《圓》教材分析

本單元的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形、正方形等平面圖形以及它們的周長、面積計算，直觀的認(rèn)識圓的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，是小學(xué)階段的最后一個認(rèn)識平面圖形的單元。圓這個平面圖形與以往學(xué)習(xí)的平面圖形有顯著的不同，長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等都是直線圖形，而圓是曲線圖形。由此，教學(xué)將從對直線圖形的研究過渡到對曲線圖形的研究，這對學(xué)生而言是一種跨越與挑戰(zhàn)。因為無論是研究曲線圖形的思想還是方法，與直線圖形相比，都有顯著的變化和提升。因此，通過對圓的研究教學(xué)，不僅要讓學(xué)生掌握圓的一些基礎(chǔ)知識，還要讓學(xué)生感受與體悟“化曲為直”“等積變換”“極限”等數(shù)學(xué)思想方法，以促進與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和問題解決的能力。本單元的內(nèi)容主要有：圓的認(rèn)識、圓的周長、圓的面積、扇形的認(rèn)識等。

一、與實驗教材（《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)六年級》，下同）的主要區(qū)別

（一）改變圓的各部分名稱的引入方式，用圓規(guī)畫圓引出圓的各部分名稱，繼而研究圓的性質(zhì)。實驗教材在引入圓時，先讓學(xué)生利用圓形杯蓋、圓柱體物體、三角板上的圓孔描出圓，再把圓剪下來，通過多次對折等方式引出圓心、半徑、直徑等概念；在認(rèn)識了圓的半徑和直徑的特點之后，再專門教學(xué)用圓規(guī)畫圓的方法。考慮到學(xué)生在生活中已經(jīng)具備初步的用圓規(guī)畫圓的知識，本次修訂時，對于“你能想辦法在紙上畫一個圓嗎”這一問題，教材同時給出了用杯蓋、三角尺上的圓孔、圓規(guī)畫圓的方法，符合真實的學(xué)情。接下來，利用圓規(guī)畫圓的方法引出圓心、半徑、直徑等概念，水到渠成，這樣的引入方式也能更好地體現(xiàn)圓“一中同長”的本質(zhì)特征。接下來，通過讓學(xué)生用圓規(guī)畫幾個大小不同的圓，探討直徑、半徑的特點，在這一過程中，使學(xué)生進一步熟練掌握用圓規(guī)畫圓的方法。

（二）增加圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小的內(nèi)容。“圓，一中同長也”，這是《墨子》中對圓的定義。只要確定了“中”和“長”，圓的位置與大小就確定下來了。圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小這一事實，過去雖然沒在教材中明確指出，但實際上學(xué)生已經(jīng)在自覺應(yīng)用了。例如，用圓規(guī)畫圓時，不可避免地會遇到“針尖定在哪兒”“畫多大的圓”等問題，如果要畫半徑是3cm的圓，針尖到紙邊緣的距離必須大于3cm，才能在紙上畫出一個完整的圓來。在本冊教材中，接下來還編排了利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容，在設(shè)計圖案的過程，學(xué)生會時時處處遇到“要畫一個多大的圓”“這個圓的圓心應(yīng)該在哪兒”等問題。因此，教材增加這一部分內(nèi)容，能幫助學(xué)生在應(yīng)用知識的過程中更好地認(rèn)識圓的數(shù)學(xué)特征。

（三）降低圓的對稱性的篇幅，新增利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容。由于在“軸對稱圖形”的相關(guān)內(nèi)容中，已經(jīng)對圓的對稱性有過比較充分的探討，所以，本單元不再單獨編排圓的對稱性的例題，只在相關(guān)練習(xí)中加以鞏固。

在修訂過程中，新增了利用圓設(shè)計圖案的內(nèi)容。先讓學(xué)生模仿教材上提供的步驟，畫出美麗的圖案，再放手讓學(xué)生試著畫出教材上提供的圖案。在這一過程中，需要用到用圓規(guī)畫圓的方法，需要觀察這些圖案是由哪些圖形組成的，是如何組成的。需要學(xué)生對圓心位置的確定、半徑大小的確定、圓的對稱性等知識加以綜合應(yīng)用。一方面，幫助學(xué)生進一步了解圓的特征；另一方面，使學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美。

例如，下面左圖中大圓內(nèi)部的每個“水滴”是由三個半圓圍成的，其中兩個半圓的直徑是大圓半徑的一半，還有一個半圓的直徑是大圓的半徑，除此之外，還要關(guān)注這些半圓的圓心位置在哪里。右圖中，大圓的內(nèi)部有八個小圓，這些圓的直徑都是大圓的半徑，依次排列在大圓的八等分線上，互相重疊，形成了美麗的圖案。

