2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專練（江蘇專用）

重難點(diǎn)05幾何類比變式探究綜合問題

【命題趨勢(shì)】

幾何綜合題是中考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)題型，也是難點(diǎn)所在.幾何綜合題的難度都比較大，所占分值也比較

重，解答題數(shù)量一般有兩題左右，其中一題一般為三角型、四邊形綜合；另一題通常為圓的綜合；它們?cè)?/p>

試卷中的位置一般都在試卷偏后的位置.只所以兒何綜合題難度大，學(xué)生一般都感覺難做，主要是因?yàn)檫@

種類型問題的綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)或者說考點(diǎn)較多，再加上現(xiàn)在比較熱門的動(dòng)態(tài)問題、最值（范圍）

問題、函數(shù)問題，這就導(dǎo)致了幾何綜合題的難度再次升級(jí)，因此這種題的區(qū)分度較大.所以我們一定要重

視平時(shí)多培養(yǎng)自己的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，從不同的角度，運(yùn)用不同的知識(shí)去解決同一個(gè)問題.

【滿分技巧】

1.熟練掌握平面幾何知識(shí)：要想解決好有關(guān)幾何綜合題，首先就是要熟練掌握關(guān)于平面幾何的所有知識(shí)，

尤其是要重點(diǎn)把握三角形、特殊四邊形、圓及函數(shù)、三角函數(shù)相關(guān)知識(shí).幾何綜合題重點(diǎn)考查的是關(guān)于三

角形、特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）、圓等相關(guān)知識(shí).

2.掌握分析問題的基本方法：分析法、綜合法、“兩頭堵”法：

1）分析法是我們最常用的解決問題的方法，也就是從問題出發(fā)，執(zhí)果索因，去尋找解決問題所需要的條件，

依次向前推，直至已知條件：例如，我們要證明某兩個(gè)三角形全等，先看看要證明全等，需要哪些條件，

哪些條件已知了，還缺少哪些條件，然后再思考要證缺少的條件，又需要哪些條件，依次向前推，直到所

有的條件都已知為止即可.

2）綜合法：即從已知條件出發(fā)經(jīng)過推理得出結(jié)論，適合比較簡(jiǎn)單的問題；

3）“兩頭堵”法：當(dāng)我們用分析法分析到某個(gè)地方，不知道如何向下分析時(shí)，可以從已知條件出發(fā)看看能

得到什么結(jié)論，把分析法與綜合法結(jié)合起來運(yùn)用是我們解決綜合題最常用的辦策略.

3.注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法：對(duì)于幾何綜合題的解決，我們還要注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，這樣會(huì)大大幫助我

們解決問題，或者簡(jiǎn)化我們解決問題的過程，加快我們解決問題的速度，畢竟考場(chǎng)上時(shí)間是非常寶貴的.常

用數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化、類比、歸納等等.

A卷（真題過關(guān)卷）

備注：本套試卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，針對(duì)性強(qiáng)，可作為一輪、二

輪復(fù)習(xí)必刷真題過關(guān)訓(xùn)練.

一.解答題（共20小題）

1.（2022?淮安）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究.如圖（1）,在菱形ABS

中，/8為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接。E,將菱形A8C。沿OE折疊，得到四邊形AbEz）,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為點(diǎn)A',點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8.

【觀察發(fā)現(xiàn)】

A'D與B'E的位置關(guān)系是A'D//B'E:

【思考表達(dá)】

（1）連接B,C,判斷/OEC與/BCE是否相等，并說明理由；

（2）如圖（2）,延長(zhǎng)QC交Ab于點(diǎn)G,連接EG,請(qǐng)?zhí)骄?QEG的度數(shù)，并說明理由；

【綜合運(yùn)用】

如圖（3）,當(dāng)NB=60°時(shí)，連接B,C,延長(zhǎng)DC交AE于點(diǎn)G,連接EG,請(qǐng)寫出BC、EG、DG之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】【觀察發(fā)現(xiàn)】利用翻折變換的性質(zhì)判斷即可.

【思考表達(dá)】（1）結(jié)論：NDEC=NBCE.證明。E〃C8'即可；

（2）證明GC=GB',推出EGLCB',即可解決問題.

【綜合運(yùn)用】結(jié)論：Z）G2=EG2+至8'C2.如圖（3）中，延長(zhǎng)DG交EB'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作

16

DΛ±GA,交GA'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R想辦法證明OE=工C8',可得結(jié)論.

4

【解答】解：【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1）中，由翻折的性質(zhì)可知，4'D∕∕B'E.

故答案為：A'D∕∕B'E；

【思考表達(dá)】（1）結(jié)論：/DEC=/BCE.

理由：如圖（2）中，連接88'.

:EB=EC=EB',

：.ZBB'C=90°,

.,.BB'±B'C,

由翻折變換的性質(zhì)可知88'IDE,

.?DE∕∕CBl,

：.ADEC=ZB'CE；

（2）結(jié)論：NDEG=90°.

