2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題13.10期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練【蘇科版】考點(diǎn)1考點(diǎn)1中心對稱圖形—平行四邊形解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實(shí)驗初中校考期末）如圖，已知正方形ABCD，將它繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°）得正方形AEFG，EF交BC于H，AB=2．(1)求證：AH平分∠BHE；(2)當(dāng)A、E、C在同一條直線上時，①求證：A、B、F共線；②求BH長．(3)當(dāng)D、B、F在同一直線上時直接寫出∠FAB的度數(shù)．2．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谀┤鐖D1，在?ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)E，交CB的延長線于F，以BE、BF為鄰邊作?EBFH．(1)證明：平行四邊形EBFH是菱形；(2)如圖2，若∠ABC=60°，連接HA、HB、HC、AC，求證：△ACH是等邊三角形．(3)如圖3，若∠ABC=90°．①直接寫出四邊形EBHF的形狀；②已知AB=10，AD=6，M是EF的中點(diǎn)，求CMCF3．（2022春·江蘇·八年級期末）【問題背景】在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊BC上，將紙片沿PQ折疊，使頂點(diǎn)B落在點(diǎn)E處．【初步認(rèn)識】（1）如圖①，折痕的端點(diǎn)P與點(diǎn)A重合．①當(dāng)∠CQE=50°時，∠AQB=______．②若點(diǎn)E恰好在線段QD上，則BQ的長為_______．【深入思考】（2）點(diǎn)E恰好落在邊AD上．①請在圖②中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出折痕PQ；（不寫作法，保留作圖痕跡）②如圖③，過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接BF．請根據(jù)題意，補(bǔ)全圖③并證明四邊形③在②的條件下，當(dāng)AE=3時，菱形PBFE的邊長為___________，BQ的長為_______．【拓展提升】（3）如圖④，若DQ⊥PQ，連接DE．當(dāng)△DEQ是以DQ為腰的等腰三角形時，求BQ的長．4．（2022春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期末）已知菱形ABCD與菱形CEFG，∠B+∠G=180°，連接AF、DM、EM，點(diǎn)M是AF的中點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長線上，判斷DM、EM的位置關(guān)系______；(2)如圖2，點(diǎn)E在DC的延長線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)將圖1中的菱形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)兩個菱形的對角線AC、CF在一條直線上時，請畫出示意圖，判斷到點(diǎn)D、M、C、E距離相等的點(diǎn)共有______個．5．（2022春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．在正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線AB上一個動點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF的位置，連接BF．(1)如圖1．點(diǎn)E在線段AB上．①已知AE=1，求點(diǎn)F到直線AB的距離；②直接寫出：∠FBN=°；③連接DF，點(diǎn)M為DF的中點(diǎn)，若正方形ABCD的邊長為18，直接寫出：在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為；(2)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)，且點(diǎn)P在DA的延長線上時，存在某一位置使四邊形CPEF為菱形．①請在圖2中畫出示意圖：②若正方形的邊長為6，求出此時DP的長．6．（2022春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1所示，平行四邊形ABCD是蘇州樂園某主題區(qū)域的平面示意圖，A，B，C，D分別是該區(qū)域的四個入口，兩條主干道AC，BD交于點(diǎn)O，請你幫助蘇州樂園的管理人員解決以下問題：(1)若AB=1.3km，AC=2km，(2)在（1）的條件下，如圖2，樂園管理人員為提升游客游覽的體驗感，準(zhǔn)備修建三條綠道AN，MN，CM，其中點(diǎn)M在OB上，點(diǎn)N在OD上，且BM=ON（點(diǎn)M與點(diǎn)O，B不重合），并計劃在(3)若將該區(qū)域擴(kuò)大，如圖3，此時AC⊥BD，7．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，直線y=35x+4與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M在線段PQ上，以MQ為對角線作正方形MNQK，點(diǎn)K(1)求正方形MNQK的邊長；(2)如圖2，將正方形MNQK沿著x軸負(fù)方向平移得到正方形ABCD，當(dāng)邊AB剛好經(jīng)過點(diǎn)M時，求平移的距離；(3)若點(diǎn)E在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)F在直線PQ上，是否存在以點(diǎn)M、K、E、F為頂點(diǎn)且以MK為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．8．（2022春·江蘇無錫·八年級無錫市天一實(shí)驗學(xué)校?？计谀﹫D①、圖②、圖③均是10×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、P均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，作以點(diǎn)P為對稱中心的平行四邊形ABEF．(2)在圖②中，作四邊形ABCD的邊BC上的高AM．(3)在圖③中，在四邊形ABCD的邊CD上找一點(diǎn)N，連結(jié)AN，使∠DAN=45°．考點(diǎn)2考點(diǎn)2分式解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·八年級期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2．（2022春·江蘇·八年級期末）已知：M=x+22，(1)當(dāng)x>0時，判斷M?N與0的關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)y=16xM2+N3．（2022春·江蘇·八年級期末）如果兩個分式M與N的和為常數(shù)k，且k正整數(shù)，則稱M與N互為“和整分式”，常數(shù)k稱為“和整值”．如分式M=xx+1，N=1x+1，M+N=x+1x+1=1(1)已知分式A=x?7x?2，B=x2+6x+9x2(2)已知分式C=3x?4x?2，D=Gx2?4，C與D互為“和整分式”，且“和整值”k=3，若①求G所代表的代數(shù)式；②求x的值；(3)在（2）的條件下，已知分式P=3x?5x?3，Q=mx?33?x，且P+Q=t，若該關(guān)于4．（2022春·江蘇·八年級期末）閱讀理解：材料1：為了研究分式1x與其分母xx…?4?3?2?101234…1…?0.25?0.?0.5?1無意義10.50.0.25…從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)x>0時，隨著x的增大，1x的值隨之減小，若x無限增大，則1x無限接近于0；當(dāng)x<0時，隨著x的增大，材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．任何一個假分式都可以化為一個整式與一個真分式的和．例如：2x+1根據(jù)上述材料完成下列問題：(1)當(dāng)x>0時，隨著x的增大，2+1x的值(增大或減小)；當(dāng)x<0時，隨著x的增大，3x+1x(2)當(dāng)x>?3時，隨著x的增大，2x+8x+3(3)當(dāng)0<x<1時，直接寫出代數(shù)式3x?4x?2值的取值范圍是5．（2022春·江蘇·八年級期末）如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．(1)下列分式：①x?1x+1；②a?2ba2?b(2)若a為整數(shù)，且?x?1x2+ax+4為“和諧分式”，寫出滿足條件的(3)在化簡4a小明：原式=4小娟：原式=4你比較欣賞誰的做法？先進(jìn)行選擇，再根據(jù)你的選擇完成化簡過程，并說明你選擇的理由．6．（2022秋·江蘇南通·八年級?？计谀┠彻緸樵黾訂T工收入，提高效益，今年提出如下目標(biāo)，和去年相比，在產(chǎn)品的出廠價增加10%的前提下，將產(chǎn)品成本降低20%，使產(chǎn)品的利潤率（利潤率=利潤7．（2022春·江蘇·八年級期末）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n階分式”，例如分式3x+1與3x（1）分式10x3+2x與（2）設(shè)正數(shù)x,y互為倒數(shù)，求證：分式2xx+y2（3）若分式aa+4b2與2ba28．（2022春·江蘇鹽城·八年級東臺市三倉鎮(zhèn)中學(xué)校考期末）某一項工程，在工程招標(biāo)時，接到甲、乙兩個工程隊的投標(biāo)書，施工一天，需付甲工程隊工程款1.5萬元，乙工程隊工程款1.1萬元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲乙兩隊的投標(biāo)書測算，可有三種施工方案：（1）甲隊單獨(dú)完成這項工程剛好如期完成；（2）乙隊單獨(dú)完成這項工程要比規(guī)定日期多用5天；（3）若甲、乙兩隊合作4天，余下的工程由乙隊單獨(dú)也正好如期完成．