，即x。一b時(shí)這種切線存0 3a 0 3a 00 0 2a2 0 3a在1條。于是有:當(dāng)點(diǎn)P是拐點(diǎn)(即x=—b)時(shí)，過點(diǎn)P的切線有且僅有1條，即以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線；當(dāng)點(diǎn)P不是0 3a拐點(diǎn)(即x。一b)時(shí)，過點(diǎn)P的切線有且僅有2條,且它們的切點(diǎn)分別為點(diǎn)P和點(diǎn)M(—A—4f(—b—%).0 3a 2a2 2a2例1.2010年高考湖北卷文科壓軸題第21題：設(shè)函數(shù)f(x)=-x3—ax2+bx+c,其中a〉0，曲線y=f(x)在P(0f(0))處的切線方程為y=1.(1)確定b,c的值;32x2。x2時(shí),f1(x1)豐f'(x2).⑵設(shè)曲線yx2。x2時(shí),f1(x1)豐f'(x2).解(1)略(2)由f(x)=3x3-解(1)略(2)由f(x)=3x3-ax2+1，得f'(x)=x2-ax由于點(diǎn)(,，于(t))處的切線方程為y-f(t)=f(t)(%一),而點(diǎn)(0。2)在切線上，所以2一f(t)=f(t)'(-1),化簡(jiǎn)得313-i12+1=0,即｛滿足的方程為313-112+1=0下面用反證法證明：假設(shè)f(x)=f(x),由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(X，f(x))及(x，f(x))處的切線都過點(diǎn)(0。2),則下列等式成立：x2-ax=x2-ax③12 2由③得x+x=a.12由①一②得x2+xx+x2=1 12 2)2-xx=a2-x(a-x)=x2-ax+a2=(x11 1a3 3--)2+—a2>—a2.12 4 4故由④得x此時(shí)x=a與x中x22 1 2矛盾。所以f(x)豐f(x)。例2已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(-8,0)上是增函數(shù)，在［0.2］上是減函數(shù)，且方程f(x)=0有三個(gè)根,它們分別為a、2、P。(1)求c的值；(2)求證：f(1)>2(3)求Ia-它們分別為a、解(1)f'(x)=3ax2+2bx+c，由題意可得：x=0為f(x)的極值點(diǎn)，二f，(0)=0,「.c=0.(2)令f(x)=3x2+2bx=0，得x=0,x???/(x)在(f0)上是增函數(shù)，在［0.2］上是減函數(shù)a-2b>2.即b<-3.又;(2)=0,a8+4b+d=0,二d=-8-4b.二f(1)=1+b+d=-7-3b>2.(3)?.方程f(x)=0有三個(gè)根a、2、Pa設(shè)f(x)=x3+bx2+cx+d=(x-2)(x2+mx+n),由待定系數(shù)法得m=b+2,n=-d,2aa、、P為方程x2+(b+2)x-d=0的兩根，aa+P=-(b+2),aP=-2：a|a-P|2=(b+2)2+2d=b2-4b-12=(b-2)2-16。>9 .\|tz-P|2>3例3已知函數(shù)/(%)=%3一工％2+5%+C.(1)若/(%)的圖象有與％軸平行的切線，求。的取值范圍