理由：如圖（2）中，連接08,DB',

由翻折的性質(zhì)可知/8。E=NB'DE,

設(shè)NBDE=NB'DE=x,NA=NA'=y.

：四邊形ABCO是菱形，

...NADB=NCDB=NB'DA',

ΛZA,DG=ZBDB1=Ix,

：.ZDGA'=180o-2x-y,

；NBEB'=NEBD+NEB'D+ZBDB',

J.ZBEB'=180°-y+2x,

,CEC=EB',

LNEB'C=NECB'=L/BEB，=90°-上v+x,

22

INGB'C=ZA'B'E-NEB'C=l80-y^（90°-」y+x）=90°-?--x,

22

：.ZCGA1=2NGB'C,

?：NCGA'=ZGB'C+ZGCB',

.,.ZGB'C=NGCB',

.,.GC=GB1,

`:EB'=EC,

ΛEG±CB,,

'：DE//CB',

.?DE±EG,

：?NDEG=90°；

【綜合運(yùn)用】結(jié)論：DG2^EG2+^.BIC2.

16

理由：如圖(3)中，延長(zhǎng)。G交EB'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,過點(diǎn)￡>作。GA'交GA'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R.

設(shè)GC=GB'=x,CD^A'D=A1B'=2a,

VZB=60o,

,NA=NZM'B'=120°,

ΛZDA,R=60°,

ΛA,R=A'D?cos60o=a,DR=Ma,

在RtaOGR中，則有(24+x)2=(√3α)2+(3a-x)2,

?*?x—-a,

5

?'?GB'—ci,AG=2</,

55

`:TB'//DA',

?TB'_GB'

"DA,GA，，

.TB'=II

5a

.".TB'=&,

3

'：CB'//DE,

?

.CB'_TB'

DEET47'

a+τra

3

：.DE=工CB，,

4

VZDEG=90o,

.?.DG2=EG2+DE1,

.?DG2=EG2+-B/C2.

16

/圖⑶

圖⑵

2.(2022?徐州)如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=12,點(diǎn)尸在邊AB上,。、2分別為8C、

尸C的中點(diǎn)，連接。E.過點(diǎn)E作8C的垂線，與8C、AC分別交于F、G兩點(diǎn).連接。G,交PC于點(diǎn)H.

(1)/EOC的度數(shù)為45°；

(2)連接尸G,求aAPG的面積的最大值；

(3)PE與OG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

(4)求e旦的最大值.

CE

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可得NABC=NACB=45°,由三角形中位線定理可得OE〃48,可求

解；

(2)設(shè)AP=x,由等腰宜角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可求AG的長(zhǎng)，由三角形面積公式和二次

函數(shù)的性質(zhì)可求解：

(3)由aSAS,,可證ACEF且ZXGQF,可得CE=QG,NDGF=NFCE,可求解;

(4)利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)分別求出C”，CE的值，即可求解.

【解答】解:(1)?.?ZBAC=90°,AB=AC=12,

∕A8C=/ACB=45°,BC=12√2.

；￡＞、E分別為8C、PC的中點(diǎn)，

.?DE∕∕AB,DE=-BP,

2

：.ZEDC=ZABC=45°,

故答案為：45；

(2)?AP=x,則BP=12-X,

VDE=AfiP,

2

：.DE=6-上,

2

,:GFlBC,NEDC=45°,

：.ZEDC=ZDEF=45o,

OF=EF=E=3&-亞X,

24

：點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，

：.BD=CD=6M,

.,.CF=3&+近1,

4

?：GFLBC,NACB=45°,

.?.NACB=NCG尸=45°,

J.GF=FC,

ΛGC=√2FC=6+-^-,

2

."G=6-三,

2

2

SΛAPG=-×AP×AG=-l-×x×(e-?)--A(χ-6)+9,

2224

.?.當(dāng)x=6時(shí)，△/1PG的面積的最大值為9；

(3)PEVDG,DG=PE,理由如下：

9

：DF=EFfNCFE=NGFD=90°，CF=GF,

：.叢CEF”叢GDF(SAS),

：.CE=DG1ZDGF=ZFCEf

<NDGF+NGDF=90°,

ΛZGDF+ZDCE=90o,

.β.ZDHC=90σ,

:.DGtPE,

Y點(diǎn)七是PC的中點(diǎn)，

LPE=EC,

IDG=PE;

(4)方法一、*/CF=3&+亞X=GF,￡F=3√2-工

44

二ECrCF2+EF2=W+χ2，

?."=x,AC=12,

,2

??PCrAC2+AP2=yJx+i44,

VZACP=ZGC//,∕A=90°=NGHC,

：.AAPCsAHGC,

72+6x

.CHVX2+1?4x+12-12Y12-12-1

2

CEJ364Λχ2X+144X+I24^^-242√288-2424√2-242√2-2

√2+l

--------,

2

.??C旦的最大值為返士1.