據(jù)上述條件解決下列問題：①規(guī)定期限是多少天？寫出解答過程；②在不耽誤工期的情況下，你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?9．（2022·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）在計算x+3x+2甲同學(xué)的解法：原式=(x+3)(x?2)x乙同學(xué)的解法：原式=x+3x+2丙同學(xué)的解法：原式=（x+3）（x﹣2）+2﹣x=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4．（1）請你判斷一下，同學(xué)的解法從第一步開始就是錯誤的，同學(xué)的解法是完全正確的．（2）乙同學(xué)說：“我發(fā)現(xiàn)無論x取何值，計算的結(jié)果都是1”．請你評價一下乙同學(xué)的話是否合理，并簡要說明理由．考點(diǎn)3考點(diǎn)3反比例函數(shù)解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇無錫·八年級無錫市天一實(shí)驗學(xué)校?？计谀┤鐖D1，已知反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像與一次函數(shù)y=x?1的圖像相交于A(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)M是x軸上一點(diǎn)，N是y軸上一點(diǎn)，若以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為邊的平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，反比例函數(shù)y=kx的圖像上有P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為mm>2，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，連接AP，AQ，BP，BQ．是否存在這樣的m使得△ABQ的面積與△ABP2．（2022春·江蘇鹽城·八年級景山中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)分別在y軸、x軸的正半軸上，P在反比例函數(shù)y=16x的圖象上，AP、BP分別是(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)如圖2，看OA=OB，則：①∠P的度數(shù)為________；②求出此時直線AB的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果直線AB的關(guān)系式為y=kx+n，且0<n<4，作反比例函數(shù)y=?nx，過點(diǎn)0,2作x軸的平行線與y=16x的圖象交于點(diǎn)M，與y=?nx的圖象交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作y軸的平行線與y=kx+n的圖象交于點(diǎn)Q，是否存在k的值，使得MN+QN的和始終是一個定值3．（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，動點(diǎn)M在函數(shù)y1=4x（x＞0）的圖像上，過點(diǎn)M分別作x軸和y平行線，交函數(shù)y2=1x（x＞0）的圖像于點(diǎn)B、C，作直線BC，設(shè)直線(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．①直線BC的函數(shù)表達(dá)式為______；②當(dāng)y<y2時，③點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在y軸上，且以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；(2)連接BO、CO．求證：△BOC的面積是個定值．4．（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第一象限，AB∥x軸，AO⊥AD，AO=AD．過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，DE=4CE．反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與邊AB交于點(diǎn)F，連接OE，OF(1)求AFEC(2)若S△EOF5．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知A?1,0，B0,?2，平行四邊形ABCD的邊AD、BC分別與y軸、x軸交于點(diǎn)E、F，且點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，雙曲線y=kx(k為常數(shù)，k≠0)(1)求k的值；(2)如圖2，點(diǎn)G是y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)G作y軸的垂線，分別交反比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù)，k≠0)圖像于點(diǎn)M，交反比例函數(shù)y=?32xx<0的圖像于點(diǎn)(3)點(diǎn)P在雙曲線y=kx上，點(diǎn)Q在y軸上，若以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求出滿足要求的所有點(diǎn)6．（2022春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知反比例函數(shù)y1=kx(k>0)的圖像與正比例函數(shù)y2=mx(m>0)的圖像交于點(diǎn)A、點(diǎn)C，與正比例函數(shù)y3=nx(n>0)的圖像交于點(diǎn)B、點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)A(1)如圖1，若點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，4)．①求m，k的值；②若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，連接AD，求△AOD的面積．(2)如圖2，依次連接AB，BC，CD，DA，若四邊形ABCD為矩形，求mn的值．(3)如圖3，過點(diǎn)A作AE⊥x軸交CD于點(diǎn)E，以AE為一邊向右側(cè)作矩形AEFG，若點(diǎn)D在邊GF上，試判斷點(diǎn)D是否為線段GF的中點(diǎn)？并說明理由．7．（2022春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y1=kx+2(k≠0)和反比例函數(shù)y2=m(1)如圖1，若函數(shù)y1，y2的圖像都經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，B(-3，a)．①求m，k，a的值；②連接AO，BO，判斷△ABO的形狀，并說明理由；③當(dāng)x>-3時，對于x的每一個值，函數(shù)y3=cx(c≠0)的值小于一次函數(shù)y1=kx+2的值，直接寫出c的取值范圍．(2)當(dāng)k=2，m=4，過點(diǎn)P(s，0)(s≠0)作x軸的垂線，交一次函數(shù)的圖像于點(diǎn)M，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)N，t取M與N的絕對值較小的縱坐標(biāo)(若二者相等則任取其一)，將所有這樣的點(diǎn)(s，t)組成的圖形記為圖形T．直線y=n(n≠0)與圖形的交點(diǎn)分別為C、D，若CD的值等于3，求n的值．8．（2022春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y=x+b與雙曲線y=kx（k為常數(shù)，k≠0）在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A(2，4)，且與x軸，y軸分別交于(1)求直線和雙曲線的解析式；(2)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且△BCP的面積等于8，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將直線AB繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與x軸交于點(diǎn)D，與雙曲線第三象限內(nèi)的圖像交于點(diǎn)E，猜想四邊形ABED的形狀，并證明你的猜想．9．（2022春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+2交雙曲線y=kx(x>0)于點(diǎn)M，點(diǎn)M①求k的值；②如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在雙曲線y=kxx>0上，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y（2）平面直角坐標(biāo)系中，如圖2，C點(diǎn)在x軸正半軸上，四邊形ABCO為直角梯形，AB∥CO，∠OCB=90°，OC=CB，D為CB邊的中點(diǎn)，∠AOC=∠OAD，反比例函數(shù)的y=mxx>0圖像經(jīng)過點(diǎn)A，且S10．（2022春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形OABC的點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，3），雙曲線y=k(1)菱形OABC的邊長為；(2)求雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；(3)①點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為D點(diǎn)，過D作直線l垂直于y軸，點(diǎn)P是直線l上一個動點(diǎn)，點(diǎn)E在雙曲線上，當(dāng)P、E、A、B四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②將點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q落在雙曲線上時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．