21任意角與弧度制題型一終邊相同的角1．已知角β的終邊在直線上.則角β的集合S為__________.【答案】【解析】如圖，直線過原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為，，所以，角β的集合.故答案為：.2．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：（1）－120°；（2）640°.【答案】（1）240°，它是第三象限的角；（2）280°，它是第四象限的角．【解析】(1)與－120°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝1時(shí)，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)與640°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與640°終邊相同的角為280°，它是第四象限的角．3．寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．【答案】{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}；元素β見解析【解析】與α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴(k∈Z)，故取k＝4,5,6.k＝4時(shí)，β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5時(shí)，β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6時(shí)，β＝6×360°－1910°＝250°.題型二象限角的規(guī)定4．下列說法中正確的序號(hào)有________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．【答案】①②③④【解析】由題意，①是第四象限角，是正確的；②是第三象限角，是正確的；③，其中是第二象限角，所以為第二象限角是正確的；④，其中是第一象限角是正確的，所以正確的序號(hào)為①②③④5．若是第一象限角，問，，是第幾象限角？【答案】是第四象限角；是第一、二象限角或終邊在軸的非負(fù)半軸上；是第一、二或第三象限角．【解析】因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以，所以，所以所在區(qū)域與范圍相同，故是第四象限角；，所以所在區(qū)域與范圍相同，故是第一、二象限角或終邊在軸的非負(fù)半軸上；．當(dāng)時(shí)，，所以是第一象限角；當(dāng)時(shí)，，所以是第二象限角；當(dāng)時(shí)，，所以是第三象限角．綜上可知：是第一、二或第三象限角．6．已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個(gè)象限的角；（2）求的范圍.【答案】（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或軸的非正半軸的角；（2）（）.【解析】是第四象限的角，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)是第二象限；當(dāng)時(shí)，此時(shí)是第四象限；又此時(shí)是第三象限或第四象限或軸的非正半軸；（2）題型三角度與弧度的互化7．已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角是________度，即________rad.如果大輪的轉(zhuǎn)速為（轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10.5cm，那么小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是________.【答案】864【解析】∵相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，∴當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，大輪轉(zhuǎn)動(dòng)了48個(gè)齒，∴小輪轉(zhuǎn)動(dòng)周，即，，∴當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為時(shí)，，小輪轉(zhuǎn)速為，∴小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為：，∵小輪的半徑為10.5cm，∴小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)為：，故答案為：864；；.8．已知兩角和為1弧度，且兩角差為1°，則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別是__________.【答案】12＋π360，1【解析】設(shè)兩個(gè)角的弧度分別為x,y，又由1°所以x+y=1x?y=π180即所求兩角的弧度數(shù)分別為129．海面上，地球球心角所對(duì)的大圓的圓弧長(zhǎng)為1nmile（海里），1nmile是多少千米？（將地球看成球體，半徑取為）【答案】【解析】弧長(zhǎng)為，故1nmile為.題型四弧長(zhǎng)、扇形面積有關(guān)計(jì)算10．已知扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，且，若扇形AOB的面積為8，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A． B．或2 C．1 D．或1【答案】D【解析】解：由題意得解得或故或.故選：D11．如圖，四邊形是菱形，，，扇形的半徑為2，圓心角為，則圖中陰影部分的面積是________.【答案】【解析】扇形的面積為,連接,設(shè)因此即扇形在四邊形內(nèi)面積等于內(nèi)面積，即為，因此圖中陰影部分的面積是，故答案為：12．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=（弦′矢+矢2）.弧田（如圖），由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)等于9米的弧田.