教學(xué)時，還可以讓學(xué)生自由創(chuàng)作出更多的作品。此外，還可以借助這些圖案，復(fù)習(xí)軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的知識。由于這一內(nèi)容的操作性、綜合性、探究性都很強，也可以把它設(shè)計成一個“綜合與實踐”活動。

（四）增加求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間面積的內(nèi)容。在“圓的面積”部分，增加了解決實際問題的內(nèi)容，即求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間的面積。要求學(xué)生利用圖形之間的關(guān)系，靈活計算這兩部分的面積，并在“討論”環(huán)節(jié)進一步得出更為一般化的結(jié)論。要計算正方形的面積，首先要求出正方形的邊長，這是比較常規(guī)的思路。例如，求圓的外切正方形的面積時，觀察到正方形的邊長和圓的直徑相等，所以很容易求出來。但在求圓的內(nèi)接正方形的邊長時學(xué)生卻遇到了困難，圓的直徑和正方形的對角線相等，但沒有辦法直接求出正方形的邊長。此時，教材引導(dǎo)學(xué)生改變觀察角度，把正方形分割成兩個三角形，這兩個三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，很容易求出其面積。在解決幾何問題時，有時換一個角度看問題，會發(fā)現(xiàn)一個全新的世界。經(jīng)歷這樣的問題解決過程，有助于提高學(xué)生多角度分析問題的意識和能力。

解決了圓半徑是1m的特殊問題后，教材在“回顧與反思”環(huán)節(jié)，進一步討論兩個圓的半徑都為的情況，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，圓的外切正方形面積是，外切正方形與圓之間的面積是,內(nèi)接正方形的面積是，圓與內(nèi)接正方形之間的面積是。這些結(jié)果中隱藏著很多有意思的數(shù)學(xué)事實，如：外切正方形的面積始終是內(nèi)接正方形面積的2倍，外切正方形與內(nèi)接正方形之間的面積正好是,即和內(nèi)接正方形的面積相等，等。

（五）“扇形”由選學(xué)變?yōu)檎浇虒W(xué)內(nèi)容。扇形的內(nèi)容是學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計圖的必要基礎(chǔ)，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對相關(guān)內(nèi)容的調(diào)整，此次修訂把這部分內(nèi)容由選學(xué)變?yōu)檎浇虒W(xué)內(nèi)容。

二、教材例題分析

（一）圓的認(rèn)識

1．圓的各部分名稱、圓的性質(zhì)

“你能想辦法在紙上畫一個圓嗎？”，教材呈現(xiàn)用茶杯蓋、三角尺上的圓洞等圓形物體進行描摹以及用圓規(guī)畫圓的情境。學(xué)生在課外應(yīng)該都嘗試過用圓規(guī)畫圓，但是如何畫得標(biāo)準(zhǔn)，畫得輕松，還需教師進一步指導(dǎo)。利用圓規(guī)畫圓，引出圓的各部分名稱。一方面，與前面的活動自然銜接；另一方面，畫圓的過程非常切合“圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合”這一幾何學(xué)的定義。通過這一過程引出圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。

對圓特征的認(rèn)識，分四個層次編排：首先，讓學(xué)生將畫好的圓折一折、畫一畫、量一量，發(fā)現(xiàn)沿著任意一條直徑對折，兩邊可以重合，說明了圓是軸對稱圖形。第二，通過對折痕的觀察和想象，讓學(xué)生理解半徑和直徑都有無數(shù)條。第三，通過測量與比較，讓學(xué)生認(rèn)識到同一圓內(nèi)所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等，并且直徑的長度是半徑的2倍。第四，結(jié)合畫圓的經(jīng)驗，理解圓心可決定圓的位置，半徑可決定圓的大小。

2．利用圓設(shè)計圖案

這是一個實踐性內(nèi)容。在畫圓設(shè)計圖案過程中，涉及充分利用圓的對稱性，需要學(xué)生學(xué)會確定某個圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置與大小的最直接應(yīng)用。此外，還需要學(xué)生添加一些輔助線。因此，這樣的活動體現(xiàn)了很強的綜合性。通過教學(xué)，既可以讓學(xué)生進一步熟練用圓規(guī)畫圓的技能，促進學(xué)生對圓的特征的進一步認(rèn)識，又能讓學(xué)生在用尺規(guī)畫出漂亮圖案的過程中提高動手操作的能力，學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)的美，培養(yǎng)熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感。

（二）圓的周長

1．圓的周長計算公式的推導(dǎo)

教材從“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長度”這一學(xué)生熟悉的實際情境引入，幫助學(xué)生理解圓的周長的概念。