考點(diǎn)4考點(diǎn)4二次根式解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗學(xué)校?？计谀┪覀兎Q長與寬之比為2:1的矩形為“奇異矩形”，特別地，我們稱長為2(1)①請你在圖3的虛線框中畫出用4個基本奇異矩形拼成的奇異矩形（請仿照圖1、圖2標(biāo)注必要的數(shù)據(jù)）；②請你在圖4的虛線框中畫出用8個基本奇異矩形拼成的奇異矩形；(2)若用k個基本奇異矩形可以拼成一般的奇異矩形，你發(fā)現(xiàn)正整數(shù)k有何特點(diǎn)？請敘述你的發(fā)現(xiàn)______；(3)①用16個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為______；②用128個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為______；③用m個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為326，則m2．（2022春·江蘇·八年級期末）我們要學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界．例如生活經(jīng)驗：（1）往一杯糖水中再加入一點(diǎn)糖，糖水就變甜了．這一生活經(jīng)驗可以轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)問題：a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的含糖量我們可以記為ab（b＞a＞0），再往杯中加入m（m①用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；A．a(chǎn)+mb+m>ab

B．②請證明你選擇的數(shù)學(xué)關(guān)系式是正確的．（2）再如：矩形的面積為S（S為定值），設(shè)矩形的長為x，則寬為Sx，周長為2x+Sx①用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；A．2x+Sx≥4S

②請證明你選擇的數(shù)學(xué)關(guān)系式是正確的．（友情提示：x=x2，3．（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谀┮阎猰,n是兩個連續(xù)的正整數(shù)，m<n，a=mn，求證：a+n?4．（2022春·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考期末）閱讀理解：二次根式的除法，要化去分母中的根號，需將分子、分母同乘以一個恰當(dāng)?shù)亩胃剑纾夯?2解：將分子、分母同乘以2+1得：1

類比應(yīng)用：（1）化簡：123（2）化簡：12+1

拓展延伸：

寬與長的比是5?12的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬（1）黃金矩形ABCD的長BC=；（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②中，連結(jié)AE，則點(diǎn)D到線段AE的距離為．5．（2022春·江蘇·八年級期末）先觀察下列等式，再回答問題：①12②22+2+(1③32+2+(1（1）根據(jù)上面三個等式提供的信息，請猜想第四個等式；（2）請按照上面各等式規(guī)律，試寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式，并用所學(xué)知識證明．6．（2022春·江蘇·八年級期末）在學(xué)習(xí)了二次根式后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫成另一個二次根式的平方的形式.比如：4?23當(dāng)a、b、m、n為正整數(shù)時，若a+2b=(2m+n)2，則有請模仿小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n為正整數(shù)時，若a+3b=(3m+n)2，請用含有m、n的式子分別表示a、b，得：（2）填空：13?43=(-3（3）若a+65=(m+5n)7．（2022春·江蘇·八年級期末）像(5+2)(5﹣2)＝1、a?a＝a(a≥0)、(b+1)(b﹣1)＝b﹣1(b≥0)……兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如，5與5，2+1與2﹣1，23+35與23﹣35等都是互為有理化因式．進(jìn)行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：23(2)計算：12?(3)比較2018?2017與8．（2022春·江蘇·八年級期末）觀察下列等式：

①12+1=2?1回答下列問題：（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡：1（2）計算：11+2+12+9．（2022春·江蘇·八年級期末）定義fx=13x2+2x+1+3x2?1+3x2?2x+1，求f(1)【蘇科版】考點(diǎn)1考點(diǎn)1中心對稱圖形—平行四邊形解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實(shí)驗初中?？计谀┤鐖D，已知正方形ABCD，將它繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°）得正方形AEFG，EF交BC于H，AB=2．(1)求證：AH平分∠BHE；(2)當(dāng)A、E、C在同一條直線上時，①求證：A、B、F共線；②求BH長．(3)當(dāng)D、B、F在同一直線上時直接寫出∠FAB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②(3)15°【分析】（1）根據(jù)題意可得AB=AE，∠B=∠AEH=90°，通過證明Rt△ABH≌Rt△AEHHL可得到∠BHA=∠EHA（2）①根據(jù)題意可得∠HEA=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，從而可得到∠FHB=45°，∠BFH=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠FBH=90°，由∠FBH+∠ABH=180°即可得證；②連接AH，同（1）可證明Rt△ABH≌Rt△AEHHL得到BH=EH，設(shè)BH=x，則HE=BH=x（3）連接AC、CE、CF，通過證明△FAB≌△CAESAS和△ABF≌△FECSAS，可以得到△ACF為等邊三角形，從而即可得到【詳解】（1）證明：連接AH，根據(jù)題意可得：AB=AE，∠B=∠AEH=90°，在Rt△ABH和Rt△AEH中，AB=AEAH=AH∴Rt△ABH≌Rt△AEHHL∴∠BHA=∠EHA，∴AH平分∠BHE；（2）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：①證明：根據(jù)題意可得：∠HEA=90°，∴∠FHB=∠CHE=90°?∠BCA=90°?45°=45°，∠AFE=90°?∠BAC=90°?45°=45°，∵∠BFH+∠FHB+∠FBH=180°，∴∠FBH=90°，∵∠FBH+∠ABH=180°，∴A、B、F三點(diǎn)共線；②連接AH，根據(jù)題意可得：AB=AE，∠B=∠AEH=90°，在Rt△ABH和Rt△AEH中，AB=AEAH=AH∴Rt△ABH≌Rt△AEHHL∴BH=EH，∵AB=2，∴AC=22設(shè)BH=x，則HE=BH=x，CH=2?x，∵HE∴x解得：x=22∴BH=22（3）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：連接AC、CE、CF，由題意可得：AC=AF，AB=AE=EF，∴∠ABF=180°?∠ABD=180°?45°=135°，∵∠FAB+∠BAE=45°，∴∠FAB=∠CAE，在△FAB和△CAE中，AF=AC∠FAB=∠CAE∴△FAB≌△CAESAS∴∠AEC=∠ABF=135°，∵∠AEC+∠FEC+∠AEF=360°，∴∠FEC=135°，在△ABF和△FEC中，AB=BC∠ABF=∠FEC∴△ABF≌△FECSAS∴FC=AF=AC，∴△ACF為等邊三角形，∴∠CAF=60°，∴∠FAB=∠CAF?∠CAB=60°?45°=15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谀┤鐖D1，在?ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)E，交CB的延長線于F，以BE、BF為鄰邊作?EBFH．(1)證明：平行四邊形EBFH是菱形；(2)如圖2，若∠ABC=60°，連接HA、HB、HC、AC，求證：△ACH是等邊三角形．(3)如圖3，若∠ABC=90°．①直接寫出四邊形EBHF的形狀；②已知AB=10，AD=6，M是EF的中點(diǎn)，求CMCF【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①菱形EBFH為正方形；②CMCF【分析】（1）證明∠HEF=∠HFE，則EH=FH，即可求解；（2）證明四邊形DCFG為菱形，則△DGC、△CGF均為等邊三角形；證明△CAG≌△CHFSAS，則CA=CH，再證明∠ACH=60°（3）①∠ABC=90°，則平行四邊形ABCD為矩形，菱形EBFH為正方形；②MN=2=BN，CN=BC+NB，則CM=C【詳解】（1）證明：∵DE是∠ADC的平分線，∴∠CDE=∠ADE，∵CD∥AB，∴∠CDE=∠AED=∠HFE，∵AD∥∴∠EDA=∠FEH，∴∠HEF=∠HFE，∴EH=FH，∴?EBFH為菱形；（2）證明：延長DA交FH的延長線于點(diǎn)G，連接CG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，故CD∥AB，而四邊形EBFH為菱形，故EB∥∴DG∥CF，∴四邊形DCFG為平行四邊形，∵DE是∠ADC的角平分線，∵∠CDF=∠GDF，∴CD∥∴∠CDF=∠GFD=∠GDF，∴DG=GF，∴平行四邊形DCFG為菱形，∵∠ABC=60°，∴△DGC、△CGF均為等邊三角形，∴∠CGD=∠CGF=60°，CG=CF，同理可得：四邊形AEHG為平行四邊形，故AG=EH=HF，在△CAG和△CHF中，CG=CF，AG=HF，∠CGD=∠CGF=60°，∴△CAG≌△CHFSAS∴CA=CH，∠ACG=∠HCF，∵∠ACH=∠ACG+∠GCH=∠GCH+∠HCF=60°，∴△ACH是等邊三角形；（3）解：①∠ABC=90°，則平行四邊形ABCD為矩形，∴菱形EBFH為正方形；②由（1）知△ADE為等腰直角三角形，故AE=AD=6，則BE=10?6=4，連接BH，過點(diǎn)M作MN⊥BF于點(diǎn)N，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，故點(diǎn)M時正方形EBFH對角線的交點(diǎn)，則MN=1則CN=BC+NB=6+2=8，CF=BC+BF=6+4=10∴CM=C∴CMCF【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題，考查了勾股定理、等邊三角形、三角形全等、平行四邊形和特殊四邊形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．