（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積；（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】(1)()；(2)少．【解析】(1)本題比較簡(jiǎn)單，就是利用扇形面積公式來計(jì)算弧田面積，弧田面積等于扇形面積對(duì)應(yīng)三角形面積．(2)由弧田面積的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式計(jì)算面積與實(shí)際面積相減即得．試題解析：(1)扇形半徑，扇形面積等于弧田面積=（m2）（2）圓心到弦的距離等于，所以矢長(zhǎng)為.按照上述弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得（弦′矢+矢2）=.平方米按照弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果比實(shí)際少1.52平米.13．如圖，已知一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形木塊在桌面上作無滑動(dòng)的翻滾，翻滾到第四面時(shí)被一小木板擋住，使木塊底面與桌面成的角.求點(diǎn)走過的路程的長(zhǎng)及走過的弧度所對(duì)扇形的總面積.【答案】路程的長(zhǎng)為，走過的弧度所對(duì)的扇形的總面積為.【解析】所在圓弧的半徑是，圓心角為；所在圓弧的半徑是，圓心角為；所在圓弧的半徑是，圓心角為，所以走過的路程是段圓弧之和，即，段圓弧所對(duì)的扇形的總面積是.題型五扇形中的最值問題14．已知扇形的面積為，求扇形周長(zhǎng)的最小值，并求此時(shí)圓心角的弧度數(shù)．【答案】；弧度數(shù)為2【解析】設(shè)扇形半徑為r，圓心角為，則扇形面積，扇形周長(zhǎng)，即，代入面積表達(dá)式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故周長(zhǎng)的最小值為16cm，此時(shí)圓心角的弧度數(shù)為2.15．某市規(guī)劃擬在如圖所示的扇形土地上修建一個(gè)圓形廣場(chǎng)．已知，的長(zhǎng)度為，怎樣設(shè)計(jì)能使廣場(chǎng)的占地面積最大？其值是多少？【答案】當(dāng)是扇形的內(nèi)切圓時(shí)，廣場(chǎng)的占地面積最大，此時(shí)的面積為．【解析】如圖所示，∵，的長(zhǎng)度為，∴．由題意可知，當(dāng)是扇形的內(nèi)切圓時(shí)，廣場(chǎng)的占地面積最大，設(shè)與切于點(diǎn)C，連接．則，又，∴，解得．故當(dāng)是扇形的內(nèi)切圓時(shí)，廣場(chǎng)的占地面積最大，此時(shí)的面積為．16．一扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形面積最大，并求此扇形的最大面積.【答案】弧度，最大面積【解析】設(shè)扇形的半徑為，其周長(zhǎng)為，則扇形弧長(zhǎng)為，且，扇形面積，當(dāng)，時(shí)，取最大值為，所以圓心角為2弧度時(shí)，扇形面積最大為.17．如圖所示，十字形公路的交叉處周圍成扇形，現(xiàn)計(jì)劃在這塊扇形土地上修建一個(gè)圓形廣場(chǎng)，已知，的長(zhǎng)度為.怎樣設(shè)計(jì)能使廣場(chǎng)的占地面積最大？最大面積是多少？【答案】當(dāng)是扇形AOB的內(nèi)切圓時(shí)，廣場(chǎng)的占地面積最大；最大面積是【解析】，的長(zhǎng)度為，.根據(jù)題意可知，當(dāng)是扇形AOB的內(nèi)切圓時(shí)，廣場(chǎng)的占地面積最大.如圖所示，設(shè)與OA相切于點(diǎn)C，連接，，則，.又，故，解得.這時(shí)的面積為.即最大面積是.題型六弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的應(yīng)用18．中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得故選:A19．如圖，圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓交x軸正半軸于點(diǎn)A，P，Q是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿圓周做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿逆時(shí)針方向每秒轉(zhuǎn)，點(diǎn)Q沿順時(shí)針方向每秒轉(zhuǎn)，試求P，Q出發(fā)后第五次相遇時(shí)各自轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)及各自走過的弧長(zhǎng).【答案】和.【解析】易知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q從第k次相遇到第次相遇所走過的弧長(zhǎng)之和恰好等于圓的一個(gè)周長(zhǎng)，因此當(dāng)它們第五次相遇時(shí)走過的弧長(zhǎng)之和為.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q自A點(diǎn)出發(fā)到第五次相遇走過的時(shí)間為t秒，走過的長(zhǎng)分別為，則，.因此.∴（秒），，.由此可知，P轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，Q轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，P，Q走過的弧長(zhǎng)分別為和.20．一個(gè)面積為1的扇形，所對(duì)弧長(zhǎng)也為1，則該扇形的圓心角是________弧度【答案】【解析】設(shè)扇形的所在圓的半徑為，圓心角為，因?yàn)樯刃蔚拿娣e為1，弧長(zhǎng)也為1，可得，即，解得.故答案為：21．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對(duì)弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長(zhǎng)為4π，弧所在的圓