CE2

方法二、如圖，過點(diǎn)〃作A交8C于M,

.?.點(diǎn)”以CD為直徑的OO上，

連接0”,并延長(zhǎng)交AB于M

?：MH〃AB,

?.O?HOM,

ONOB

,：OH,08是定長(zhǎng)，

.?.ON的取最小值時(shí)，OM有最大值,

.?.當(dāng)ON_LA8時(shí)，OM有最大值，

此時(shí)MHLO”,CM有最大值，

'：DE//AB,

：.MH//DE,

?.C?^H~~?C=M，

CECD

.?.當(dāng)CM有最大值時(shí)，型有最大值,

CE

<AB∕∕MH,

.?.∕HΛ∕O=∕8=45°,

"JMHLOH,

：.NHMo=NHOM=45°,

.?.MH=H0,

.?MO=y[2HO,

"JHO=CO=DO,

：.Mo=近CO,CD=2C0,

：.CM=(√2+l)CO,

.CH^CM^(√2+l)C0-√2+l

"CE^CD2CO2

3.(2022?鎮(zhèn)江)己知，點(diǎn)、E、RG、H分別在正方形ABCf)的邊AB、BC、CD、ADl..

(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFG”是正方形時(shí)，求證：AE+AH=ABi

(2)如圖2,已知AE=A",CF=CG,當(dāng)AE、CF的大小有AE=CF關(guān)系時(shí):四邊形EFG”是矩

形；

(3)如圖3,AE=DG,EG、"/相交于點(diǎn)O,OE-.OF=4：5,己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16,FH長(zhǎng)

為20,當(dāng)a0E4的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFG〃是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

圖I圖2圖3

【分析】(1)證明AAEH絲Z?BFE(AAS),推出A//=BE,可得結(jié)論；

(2)當(dāng)AE=Ck時(shí)，四邊形EFG”是矩形.根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形證明即可；

(3)如圖3中，過點(diǎn)”作MWLBC于點(diǎn)M.,交EG于點(diǎn)MZM四邊形AEG。是平行四邊形，推出

AD//EG,EG//BC,可得過1=地，設(shè)OE=4x.Of=5x,HN=/?,則旦="且■,可得∕z=4(4-χ),

HMHF1620

可得S=工?OE?HN=?lχ4χX4(4-χ)=-8(X-2)2+32,可知x=2時(shí)，AOE//的面積最大，求出

22

OE,OG,OH,OF的長(zhǎng)，可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖1中，

圖I

：四邊形4BCO是正方形,

ΛZA=ZB=90o,

：.NAEH+NAHE=94°,

；四邊形EFG”是正方形，

J.EH=EF,EF=90°,

：.ZAEH+ZBEF^90°,

.?.ZBEF=ZAHE,

在AAE4和FE中，

'NA=NB=90°

<ZAHE=ZBEF，

EH=FE

：.4AEH<ABFE(AAS),

：.AH=BE,

：.AE+AH^AE+BE^AB；

(2)解：當(dāng)AE=CF時(shí)，四邊形EFG”是矩形.

；四邊形A8C。是正方形，

：.AB^CD=AD=BC,NA=∕5=∕C=NQ=90°,

'：AE=AH^CF^CG,

.".BE=BF,DH=DG,

：.ZAEH=ZBEF=45°,

二∕HEF=9Q°

同法可證，NEHG=90：NEFG=90°,

四邊形EFG〃是矩形.

故答案為：AE=CF-,

(3)解：結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形.

理由：如圖3中，過點(diǎn)“作“MLBC于點(diǎn)例.，交EG于點(diǎn)M

圖3

???四邊形ABCz)是正方形，

.?AB∕∕CD,

"：AE=DG,AE//DG,

二四邊形AEGQ是平行四邊形，

.,.AD∕∕EG,

.,.EG//BC,

??HO

"^≡W'

,：OE-OF=4：5,

設(shè)。E=4x.OF=5x,HN=h,則/L="?

1620

.?.∕z=4(4-χ),

.?.S=LθE?HN=2?X4χX4(4-X)=-8(X-2)2+32,

22

：-8<0,

.?.x=2時(shí)，Z?OE”的面積最大，

：.OE=4x=S=-EG=OG,OF=5Λ=10=-HF=OH,

22

四邊形EFGH是平行四邊形.

4.(2022?南通)如圖，矩形ABCZ)中，AB=4,AO=3,點(diǎn)E在折線BC。上運(yùn)動(dòng)，將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到AF,旋轉(zhuǎn)角等于NBAC,連接CF.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作FTWLAC,垂足為M,求證：AM=AB;

(2)當(dāng)AE=3加時(shí).，求CF的長(zhǎng)；

(3)連接。凡點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，試探究。尸的最小值.