3．（2022春·江蘇·八年級期末）【問題背景】在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊BC上，將紙片沿PQ折疊，使頂點(diǎn)B落在點(diǎn)E處．【初步認(rèn)識】（1）如圖①，折痕的端點(diǎn)P與點(diǎn)A重合．①當(dāng)∠CQE=50°時，∠AQB=______．②若點(diǎn)E恰好在線段QD上，則BQ的長為_______．【深入思考】（2）點(diǎn)E恰好落在邊AD上．①請在圖②中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出折痕PQ；（不寫作法，保留作圖痕跡）②如圖③，過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接BF．請根據(jù)題意，補(bǔ)全圖③并證明四邊形③在②的條件下，當(dāng)AE=3時，菱形PBFE的邊長為___________，BQ的長為_______．【拓展提升】（3）如圖④，若DQ⊥PQ，連接DE．當(dāng)△DEQ是以DQ為腰的等腰三角形時，求BQ的長．【答案】（1）①65°；②2；（2）①見解析；②見解析；③154；152；（3）BQ的長為345【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)直接計算即可；②根據(jù)折疊可知，AB=AE=6，∠ABQ=∠AEQ=90°，BQ=QE，根據(jù)勾股定理求出DE=AD2（2）①連接BE，作BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，則PQ即為所求；②先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得出答案；③根據(jù)勾股定理列出方程求解即可；（3）分兩種情況：當(dāng)DQ=EQ時，當(dāng)DE=DQ時，過點(diǎn)D作DF⊥EQ于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理和三角形全等的判定和性質(zhì)，分別求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）①根據(jù)折疊可知，∠AQB=∠AQE，∵∠CQE=50°，∴∠AQB=1故答案為：65°；②根據(jù)折疊可知，AB=AE=6，∠ABQ=∠AEQ=90°，BQ=QE，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=10，DC=AB=6，∴DE=A在Rt△CDQ中，根據(jù)勾股定理得：Q即8+QE2解得：QE=2，∴BQ=QE=2；故答案為：2；（3）①連接BE，作BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，則PQ即為所求；如圖所示：②∵EF∥∴∠BPF=∠EFP，由折疊可知，PB=PE，∠BPF=∠EPF，∴∠EFP=∠EPF，∴PE=EF，∴PB=EF，∴四邊形PBFE為平行四邊形，∵PE=EF，∴四邊形PBFE為菱形；③由折疊可知，PB=PE，∵AB=6，∴AP=6?PE，在Rt△APE中，P即PE解得：PE=15∴菱形PBFE的邊長為154由折疊可知，EQ=BQ，∵AE=3，∴BG=3，在Rt△EGQ中，E即BQ解得：BQ=15故答案為：154；15（3）由折疊可知，BQ=EQ，設(shè)BQ=m，則EQ=m，CQ=10?m，當(dāng)DQ=EQ時，在Rt△CDQ中，6解得：m=34∴此時BQ=34當(dāng)DE=DQ時，過點(diǎn)D作DF⊥EQ于點(diǎn)F，如圖所示：∴FQ=1由折疊可知，∠PQB=∠PQE，∵DQ⊥PQ，∴∠PQB+∠CQD=90°=∠PQE+∠FQD，∴∠CQD=∠FQD，∴△CDQ≌△FDQAAS∴CQ=FQ，∴10?m=1解得：m=20∴此時BQ=20綜上分析可知，BQ的長為345或20【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作線段的垂直平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論．4．（2022春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期末）已知菱形ABCD與菱形CEFG，∠B+∠G=180°，連接AF、DM、EM，點(diǎn)M是AF的中點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長線上，判斷DM、EM的位置關(guān)系______；(2)如圖2，點(diǎn)E在DC的延長線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)將圖1中的菱形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)兩個菱形的對角線AC、CF在一條直線上時，請畫出示意圖，判斷到點(diǎn)D、M、C、E距離相等的點(diǎn)共有______個．【答案】(1)DM⊥EM(2)仍然成立，證明見解析(3)2【分析】（1）延長EM交AD于H，證明△AMH≌△FMEASA，得AH=EF，MH=ME，從而得DH=DE（2）延長EM，交DA延長線于H，仿（1）同理可得出結(jié)論；（3）畫出圖形，由圖直接得出結(jié)論．【詳解】（1）解：延長EM交AD于H，如圖1，∵菱形ABCD∴AD=CD，AD∥BC，∴∠B+∠BCD=180°，∵菱形CEFG，∴EF=CE，CG∥EF，∴∠G+∠GCE=180°，∵∠B+∠G=180°，∴∠BCE+∠GCE=180°，∴B、C、E三點(diǎn)共線，∴AD∥∴∠MAH=∠MFE，∵點(diǎn)M是AF的中點(diǎn)，∴AM=FM，在△AMH與△FME中，∠MAH=∠MFEAM=FM∴△AMH≌△FME∴AH=EF，MH=ME，∴AH=CE，∴AD?AH=CD?CE，即DH=DE，∴DM⊥EM．（2）解：仍然成立，如圖，延長EM，交DA延長線于H，在菱形ABCD與菱形CEFG中，AD∥BC，GC∥EF∵點(diǎn)G在BC上，∴EF∥∴∠MAH=∠MFE，∠H=∠MEF∵M(jìn)是AF中點(diǎn)，∴AM=FM，∴△AMH≌△FME(AAS)，∴AH=EF，HM=EM，∵CE=EF，∴AH=CE∵AD=CD，∴AD+AH=CD+CE，即DH=DE，∵HM=EM，∴DM⊥EM；（3）解：當(dāng)CF在AC延長線上時，如圖１，則DE的中點(diǎn)N1到點(diǎn)D、M、C、E當(dāng)CF在線段AC上時，如圖2，則DE的中點(diǎn)N2到點(diǎn)D、M、C、E∴點(diǎn)D、M、C、E距離相等的點(diǎn)共有2個．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)用運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．在正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線AB上一個動點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF的位置，連接BF．(1)如圖1．點(diǎn)E在線段AB上．①已知AE=1，求點(diǎn)F到直線AB的距離；②直接寫出：∠FBN=°；③連接DF，點(diǎn)M為DF的中點(diǎn)，若正方形ABCD的邊長為18，直接寫出：在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為；(2)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)，且點(diǎn)P在DA的延長線上時，存在某一位置使四邊形CPEF為菱形．①請在圖2中畫出示意圖：②若正方形的邊長為6，求出此時DP的長．【答案】(1)①1；②45°；③3；(2)①圖見詳解；②12；【分析】（1）①過F作FH⊥AN，易得△ADE≌△HEF即可得到答案；②由①可得BH=AE=HF，即可得到答案；③連接AC、BD交于一點(diǎn)根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分且相等即可得到是中點(diǎn)，延長DC至H使DC=CH，根據(jù)三角形中位線可得點(diǎn)M的移動軌跡為線段MC，結(jié)合勾股定理即可得到答案；（2）①根據(jù)菱形性質(zhì)可得，AE垂直平分DP即可找到點(diǎn)P，連接PC，以P為圓心PC長為半徑畫圓交AN于E，再分別以E，C為圓心PC長為半徑畫圓交于一點(diǎn)即為F點(diǎn)，即可得到答案；②根據(jù)①的作圖直接求解即可得到答案；【詳解】（1）①

解：過F作FH⊥AN，∵四邊形ABCD是正方形，DE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，F(xiàn)H⊥AN，∴∠A=∠FHE=90°，∠ADE+∠DEA=90°，∠HEF+∠DEA=90°，DE=FE，∴∠ADE=∠HEF，在△ADE與△HEF中，∠ADE=∠HEF∠A=∠FHE∴△ADE≌△HEF(AAS∴FH=②

∵△ADE≌△HEF，∴∠EH=∵FH=∴BH=AE=HF，∵FH⊥AN，∴∠FBN=45°；③