學(xué)生已經(jīng)具備了測量一般圖形（物體）周長的技能，因此，面對“分別需要多長的鐵皮”的問題，引導(dǎo)學(xué)生得出了繞、滾、圍等策略的測量方法。顯然，在解決實際問題的過程中，學(xué)生感受到了方法的多樣性和“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。更重要的是，圓周長概念的內(nèi)涵，就在這樣的過程中得以清晰化、直觀化。教材在此基礎(chǔ)上提出“除了上面的方法，還可以怎樣求圓的周長呢？”要求學(xué)生跳出繞、滾、圍等策略的測量方法，找到一種更為一般化的方法。通過“圓的周長和圓的大小有關(guān)系，圓的大小取決于……”，啟發(fā)學(xué)生將問題解決的方向放在從圓本身的特征去想辦法突破。引導(dǎo)學(xué)生通過測量幾組圓的直徑和周長，自主發(fā)現(xiàn)周長和直徑的比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結(jié)出圓的周長計算公式。在這個內(nèi)容中，教學(xué)的重點是讓學(xué)生利用實驗的手段，通過測量、計算、猜測圓的周長和直徑的關(guān)系、驗證猜測等過程，理解并掌握圓的周長計算方法。

2．例1:計算圓的周長本例是一個與圓的周長計算有關(guān)的實際問題。通過學(xué)生經(jīng)常看到或使用的自行車引出問題，能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用。自行車的后輪半徑是33cm，它滾一圈能走多遠(yuǎn)，那就是求它的周長。這樣的問題，是“化曲為直”思想的應(yīng)用──用曲的車輪周長計量自行車前進的距離。第二個問題帶有更強的現(xiàn)實性，“小明從家到學(xué)校1km，輪子大約轉(zhuǎn)了多少圈？”學(xué)生必須通過計算，才能解決這個問題。得出的相關(guān)結(jié)果也能加強學(xué)生的生活經(jīng)驗。

（三）圓的面積

1．圓的面積計算公式的推導(dǎo)

把圓分割成若干等份后拼成近似的長方形的方法，學(xué)生很難自主發(fā)現(xiàn)，因此，教材直接給出明確的提示，讓學(xué)生把圓分成若干等份，拼一拼。接下來的過程，則主要交給學(xué)生自主探索。

教材讓學(xué)生通過觀察，看到拼出的是近似的長方形（或平行四邊形），隨著分的份數(shù)越來越多，拼出的圖形越來越接近于長方形，體會“無限逼近”的極限思想。這個近似的長方形的長和寬與圓的周長、半徑有著緊密的聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對比，利用圓與長方形之間的關(guān)系，自行推導(dǎo)出圓的面積計算公式。

2．例1:計算圓的面積

本例是在學(xué)生推導(dǎo)出了圓面積計算公式以后，用此公式解決本節(jié)開頭的實際問題。求的是“鋪滿草皮需要多少錢”，這一問題比“求草皮面積是多少”更有現(xiàn)實意義、更自然。要求鋪滿草皮需要多少錢，首先要求出圓形草皮的面積。

3．例2：求圓環(huán)的面積

本例是求圓環(huán)的面積，教材通過插圖幫助學(xué)生了解什么叫圓環(huán)，理解求圓環(huán)的面積是用外圓面積減去內(nèi)圓面積。教材給出了兩種算法：3.14×62－3.14×22和3.14×（62－22）。教材也有意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘法分配律，采用相對簡便的算法，這樣，可以大大減少計算的繁雜程度，減少計算出錯的可能性。

4．例3：圓與內(nèi)接正方形、外切正方形之間面積的計算。

例題以中國古建筑中“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”兩種經(jīng)典設(shè)計為情境，直觀清晰地提出了需要解決的數(shù)學(xué)問題──求正方形與圓之間的那部分面積。兩個圖中的圓大小相同，但正方形位置與大小都不同。很自然地引出一個問題：中間部分的面積與圓的面積有沒有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系？例3給出一個特殊的圓半徑，先解決特殊問題，在“回顧與反思”部分再討論一般性的規(guī)律。

“分析與解答”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖示尋找正方形與圓之間的關(guān)系。第一個圖，很容易看出正方形的邊長就是圓的直徑；第二個圖，正方形的邊長不知道，不能用邊長的平方直接計算面積。此時，就需要轉(zhuǎn)換思路，將正方形看成兩個底是圓的直徑、高是圓的半徑的三角形（或四個小三角形）。

在前面的解題環(huán)節(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形與圓之間的面積與圓的半徑是有關(guān)的，那到底有什么樣的關(guān)系呢？因此，在“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)，需要繼續(xù)延伸討論，進一步探討一般化的結(jié)論。讓學(xué)生利用剛才的方法，得到一個代數(shù)式的結(jié)果。把=1m代入，與前面的結(jié)果相符，以此檢驗這個代數(shù)式的正確性。

（四）扇形的認(rèn)識