【分析】(1)如圖1中，作FM_LAC,垂足為M,證明aABE絲ZSAMF(A4S),可得結(jié)論；

(2)利用勾股定理求出BE=42,利用全等三角形的性質(zhì)推出FM=8E=√5,再利用勾股定理求出CF

即可；

(3)分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)E在8C上時(shí)，如圖2中，過點(diǎn)。作￡>，_LFM于點(diǎn)〃.證明點(diǎn)尸在射線上

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與K重合時(shí)，力尸的值最小，求出力，即可.當(dāng)點(diǎn)E在線段CO上時(shí)，如圖3中，將線段

AQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為NABC,得到線段AK,連接FR,過點(diǎn)。作Z)QLAR于點(diǎn)Q,DKLFR

于點(diǎn)K.證明44)E絲△ARF(SAS),推出∕4f>E=∕4RF=90°,推出點(diǎn)F在直線RF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。

與K重合時(shí)，。尸的值最小，可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖1中，作尸MLAC,垂足為M,

圖1

：四邊形A8C。是矩形,

ΛZβ=90o,

,：FMLAC,

ΛZB=ZAΛ∕F=90o,

"：ZBAC^ZEAF,

：./BAE=NMAF,

在AABE和AAM尸中，

'NB=NAMF

<NBAE=NMAF,

AE=AF

.??ABE^∕?AMF(AASy),

：.AB=AM-.

(2)解：當(dāng)點(diǎn)E在BC上，在RtZXABE中，AB=4,AE=3√2.

???BE=√AE2-AB2=√(3√2)2-42^Λ^,

?.??ABE^?AMF,

.?.A8=AM=4,FM=BE=圾,

?Rt?ABCψ,A8=4,8C=3,

；?Ac=VAB2+BC2=√42+32=5,

.?.CM=AC-AM=5-4=1,

VZCΛ∕F=90o,

；?CF=VCM2+FM2=V12+(√2)2=F-

當(dāng)點(diǎn)E在CQ上時(shí)，可得CF=W5.

綜上所述，CF的值為√5或/運(yùn)；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖2中，過點(diǎn)D作DHl.FM于一點(diǎn)H.

圖2

'：?ABE^?AMF,

.".AM=Aβ=4,

VZAMF=90o,

.?.點(diǎn)尸在射線尸M卜一運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與K重合時(shí)，DF的值最小，

；/CW=NAOC=90°,NMCJ=NACD,

IXCMJsACDA,

?CM=IJ=QJ

"CDADAC'

?.?-1—_,MJ-_C—J,

435

：.MJ=3.,CJ=-,

44

：.DJ=CD-CJ=4-Hl,

44

YNCMJ=∕DHJ=90°,NCJM=NDJH,

：.叢CMJS叢DHJ,

.CM?CJ

"DHDJ,

5

?J_=_L

"DH??

4

.?.D∕7=11,

5

.?.QF的最小值為旦.

5

當(dāng)點(diǎn)E在線段C。上時(shí)，如圖3中，將線段AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為NBAC,得到線段AR,連

接FR,過點(diǎn)。作。QL4/?于點(diǎn)Q,DKLFR于點(diǎn)、K.

：.ZDAE^ΛRAF,

'：AE=AF,AD=ARf

：.∕?ADE^∕?ARF(SAS),

ΛZADE=ZARF=90o,

???點(diǎn)b在直線R尸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。與K重合時(shí)，。尸的值最小，

'：DQLAR,DK工RF,

；?/R=NDQR=/DKR=W,

???四邊形DKRQ是矩形，

IDK=QR,

.??A0=AD?cosN5AC=3xV=當(dāng),

?*AR=AD=3f

：.DK=QR=AR-A0=?∣?,

???。尸的最小值為3,

5

??旦<11

,^5~5,

DF的最小值為旦.

5

解法二：當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖，將線段Ao繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)=∕BAC,得到AT,

證明aD4F也△?；<￡：,推出DF=TE,

當(dāng)7E_L5C時(shí)，Z)F的值最小，可得QF的最小值為旦.

5

當(dāng)點(diǎn)E在CQ上時(shí)，同法可得。F的最小值為旦.

5

5.(2022?泰州)己知：Z?4BC中，。為BC邊上的一點(diǎn).

(1)如圖①，過點(diǎn)。作。E〃A8交AC邊于點(diǎn)E.若AB=5,BO=9,DC=6,求。E的長(zhǎng);

(2)在圖②中，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)尸，使∕OM=∕A;(保留作圖痕跡，不要求寫

作法)

(3)如圖③，點(diǎn)尸在AC邊上，連接8尸、DF.若/。項(xiàng)=乙4,△尸BC的面積等于2C0?AB,以FD

2

為半徑作OE試判斷直線BC與OF的位置關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)作。T〃AC交AB于點(diǎn)7,作NTT)F=NATD,射線。F交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)F即為所求；

(3)作BR//CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,連接CR.證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR,由

CF//BR,推出SΔCEB=SΔCFR^-?AB?CD=^?FR?CD,推出CDLDF,可得結(jié)論.