連接AC、BD交于一點(diǎn)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，即交點(diǎn)為M點(diǎn)，DM=BM，延長DC至H使DC=CH，連接BH，∵DM=BM，DC=CH，∴CM∥BH，CM=∴點(diǎn)M的移動軌跡為線段MC，根據(jù)勾股定理可得，CM=故答案為3；（2）解：∵四邊形CPEF為菱形，∴PE=PC=FC=FE=DE，∴AE垂直平分DP，以A為圓心AD為半徑找到點(diǎn)P，連接PC，以P為圓心PC長為半徑畫圓交AN于E，再分別以E，C為圓心PC長為半徑畫圓交于一點(diǎn)即為F點(diǎn)，如圖所示；②由①得，AD=AP，∵正方形的邊長為6，∴DP=2×6=12；【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，菱形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線找到相應(yīng)點(diǎn)．6．（2022春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1所示，平行四邊形ABCD是蘇州樂園某主題區(qū)域的平面示意圖，A，B，C，D分別是該區(qū)域的四個入口，兩條主干道AC，BD交于點(diǎn)O，請你幫助蘇州樂園的管理人員解決以下問題：(1)若AB=1.3km，AC=2km，(2)在（1）的條件下，如圖2，樂園管理人員為提升游客游覽的體驗感，準(zhǔn)備修建三條綠道AN，MN，CM，其中點(diǎn)M在OB上，點(diǎn)N在OD上，且BM=ON（點(diǎn)M與點(diǎn)O，B不重合），并計劃在(3)若將該區(qū)域擴(kuò)大，如圖3，此時AC⊥BD，【答案】(1)△AOB是等腰三角形，理由見解析(2)0.6(3)617【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出OA，OB，進(jìn)而可得AB=OB≠OA，則（2）根據(jù)已知條件可得S△COM=S△AOM，從而（3）如圖所示，過點(diǎn)M作MP∥AN，過點(diǎn)A作AP∥MN交MP于P，則四邊形APMN是平行四邊形，AN=PM，AP=MN，同理可得OB=12BD=1.5km，求出AP=MN=1.5km，進(jìn)而推出當(dāng)C、M、P三點(diǎn)共線時，PM+CM最小，即AN+MN+CM【詳解】（1）解：△AOB是等腰三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=1.3km，∴OA=1∴AB=OB≠OA，∴△AOB是等腰三角形；（2）解：連接AM、CN，如圖：∵在△ACM中，OA=OC，∴S∴S∵OB=BM+MO，BM=ON，OB=OD=1∴MN=MO+ON=OB=1∴S過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E，∴AE=OE=1∴BE=A∴S∴S∴S∴種植馬鞭草區(qū)域的面積為0.6km（3）解：如圖所示，過點(diǎn)M作MP∥AN，過點(diǎn)A作AP∥MN交MP于P，則四邊形APMN是平行四邊形，∴AN=PM，同理可得OB=1∵BM=ON，∴BM+OM=ON+OM，∴MN=OB=1.5km∴AP=MN=1.5km∴AN+MN+CM=PM+CM+1.5，∴當(dāng)C、M、P三點(diǎn)共線時，PM+CM最小，即AN+MN+CM最小，最小值為PC+1.5，在Rt△APC中，由勾股定理得PC=∴AN+MN+CM最小∴修建這三條綠道投入資金的最小值為317【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)與判定，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，直線y=35x+4與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M在線段PQ上，以MQ為對角線作正方形MNQK，點(diǎn)K(1)求正方形MNQK的邊長；(2)如圖2，將正方形MNQK沿著x軸負(fù)方向平移得到正方形ABCD，當(dāng)邊AB剛好經(jīng)過點(diǎn)M時，求平移的距離；(3)若點(diǎn)E在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)F在直線PQ上，是否存在以點(diǎn)M、K、E、F為頂點(diǎn)且以MK為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)正方形MNQK的邊長為17；(2)17(3)存在，E?373,0【分析】（1）過點(diǎn)M，作MT⊥x軸于點(diǎn)T，證明△TMK≌△QKOAAS，根據(jù)直線與y軸交點(diǎn)，得出Q0,4，設(shè)MT=KO=a，則TK=4+a，得出M?4?a,a，代入直線解析式得出a=1，則M?5,1（2）過點(diǎn)NS⊥y軸與點(diǎn)S，證明△NSQ≌△QKOAAS，得出N?4,5，由（1）可知M?5,1，則MT=1，設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b，待定系數(shù)法求解析式得出y=4x+21（3）如圖所示，分別作EF∥NQ,EF∥MK，有以下三種情況，①當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸時，②當(dāng)MF為對角線時，則E在E1【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)M，作MT⊥x軸于點(diǎn)T，∵四邊形MNQK是正方形，∴MK=QK,∠MKQ=90°，∵∠TMK=∠KOQ=90°，∴∠MKT+∠TMK=90°,∠MKT+∠QKO=90°,∴∠TMK=∠QKO，∴△TMK≌△QKOAAS，∴MT=KO,TK=OQ，∵直線y=35x+4與y令x=0，則y=4，∴Q0,4設(shè)MT=KO=a，則TK=4+a，∴M?4?a,a，代入y=得a=35解得：a=1，∴M?5,1∴MQ=?5∴MK=2即正方形MNQK的邊長為17；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)NS⊥y軸與點(diǎn)S，∵∠NSQ=∠QOK=90°,∠NQK=90°，∴∠NQS=90°?∠KQO=∠QKO，又∵NQ=KQ，∴△NSQ≌△QOKAAS∴QS=OK=MT=1，∴NS=OQ=4，SO=SQ+QO=1+4=5，∴N?4,5由（1）可知M?5,1，則MT=1設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b，∴?5k+b=1解得：k=4b=21∴y=4x+21，當(dāng)y=0時，x=?214即點(diǎn)A?∴OA=21∵OK=1，∴AK=21即平移距離為174（3）∵M(jìn)、F在y=3如圖所示，分別作EF∥①當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸時，則EK為對角線，∴P為平行四邊形KMEF的對角線的交點(diǎn)，∴EP=PK，由y=35x+4，當(dāng)y=0∴P?∴PK=20∴E?20②當(dāng)MF為對角線時，則E在E1設(shè)過點(diǎn)E?373,0平行于則3解得：b=∴直線E1E2即E③同理可得當(dāng)E3在K∵K?1,0，設(shè)經(jīng)過K點(diǎn)且平行與PQ的直線為y=∴c=即E3綜上所述，E?373,0或【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的平移，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇無錫·八年級無錫市天一實(shí)驗學(xué)校校考期末）圖①、圖②、圖③均是10×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、P均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，作以點(diǎn)P為對稱中心的平行四邊形ABEF．(2)在圖②中，作四邊形ABCD的邊BC上的高AM．(3)在圖③中，在四邊形ABCD的邊CD上找一點(diǎn)N，連結(jié)AN，使∠DAN=45°．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格特征連接AP，BP并延長，即可作以點(diǎn)P為對稱中心的平行四邊形ABEF；（2）取格點(diǎn)E，連接AE交BC于點(diǎn)M，即可作四邊形ABCD的邊BC上的高AM；（3）取格點(diǎn)E，P，Q，連接AE，PQ，ED，PQ與ED交于點(diǎn)F，連接AF并延長交CD于點(diǎn)N即可．【詳解】（1）如圖①中，平行四邊形ABEF即為所求；（2）如圖②中，高AM即為所求；根據(jù)網(wǎng)格與勾股定理得出AF=EH=3,AD=AE=5,DF=AH=4∴△ADF≌△EAH，∴∠EAH=∠ADF，∵∠ADF+∠DAF=90°∴∠EAH+∠FAD=90°，∴DA⊥AE，∴AE⊥BC，∴AM即為所求；（3）如圖③中，點(diǎn)N即為所求．如圖所示，找到格點(diǎn)E，DE=72+則△DAE是等腰直角三角形，找到格點(diǎn)PQ，則PQED是矩形，∴F是DE的中點(diǎn)，∴AN垂直平分DE，即∠NAD=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，勾股定理與網(wǎng)格問題，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2考點(diǎn)2分式解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·八年級期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b【答案】?【分析】先根據(jù)完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，進(jìn)一步推出ab+bc+ac=?6，由ca+3b+3=c?3a?3，由此代入所求式子中并化簡得到【詳解】解：∵a+b+c=2，∴a+b+c2∴a2∵a2∴ab+bc+ac=?6，∵a+b+c=2，∴c=2?a?b，∴3c+3=9?3a?3b，∴ab+3c+3=ab+9?3a?3b==a=a?3同理可得：bc+3a+3=b?3ca+3b+3=c?3∴=======?7【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值問題，完全平方公式，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用有關(guān)公式將所給的代數(shù)式恒等變形，準(zhǔn)確化簡．