22

【解答】解：(I)如圖①中，；OE〃A8,

：.XCDEsXCBA,

?.?—D—―E-.'CD,

ABCB

.DE=6

6+9,

：.DE=I-,

(2)如圖②中，點(diǎn)尸即為所求.

解法二：過點(diǎn)Q作AB的平行線交AC于點(diǎn)G,再以點(diǎn)。為圓心，QG長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)F(異

于點(diǎn)G).

`:AB//DG,

：.ZA=ZDGC,

?：DG=DF,

：.ZDGF=ZDFG,

.?ZDGC=ZDFA=ZA.

(3)結(jié)論：直線3C與以尸。為半徑作QF相切.

理由：作由?〃CT交FQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/?,連接CR

A

Z>T>c

③

u

?AF∕∕BRfZA=ZAFR,

???四邊形ABR/是等腰梯形，

IAB=FR,

*：CF〃BR,

.,.SACFB=SMFR=工?AB?CD=工?FR?CD,

22

：.CDLDF,

?,?直線5C與以FD為半徑作OF相切.

解法二：過點(diǎn)。作￡>E〃A〃交AC于點(diǎn)￡設(shè)43CF的3C邊上的高為力.

DE//ABi

：.ZCED=ZA9

'：ZA=ZAFD9

：.ZAFD=ZCEDf

：,/DFE=NDEF,

：,DE=DF,

VDE：AB=CD:CB,

.?.QE=QF=AB,CD,

CB

".'SΛBCF=-?BC?II=-?CD?AB,

22

.?h=DF,

：.DFlBC,

.?.直線BC與以FD為半徑作。尸相切.

6.（2022?無錫）如圖，Z?A8C為銳角三角形.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)。，使∕D4C=N4CB,且CDUr＞；

（不寫作法，保留作圖痕跡）

BC=3,則四邊形ABC。的面積為反應(yīng)

（2）在（1）的條件下，若NB=60°,A8=2,

—2—

AΛ

?

BCBC

（圖1）（圖2）

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）過點(diǎn)A作4〃_LBC于點(diǎn)H.求出AH,AD,利用梯形面積公式求解.

【解答】解：（I）如圖I中，點(diǎn)。即為所求；

（圖1）

（2）過點(diǎn)A作A”,BC于點(diǎn)H.

在RtZSABH中，Λδ=2,NB=60°,

Λβ∕7=AB?cos60o=1,A∕∕=AB?sin60o=√3,

：.CH=BC-BH=I,

VZDAC=ZACB9

.?AD∕∕BC,

λ:AHLCB,CD1.AD,

：.NAHC=ZADC=NZ）C”=90°,

，四邊形AaCO是矩形，

：?AD=CH=2,

r

，S西邊形八BCQ=』X（2+3）χ^g--5V3,

22

故答案為：反叵.

2

7.（2022?蘇州）（1）如圖1,在aABC中，ZACB=2ZB,C。平分NAC8,交AB于點(diǎn)。，DE//AC,交

BC于點(diǎn)E.

①若DE=1,BD=3,求BC的長(zhǎng)；

2

②試探究地一些是否為定值.如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

ADDE

（2）如圖2,NCBG和NBeF是AABC的2個(gè)外角，NBCF=2NCBG,CZ）平分NBCF,交AB的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)/）,DE//AC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.記AACD的面積為Si,Z?COE的面積為52,Z?8DE的面

積為S3.若SI?S3=-2S22,求CoSNCBD的值.

16

【分析】（1）①證出N4CO=NQC8=∕8,由等腰三角形的判定得出CO=8O=3,求出CE=OE=I,

2

證明aCEDs∕?CD8,由相似三角形的性質(zhì)可求出BC的長(zhǎng)；

②由平行線分線段成比例定理得出他羋，同①可得，CE=DE,證出屈■里，則可得出答案；

ADCEADDE

(2)證出繪,由題意可得出照h?,設(shè)8C=9χ,則CE=16x,證明ACOBS∕?CEZλ由相

S2CECE16

?2

似三角形的性質(zhì)得出里0,求出CO=I2%,過點(diǎn)。作OHL8C于點(diǎn)，，則8H=』8C=2X,根據(jù)銳

CECD22

角三角函數(shù)的定義可得出答案.

【解答】W.：(1)①：C。平分NACB,

ZACD=NDCB=工NACB,

2

,.?NACB=2/B,

.?.ZACD=NDCB=ZB,

；.CD=BD=3,

2

?,DE∕∕AC,

：.NACD=NEDC,

:.NEDC=NDCB=NB,

.'.CE=DE=I,

.?.∕?CEDs∕?CDB,

?.?CE二CD，

CDCB

3

,1~2

"3__CB,

~2

.?.BC=2;

4

②空-理是定值.

ADDE

'CDE//AC,

?.?-A-B-二BC,

ADCE

同①可得，CE=DE,

?.??~A~B~≡-B一C■一,

ADDE

.ABBE?BCBE^CE,?

,?而而=Tif而同‘

.?.迪-些是定值，定值為1：

ADDE

(2)?,DE∕∕AC,

.￡1__AC_BC

'"s7^DE"BE'

..s3BE

?---->

S2CE

.Si￡=BC

Q2^CE,

?2

又?.?S1?S3=X-S22,

16

?.B?-C--91

CE16

設(shè)BC=9x,則CE=I6X,

YCO平分NBeR

：?ZECD=NFCD=工NBCF,

2

?：NBCF=2/CBG,

：,/ECD=ZFCD=ACBD,

：?BD=CD,

*：DE//AC,

(EDC=NFCD,

：?NEDC=NCBD=/ECD,

ICE=DE,

?：NDCB=NECD,

ΛΔCDB^ΔCED,

?,C?-DC=B一，

CECD

.?.Cr>2=C8?CE=144Λ2,

：.CD=\2x,

過點(diǎn)D作DHVBC于點(diǎn)H,

：.BH=LBC=殳κ,

22

_9

-RnBH^2x3

…SNCBD=而F=T

8.（2022?揚(yáng)州）如圖1,在AABC中，NBAC=90°,∕C=60°,點(diǎn)。在5C邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)（不

與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)。作。EJ_A。，交射線AB于點(diǎn)E.

（1）分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

①點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上且BE=BD;

②點(diǎn)E在線段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.

①當(dāng)些=退_時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

AD2

②直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段AE長(zhǎng)度的最小值.

②由∕ft4C=90°,ZC=60o,EB=ED,可得NEoB=N8=30°,即得NAEf>=N￡08+/B=6()°,

根據(jù)。E_LA。，可得AE=2ED,故AE=2E8;

(2)①過。作。于凡證明AAFOSAADE,由些=*3,可得JL=Y豆，設(shè)Z)F=√ξm,則

AD2AF2

ΛF=2mf在RtZ?8O/中，BF=6DF=3m,而A8=6,可得加=旦，有Ab=理，。/=里三，AD=

555

又更也，即可得

√AF2+DF2=6√L,I=AE=21；

②作AE的中點(diǎn)G,連接DG,根據(jù)N4DE=90°,DG是斜邊上的中線，得AE=2OG,即知當(dāng)AE最小

時(shí)，DG最小,此時(shí)。G_L8C,可證AG=EG=BE,從而得線段AE長(zhǎng)度的最小值為4.

【解答】解：(1)①4E=28E,理由如下：

*：DELAD,

：.ZAED+ZEAD=90Q=NADE=NBDE+NBDA,

YBE=BD,

：.ZAED=ZBDE9

：.AEAD=ABDA,

：.AB=BD,

LBE=BD=AB,

：.AE=2BE；

②AE=2EB,理由如下：

如圖：

VZBAC=90o,ZC=60o,

ΛZB=30o,

YEB=ED,

；?NEDB=NB=30°,

；?NAED=NEDB+NB=60°,

?/DElADf

.?.NEDA=90°，NEAD=30°，

.'.AE=2ED1

：.AE=2EB；

；NFAD=NDAE,ZAm=90°-ZADE,

.".∕?AFD^ΛADE,

研

DF即邁=更

AD,DEADAF

DE

而√23

DF√3

AF2

則AF=2m,

在RtZ?8O尸中，BF=yj3DF=3m,

VΛB=6,

?,?BF+AF=6,即3/77+2/?=6?

Ja=2，

5

.,.4F=-,DF=鼠反,

55

/.AD=√AF2+DF2=6^1,

5

?：XAFDS>ADE,

126√7

.?.空=皎，即一^一=5

ADAEAE

5

.?.4E=駕

5

②作AE的中點(diǎn)G,連接。G,如圖:

G

E.

B-

D

?.?NAZ)E=90°,。G是斜邊上的中線,

：.AE=2DG,OG=AG=EG,

當(dāng)AE最小時(shí)，OG最小，止匕時(shí)OG_LBC,

VZB=30o,

.?BG=2DG,

：.AE=IDG=BG,

：.BE=AG,

：.AG=EG=BE,

此時(shí)AE=ZAB=4,

3

答：線段AE長(zhǎng)度的最小值為4,

法2：作AE的中點(diǎn)G,連接。G,過G作GHLBC于"，如圖:

VZADE=90°,OG是斜邊上的中線,

J.AE=2DG,DG=AG=EG,

設(shè)DG=AG=EG=m,則BG=6-m,

；.GH=-BG=-(6-w),

22

?：GHWDG,即▲(6-/n)Wm,

2

.?.當(dāng)m=2,即G”與。G重合時(shí)，AE取最小值,最小值為2,〃=4,

.?.答:線段AE長(zhǎng)度的最小值為4.