2．（2022春·江蘇·八年級期末）已知：M=x+22，(1)當(dāng)x>0時，判斷M?N與0的關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)y=16xM2+N【答案】(1)當(dāng)x>0時，M?N≥0(2)若x是正整數(shù)，y的正整數(shù)值是12或15．【分析】（1）先求出M?N的值，再根據(jù)當(dāng)x>0時，(x?2)2≥0，2(x+1)>0，即可得出（2）先求出y的值，再根據(jù)x和y都是正整數(shù)，得出8x+2的取值，進(jìn)一步得到x+2的取值，然后分類討論，即可得到y(tǒng)【詳解】（1）當(dāng)x>0時，M?N≥0，理由如下：∵M(jìn)=x+22，∴M?N=x+2=(x+2)=(x+2)=(x?2)∵x>0，∴(x?2)2≥0，∴M?N≥0（2）∵M(jìn)=x+22，∴y=16x=16x=64x=16=16(=16(=16=16?64=16?(∵x和y都是正整數(shù)，∴8x+2∴x+2可取4，8，當(dāng)x+2=4時，x=2，8x+2=2∴y=16?(當(dāng)x+2=8時，x=6，8x+2=1∴y=16?(綜上所述：當(dāng)x是正整數(shù)，y的正整數(shù)值是12或15．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則，求出M?N的值和x的正整數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·江蘇·八年級期末）如果兩個分式M與N的和為常數(shù)k，且k正整數(shù)，則稱M與N互為“和整分式”，常數(shù)k稱為“和整值”．如分式M=xx+1，N=1x+1，M+N=x+1x+1=1(1)已知分式A=x?7x?2，B=x2+6x+9x2(2)已知分式C=3x?4x?2，D=Gx2?4，C與D互為“和整分式”，且“和整值”k=3，若①求G所代表的代數(shù)式；②求x的值；(3)在（2）的條件下，已知分式P=3x?5x?3，Q=mx?33?x，且P+Q=t，若該關(guān)于【答案】(1)A與B是互為“和整分式”，“和整值”k=2；(2)①G=?2x?4；②x=1(3)m的值為：1或73【分析】（1）先計算A+B，再根據(jù)結(jié)果可得結(jié)果；（2）①先求解C+D=3x2+2x?8+Gx?2x+2，結(jié)合新定義可得3x2+2x?8+G=3x?2x+2=3x（3）由題意可得：t=D=?21?2=2，可得3x?5?mx+3x?3=2，整理得：1?m【詳解】（1）解：∵A=x?7x?2，∴A+B=x?7=x?7=x?7==2．∴A與B是互為“和整分式”，“和整值”k=2；（2）①∵C=3x?4x?2，∴C+D=3x?4=3∵C與D互為“和整分式”，且“和整值”k=3，∴3x∴G=3x②∵D=Gx2?4=?2x+2∴x?2=?1或x?2=?2，∴x=1（x=0舍去）；（3）由題意可得：t=D=?2∴P+Q=3x?5∴3x?5?mx+3x?3∴3?mx?2=2x?6整理得：1?mx=?4∵方程無解，∴1?m=0或方程有增根x=3，解得：m=1，當(dāng)1?m≠0，方程有增根x=3，∴?41?m解得：m=7綜上：m的值為：1或73【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算的理解，分式的加減運(yùn)算，分式方程的解法，分式方程無解問題，理解題意是解本題的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇·八年級期末）閱讀理解：材料1：為了研究分式1x與其分母xx…?4?3?2?101234…1…?0.25?0.?0.5?1無意義10.50.0.25…從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)x>0時，隨著x的增大，1x的值隨之減小，若x無限增大，則1x無限接近于0；當(dāng)x<0時，隨著x的增大，材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．任何一個假分式都可以化為一個整式與一個真分式的和．例如：2x+1根據(jù)上述材料完成下列問題：(1)當(dāng)x>0時，隨著x的增大，2+1x的值(增大或減小)；當(dāng)x<0時，隨著x的增大，3x+1x(2)當(dāng)x>?3時，隨著x的增大，2x+8x+3(3)當(dāng)0<x<1時，直接寫出代數(shù)式3x?4x?2值的取值范圍是【答案】(1)減小，減小(2)當(dāng)x>?3時，2x+8x+3(3)1<【分析】（1）根據(jù)1x的變化情況，判斷2+1x（2）根據(jù)材料由2x+8x+3（3）由3x?4x?2=3【詳解】（1）解：∵當(dāng)x>0時，隨著x的增大，1x∴隨著x的增大，2+1∵當(dāng)x<0時，隨著x的增大，1x∴隨著x的增大，3x+1x故答案為：減??；減??；（2）解：∵2x+8∵當(dāng)x>?3時，2x+3∴當(dāng)x>?3時，2x+8x+3（3）解：3x?4x?2∵0<x<1，∴?2<x?2<?1，∴?2<2∴3?2<3+2即1<3+∴1<3x?4故答案為：1<【點(diǎn)睛】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇·八年級期末）如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．(1)下列分式：①x?1x+1；②a?2ba2?b(2)若a為整數(shù)，且?x?1x2+ax+4為“和諧分式”，寫出滿足條件的(3)在化簡4a小明：原式=4小娟：原式=4你比較欣賞誰的做法？先進(jìn)行選擇，再根據(jù)你的選擇完成化簡過程，并說明你選擇的理由．【答案】(1)②(2)±4或5(3)我欣賞小娟的做法，見解析【分析】（1）根據(jù)和諧分式的定義判斷即可得出答案；（2）根據(jù)完全平方公式和十字相乘法即可得出答案；（3）小娟利用了和諧分式，通分時找到了最簡公分母，完成化簡即可．【詳解】（1）解：①分子或分母都不可以因式分解，不符合題意；②分母可以因式分解，且這個分式不可約分，符合題意；③這個分式可以約分，不符合題意；故答案為：②；（2）解：將分母變成完全平方公式得：x2±4x+4，此時將分母變形成(x+1)(x+4)，此時a=5；故答案為：±4或5；（3）我欣賞小娟的做法，原式===4a理由：小娟利用了和諧分式，通分時找到了最簡公分母．（3）解：我欣賞小娟的做法，原式===4a理由：小娟利用了和諧分式，通分時找到了最簡公分母．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握在分式的混合運(yùn)算中，能因式分解的多項式要分解因式，便于約分．6．（2022秋·江蘇南通·八年級?？计谀┠彻緸樵黾訂T工收入，提高效益，今年提出如下目標(biāo)，和去年相比，在產(chǎn)品的出廠價增加10%的前提下，將產(chǎn)品成本降低20%，使產(chǎn)品的利潤率（利潤率=利潤【答案】今年該公司產(chǎn)品的利潤率120%．【分析】設(shè)去年產(chǎn)品出廠價為a，去年產(chǎn)品成本為b，根據(jù)利潤率計算公式列出方程，求出a和b的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出產(chǎn)品的利潤率．【詳解】解：設(shè)去年產(chǎn)品出廠價為a，去年產(chǎn)品成本為b，根據(jù)題意，(1+10%)a?(1?20%)b(1?20%)b整理得：1.1a?0.8b0.8解得：a=8∴今年的利潤率為a?bb答：今年該公司產(chǎn)品的利潤率120%．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確設(shè)出產(chǎn)品的出廠價和成本價，并表示今年的出廠價和成本，利用今年的利潤率較去年翻一番列出方程．7．（2022春·江蘇·八年級期末）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n階分式”，例如分式3x+1與3x（1）分式10x3+2x與（2）設(shè)正數(shù)x,y互為倒數(shù)，求證：分式2xx+y2（3）若分式aa+4b2與2ba2【答案】（1）153+2x；（2）詳見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)分式的加法，設(shè)所求分式為A，然后進(jìn)行通分求解即可；（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將x，y進(jìn)行消元，然后通過分式的加法化簡即可得解；（3）根據(jù)1階分式的要求對兩者相加進(jìn)行分式加法化簡，通過通分化簡即可得解.【詳解】（1）依題意，所求分式為A，即：10x3+2x∴A=5?10x（2）∵正數(shù)x,y互為倒數(shù)∴xy=1，即x=∴2x∴分式2xx+y2（3）由題意得aa+4b化簡得：a(即：2ab+8∴4a2∴ab=1∵a,b為正數(shù)∴ab=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運(yùn)算知識是解決此類問題的關(guān)鍵.8．（2022春·江蘇鹽城·八年級東臺市三倉鎮(zhèn)中學(xué)?？计谀┠骋豁椆こ?，在工程招標(biāo)時，接到甲、乙兩個工程隊的投標(biāo)書，施工一天，需付甲工程隊工程款1.5萬元，乙工程隊工程款1.1萬元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲乙兩隊的投標(biāo)書測算，可有三種施工方案：（1）甲隊單獨(dú)完成這項工程剛好如期完成；（2）乙隊單獨(dú)完成這項工程要比規(guī)定日期多用5天；（3）若甲、乙兩隊合作4天，余下的工程由乙隊單獨(dú)也正好如期完成．據(jù)上述條件解決下列問題：①規(guī)定期限是多少天？寫出解答過程；②在不耽誤工期的情況下，你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?【答案】規(guī)定期限20天；方案（3）最節(jié)省【分析】設(shè)這項工程的工期是x天，根據(jù)甲隊單獨(dú)完成這項工程剛好如期完成，乙隊單獨(dú)完成這項工程要比規(guī)定日期多用5天，若甲、乙兩隊合做4天，余下的工程由乙隊單獨(dú)做也正好如期完成以及工作量=工作時間×工作效率可列方程求解．再看費(fèi)用情況：方案（1）、（3）不耽誤工期，符合要求，可以求費(fèi)用，方案（2）顯然不符合要求．【詳解】解：設(shè)規(guī)定期限x天完成，則有：4x解得x=20．