法3：

過A做AG_L8C于G,過E做E，_L8C于"，如圖:

/.NEDH=90°-NADG=ZDAG,

'：ZEHD=ZAGD=90°,

.AG=DG

"DHEH'

.,.AG?EH=DH?DG,

VZBAC=90o,NC=60°,

.?.∕B=3O°,

.?.4G=?1AB=3,EH=工BE=工(6-AE),

222

?DH?DG=3EH,

：.AErADr+DE2-=AG2+DG2+DH2+EH2=9+DG2+DH2+EH2,

?,DG2+DH2^2DH?DG,

：.AE1^9+2DH?DG+EH1,即AE1^9+6EH+EH2,

(3+EH)2,

VAE>0,EH>0,

.?AE^3+EH,

YEH=工C6-AE),

2

.?.AE23+工(6-AE),

2

：.AE^4.

答：線段AE長(zhǎng)度的最小值為4.

9.(2021?淮安)【知識(shí)再現(xiàn)】

學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道''斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)稱iHL'

定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.

【簡(jiǎn)單應(yīng)用】

如圖(1),在AABC中，NBAC=90°,AB=4C,點(diǎn)。、E分別在邊AC、AB上.若CE=BD,則線段

AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是AE=An.

【拓展延伸】

在AABC中，ABAC=a(90o<α<180o),AB=AC=m,點(diǎn)。在邊AC上.

(1)若點(diǎn)E在邊A8上，且CE=BD,如圖(2)所示，則線段AE與線段Az)相等嗎？如果相等，請(qǐng)給

出證明；如果不相等，請(qǐng)說明理由.

(2)若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且CE=Bn試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系(用含有a、機(jī)的式

子表示)，并說明理由.

【分析】【簡(jiǎn)單應(yīng)用】證明RtZXA8。絲Rt△ACE(〃乙)，可得結(jié)論.

【拓展延伸】(I)結(jié)論：AE=AD.如圖(2)中，過點(diǎn)C作CMJ_區(qū)4交BA的延長(zhǎng)線于M,過點(diǎn)B作

BNLCA交CA的延長(zhǎng)線于N.證明ACAW絲Z?BAN(AAS推出CM=BN,AM=AN,證明RtACMf

gRtABND(HA),推出EM=DN,可得結(jié)論.

(2)如圖(3)中，結(jié)論：AE-AD=2"z?cos(180o-a).在AB上取一點(diǎn)E',使得BO=CE',則

AD=AE1.過點(diǎn)C作CTLAE于T.證明7E=ΓE',求出A7,可得結(jié)論.

【解答】【簡(jiǎn)單應(yīng)用】解：如圖(1)中，結(jié)論：AE^AD.

圖⑴

理由：?.?NA=NA=90°,AB=AC,BD=CE,

.,.Rt?ABD^Rt?ACE(HL),

'.AD=AE.

故答案為：AE=AD.

【拓展延伸】解：（I）結(jié)論：AE=AD.

圖⑵

理由：如圖(2)中，過點(diǎn)C作CMJ交BA的延長(zhǎng)線于M,過點(diǎn)3作3N_LCA交CA的延長(zhǎng)線于M

；NM=/N=90°,/CAM=NBAN,CA^BA,

：.IXCAMt2XBAN(Λ4S),

：.CM=BN,AM=AN,

?.'∕M=∕N=90°,CE=BD,CM=BN,

：.RtACMEmRtABND(HL),

C,EM=DN,

?'AM^AN,

：.AE=AD.

(2)如圖(3)中，結(jié)論：AE-AD^2m?cos(180o-α).

圖(3)

理由：在AB上取一點(diǎn)E',使得BO=CE',則4D=AE'.過點(diǎn)C作C7?L4E于T.

'：CE'=BD,CE=BD,

：.CE=CE',

VCTLEE',

IET=TE',

?.NT=AC?cos(180°-α)=%?cos(180o-a),

：.AE-AD^AE-AE1=2A7=2/??*cos(1800-a).

10.(2021?南通)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊4。上(不與端點(diǎn)4,。重合)，點(diǎn)A關(guān)于直線BE的

(1)求/BCF的大小(用含α的式子表示)；

(2)過點(diǎn)C作CGL直線AR垂足為G,連接。G.判斷OG與CF的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)將aABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到aCB”,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,連接BRHF.當(dāng)ABFH為

等腰三角形時(shí)，求Sina的值.

【分析】(1)由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AB=BF,BELAF,可求NCBF=90°-2a,由等腰三角形的性質(zhì)可

求解；

(2)通過證明點(diǎn)4,點(diǎn)。，點(diǎn)G,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得N4GO=/ACD=45°,由等腰三角形的性質(zhì)可

得NA尸8=90°-a,可得NCFG=45°=ZDGA,可證。G〃C尸；

(3)分三種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CH,BE=BH,NABE=NCBH=(I=NFBE,AB=BC,

由“AS4"pJiiE?ABE^?NHB,可得BN=AE=上48,即可求解.