經(jīng)檢驗得出x=20是原方程的解；答：規(guī)定期限20天．方案（1）：20×1.5=30（萬元）方案（2）：25×1.1=27.5（萬元），

方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（萬元）．所以在不耽誤工期的前提下，選第三種施工方案最節(jié)省工程款．所以方案（3）最節(jié)省．點(diǎn)睛：本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗．9．（2022·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）在計算x+3x+2甲同學(xué)的解法：原式=(x+3)(x?2)x乙同學(xué)的解法：原式=x+3x+2丙同學(xué)的解法：原式=（x+3）（x﹣2）+2﹣x=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4．（1）請你判斷一下，同學(xué)的解法從第一步開始就是錯誤的，同學(xué)的解法是完全正確的．（2）乙同學(xué)說：“我發(fā)現(xiàn)無論x取何值，計算的結(jié)果都是1”．請你評價一下乙同學(xué)的話是否合理，并簡要說明理由．【答案】（1）丙，乙；（2）不合理，理由見解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)分式的加減法，由分解因式和同分母的分式加減，可知甲第2步去括號時沒變號；乙正確；丙第一步的計算漏掉了分母，由此可知答案；（2）根據(jù)乙的正確化簡結(jié)果可知最終結(jié)果與x值無關(guān)，但是要注意所選取的x不能使分式無意義.試題解析：（1）丙同學(xué)的解法從第一步開始就是錯誤的，乙同學(xué)的解法是完全正確的；故答案為丙，乙；（2）不合理，理由：∵當(dāng)x≠±2時，x+3x+2+2?x∴乙同學(xué)的話不合理，考點(diǎn)3考點(diǎn)3反比例函數(shù)解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇無錫·八年級無錫市天一實(shí)驗學(xué)校校考期末）如圖1，已知反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖像與一次函數(shù)y=x?1的圖像相交于A(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)M是x軸上一點(diǎn)，N是y軸上一點(diǎn)，若以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為邊的平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，反比例函數(shù)y=kx的圖像上有P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為mm>2，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，連接AP，AQ，BP，BQ．是否存在這樣的m使得△ABQ的面積與△ABP【答案】(1)y=2x；A2,1(2)M點(diǎn)坐標(biāo)為3,0或?3,0(3)不存在，理由見解析【分析】（1）將A2,a，代入一次函數(shù)解析式，求出a值，再求出反比例函數(shù)的解析式，代入Bb,?2，求出（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊平行且相等，利用平移思想進(jìn)行求解即可；（3）分別用含m的式子表示出△ABQ，△ABP的面積，再利用△ABQ的面積與△ABP的面積相等，列式計算即可．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像與一次函數(shù)y=x?1的圖像相交于A將A2,a，代入y=x?1，得：a=2?1=1∴A2,1∴k=2×1=2，∴y=2將Bb,?2代入得?2b=2解得b=?1，∴B?1,?2（2）解：設(shè)Mx,0，N∵A2,1，B∴點(diǎn)B是由點(diǎn)A先向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到的；∵以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為邊的平行四邊形，①將點(diǎn)Mx,0先向左平移3個單位，再向下平移3個單位，得到N則：x?3=0，即：x=3，y=0?3=?3，∴M3,0②將點(diǎn)N0,y先向左平移3個單位，再向下平移3個單位，得到M則：x=0?3=?3，y?3=0，即：y=3，∴M?3,0綜上：當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為3,0或?3,0時，以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為邊的平行四邊形；（3）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸交AQ于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥x軸交BP于點(diǎn)F，由題意，可知：P(m,2設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+bk≠0將A2,1，Q(?m,?2m1=2k+b?2則直線AQ的解析式為y=1當(dāng)x=1時，y=1m×(?1)+∵B∴BE=m?3∴S△ABQ===3設(shè)直線BP的解析式為y=ax+z將B?1,?2，P(m,2m?2=?a+z2m則直線BP的解析式為y=當(dāng)x=2時，y=2m×2+∵A2,1∴AF=1?6?2mS===3∵S△ABQ∴3m解得：m=0，經(jīng)檢驗原方程無解．故不存在．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇鹽城·八年級景山中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)分別在y軸、x軸的正半軸上，P在反比例函數(shù)y=16x的圖象上，AP、BP分別是(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)如圖2，看OA=OB，則：①∠P的度數(shù)為________；②求出此時直線AB的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果直線AB的關(guān)系式為y=kx+n，且0<n<4，作反比例函數(shù)y=?nx，過點(diǎn)0,2作x軸的平行線與y=16x的圖象交于點(diǎn)M，與y=?nx的圖象交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作y軸的平行線與y=kx+n的圖象交于點(diǎn)Q，是否存在k的值，使得MN+QN的和始終是一個定值【答案】(1)P(4,4)(2)①45°；②y=?x+8?4(3)不存在，理由見解析【分析】（1）過P作PC⊥x軸于C，作PD⊥y軸于點(diǎn)D，PE⊥AB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)得PC=PD，再根據(jù)反比例函數(shù)的解析求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①先求出∠BAD=∠ABC=135°，再由角平分線的定義求出∠PAB=∠PBA=67.5°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和求解即可；②過P作PC⊥x軸于C，作PD⊥y軸于點(diǎn)D，，設(shè)OP與AB的交點(diǎn)為H，由角平分線的判定與性質(zhì)得PH=PD，進(jìn)而求得OB,OA，得出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得AB的解析式；（3）根據(jù)已知條件求出M、N、Q的坐標(biāo)，再求得MN+QN的解析式，根據(jù)解析式的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）過P作PC⊥x軸于C，作PD⊥y軸于點(diǎn)D，PE⊥AB于E，如圖1，∵AP和BP分別是分別是△OAB的兩條外角平分線，∴PC=PE=PD，設(shè)PC=a，則P(a,a)，把P(a,a)代入y=16x中得，∴a=4，∴P(4,4)；（2）①∵OA=OB,∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠BAD=∠ABC=135°，∵AP和BP分別是分別是△OAB的兩條外角平分線，∴∠PAB=∠PBA=67.5°，∠APB=180°?67.5°?67.5°=45°，故答案為：45°；②過P作PC⊥x軸于C，作PD⊥y軸于點(diǎn)D，，設(shè)OP與AB的交點(diǎn)為H，如圖2，由（1）知PC=PD，∴OP平分∠AOB，∵OA=OB，∴OP⊥AB，∵AP平分∠BAD，∴.PH=PD，由（1）知P(4,4)，∴.PH=PD=OD=4，OP=42∴OH=42∴.OB=OA=2∴A(0,8?42設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n(m≠0)，則n=8?42解得m=?1n=8?4∴直線AB的解析式為：y=?x+8?42（3）把y=2代入y=16x中，得∴M(8,2)，把y=2代入y=?nx中，得∴N(?n把x=?n2代入y=kx+n中，得∴Q(?n∴.MN+QN=(8+n當(dāng).MN+QN=8+n∵0<n<4，∴當(dāng)k=3時，MN+QN為定值，定值d=6．（∵k<0，不合題意，舍去）；當(dāng).MN+QN=8+n∵0<n<4，∴當(dāng)k=1時，MN+QN為定值，定值d=10．（∵k<0，不合題意，舍去）；綜上，不論k為何值時，MN+NQ都不能為定值．故不存在k的值，使得MN+QN的和始終是一個定值d，【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解（1）題關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，解（2）題關(guān)鍵是求出OB,OA的長度，解（3）題關(guān)鍵是用k、n的代數(shù)式表示MN+NQ．3．