2

【解答】解：(1)如圖1,連接BF,

：點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,

.?AB^BF,BElAF,

.?.NABE=NEBF=a,

INCBF=90°-2a,

：四邊形ABCn是正方形，

：.AB=BC,

：.BF=BC9

：.ZBCF=-—~Yα)-=45。+α

2

(2)DG//CFf

理由如下：如圖2,連接Ac

圖2

Y四邊形A3CO是正方形，

ΛZACD=45o,ZADC=90°，

?：CG上AF,

：.ZCGA=ZADC=90Q,

???點(diǎn)A,點(diǎn)。，點(diǎn)G,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓,

.?ZAGD=ZACD=450,

?：AB=BF,ZABF=2a,

：.ZAFB=1^"2α=90°-α,

2

ΛZAFC=135°,

ΛZCFG=45o=NOG4,

：.DG//CF；

(3)VBE>AB,

：?BH>BF,

：.BH≠BF;

如圖3,當(dāng)BH=FH時(shí),過點(diǎn)H作HNLBF于M

ED

V^?ΛBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到aC8”,

：.叢ABE9XCBH,NEBH=90°=ZABC,

.ME=CH,BE=BH,NABE=NCBH=a=NFBE,AB=BC,

：.NHBF=9Q°-a,

VBH=FH,HNlBF,

：.BN=NF=工BF=工AB,NBNH=90°=NBAE,

22

：.NBHN=a,

：.NABE=NBHN,

1△ABE當(dāng)ANHB(ΛSA),

：.BN=AE=^AB,

2

,BE=Y"+/=遙AE,

當(dāng)BF=FH時(shí),

：.NFBH=∕FHB=90°-a,

.".ZBFH=Ia=ZABF,

:,AB//FH,

即點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，則點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，

:點(diǎn)E在邊AD上（不與端點(diǎn)A,。重合），

BF=/7/不成立，

綜上所述：Sina的值為近?.

5

11.（2021?徐州）如圖1,正方形ABS的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸在邊AC上（尸不與A、。重合），連接P8、PC.將

線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PE,將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PR連接EF、EA.

FD.

(1)求證：

①APDF的面積S=-PD2;

2

②EA=FD；

(2)如圖2,EA、F7)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)取EF的中點(diǎn)M連接MM求MV的取值范圍.

圖1圖2

【分析】(1)①作FGL4O,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,作EHLAC,交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,由旋轉(zhuǎn)及正

方形的性質(zhì)證明AFPGgzSPCQ,可得尸G=Pr>,可得結(jié)論；

②證明Z?EP"g∕?P84,再證明Z△。尸G,即可得出結(jié)論；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，作FZAE”于點(diǎn)L,設(shè)PQ=nn則可證明設(shè)立=〃，用含的

代數(shù)式表示”，用含〃的代數(shù)式表示EF,可先求出EF的取值范圍，再證明NEMF=90°,根據(jù)直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出MN的取值范圍.

【解答】(1)證明：如圖1，作FGLAD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,作EHA.AD,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H.

①由旋轉(zhuǎn)得，PF=CP,ZCPF=90Q,

：四邊形ABe。是正方形，

.?.ZPDC=90a,

：/FPG+/OPC=90°,∕PCE>+∕OPC=90°,

.".ZFPG=ZPCD,

?.?∕G=NPOC=90°,

：.AFPGQAPCD(AAS),

.".FG=PD,

1△PDF的面積^PD?FG=^PD2.

22

②由①得，AFPGqAPCD,

IPD=FG,PG=CD=4,

同理，XEPgAPBN

：.EH=AP,PH=BA=4,

?,AH=4-AP=PD,

,AH=FG;

?.'AP=4-PD=DG,

,EH=DG;

VZ∕∕=ZG=90o,

:?XEAHWXDFG(SAS),

??EA=FD.

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，作FLLEH于點(diǎn)L,則NFLE=NFU/=90°,

J四邊形"AFG是矩形，

ILH=FG=AH,EL=G”=4+4=8；

YEH=PA,AH=PD,

：.EH+AH=%+尸。=Ao=4；

設(shè)PO=m,EL=n,(∕n>0,九20),則L"=A"=m,

Λn=4-2m；

?；EF1=EL1+FL1=H2+82=n2+64,

?,?^=Vn2+64,

.?.EF隨"的增大而增大；

由π=4-2m可知，n隨m的增大而減小，

當(dāng)∕n=2時(shí)，nSΦ=O,此時(shí)，E尸及小=ΛI(xiàn)∕^=8;

若加=0,則〃城大=4,此時(shí)，EF??=√42+82=4Vδ