（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，動點(diǎn)M在函數(shù)y1=4x（x＞0）的圖像上，過點(diǎn)M分別作x軸和y平行線，交函數(shù)y2=1x（x＞0）的圖像于點(diǎn)B、C，作直線BC，設(shè)直線(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．①直線BC的函數(shù)表達(dá)式為______；②當(dāng)y<y2時，③點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在y軸上，且以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；(2)連接BO、CO．求證：△BOC的面積是個定值．【答案】(1)①y＝－4x＋5；②0＜x＜14或x＞1；③D（34，0）E（0，3）或D（－34(2)見解析【分析】（1）①首先求出點(diǎn)B和C的坐標(biāo)，代入直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，解方程即可；②首先求出直線BC與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象可得答案；③設(shè)D（m，0），E（0，n），分三種情形，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案；（2）延長MC、MB分別交x軸于G，交y軸于H，設(shè)m（a，4a），表示出△OBC【詳解】（1）解：①當(dāng)M（1，4）時，則B14,4，∴14解得k=?4b=5∴直線BC的解析式為y＝﹣4x+5，故答案為：y＝﹣4x+5；②當(dāng)y＝0時，x＝54由圖象知，當(dāng)0＜x＜14或1＜x＜54時，y＜y故答案為：0＜x＜14或1＜x＜5③設(shè)D（m，0），E（0，n），當(dāng)BD、CE為對角線時，14∴m=3∴D（34，0）E當(dāng)BC、DE為對角線時，14∴m=5此時點(diǎn)B、C、D、E共線，故舍去，當(dāng)BE、CD為對角線時，14∴m=?3∴D（?34，0）綜上：D（34，0）E（0，3）或D（?34（2）解：證明：延長MC、MB分別交x軸于G，交y軸于H，設(shè)m（a，4a∴B（a4,4a），C（∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO＝a×4a﹣12﹣12×（4＝4﹣1＝158∴△BOC的面積是個定值．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，由特殊到一般，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)B和C的坐標(biāo)是解決問題（2）的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第一象限，AB∥x軸，AO⊥AD，AO=AD．過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，DE=4CE．反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與邊AB交于點(diǎn)F，連接OE，OF(1)求AFEC(2)若S△EOF【答案】(1)AF(2)y=【分析】（1）延長EA交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足為H，證明△DEA≌△AGO（AAS），得出DE=AG，AE=OG，設(shè)CE=a，則DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a，根據(jù)勾股定理得出：AE=3a，進(jìn)而得出OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a，即可得出點(diǎn)A3a，4a，E3a，7a，然后再證明四邊形AGHF是矩形，得出FH=AG=3a，AF=GH，再根據(jù)E點(diǎn)在雙曲線y=kxx>0上，求出k=21a2，即y=21a2x，然后再根據(jù)F點(diǎn)在雙曲線y=21a（2）首先根據(jù)圖形，可得S△EOF=S△EOG+S梯形EGHF?S△FOH，然后根據(jù)（1）中的線段長，得出關(guān)于a（1）解：如圖，延長EA交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足為H，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=AD=AB，CD∥AB，∵AB∥x軸，AE⊥CD，∴EG⊥x軸，∠D+∠DAE=90°，∵OA⊥AD，∴∠DAE+∠GAO=90°，

∴∠GAO=∠D，∵OA=OD，∴△DEA≌△AGO（AAS），∴DE=AG，AE=OG，設(shè)CE=a，則DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a，在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a，∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a，∴A3a，4a∵AB∥x軸，AG⊥x軸，F(xiàn)H⊥x軸，∴四邊形AGHF是矩形，∴FH=AG=3a，AF=GH，∵E點(diǎn)在雙曲線y=kx∴k=21a2，即∵F點(diǎn)在雙曲線y=21a2x上，且∴x=21a4，即∴AF=GH=OH?OG=9∴AFEC（2）∵S△EOF∴由（1）得：12解得：a2∴k=21a2∴y=16【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與四邊形的綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和利用線段長度表示出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知A?1,0，B0,?2，平行四邊形ABCD的邊AD、BC分別與y軸、x軸交于點(diǎn)E、F，且點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，雙曲線y=kx(k為常數(shù)，k≠0)(1)求k的值；(2)如圖2，點(diǎn)G是y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)G作y軸的垂線，分別交反比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù)，k≠0)圖像于點(diǎn)M，交反比例函數(shù)y=?32xx<0的圖像于點(diǎn)(3)點(diǎn)P在雙曲線y=kx上，點(diǎn)Q在y軸上，若以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求出滿足要求的所有點(diǎn)【答案】(1)4(2)0,(3)0,6或0,?6或0,2【分析】（1）過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，根據(jù)ED=EA，△EDM≌△EAO，得到AO=DM=1，從而得到D（1，k），是點(diǎn)A向右平移2個單位，向上平移k個單位得到，將點(diǎn)B（0，-2）作同樣的平移即可得到點(diǎn)C（2，-2+k），根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，得到k=2(-2+k)，求解即可．（2）根據(jù)（1）可確定點(diǎn)C（2，2），確定直線BC解析式為y=2x-2，從而確定點(diǎn)F（1，0），過點(diǎn)F作FH⊥MN于點(diǎn)H，根據(jù)FM=FN，得到MH=HN即xM?1=1?xN，設(shè)點(diǎn)G（0，t），則（3）根據(jù)點(diǎn)A（-1，0），B（0，-2），設(shè)Q（0，n），P（m，4m），運(yùn)用平移思想，分A平移得到Q和A平移得到P【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，∵A（-1，0），∴OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴△EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，∵點(diǎn)D在第一象限，且在反比例函數(shù)y=k∴D（1，k）．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴D（1，k）是點(diǎn)A向右平移2個單位，向上平移k個單位得到，∴將點(diǎn)B（0，-2）作同樣的平移即可得到點(diǎn)C（2，-2+k），∴k=2(-2+k)，解得k=4．（2）如圖2，連接FM、FN．根據(jù)（1）可確定點(diǎn)C（2，2），∵點(diǎn)B（0，-2），∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2，∴直線BC解析式為y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴點(diǎn)F（1，0），過點(diǎn)F作FH⊥MN于點(diǎn)H，∴H的橫坐標(biāo)為1，,根據(jù)FM=FN，∴MH=HN即xM設(shè)點(diǎn)G（0，t），則xM∴4t∴4?3解得t=54故點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，54（3）∵點(diǎn)A（-1，0），B（0，-2），設(shè)Q（0，n），P（m，4m∵四邊形ABPQ是平行四邊形，∴平行四邊形的對邊平行且相等，當(dāng)A平移得到Q時，∵點(diǎn)A（-1，0），Q（0，n），∴點(diǎn)A向右平移1個單位，當(dāng)n＞0時，向上平移n個單位得到Q，如圖3所示，∴點(diǎn)B向右平移1個單位，向上平移n個單位得到P，∵B（0，-2），∴點(diǎn)P（1，-2+n），∵P在反比例函數(shù)y=4∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此時點(diǎn)Q(0，6)；當(dāng)n＜0時，向下平移|n|個單位得到Q，如圖4所示，∴點(diǎn)B向右平移1個單位，向下平移|n|個單位得到P，∵B（0，-2），∴點(diǎn)P（1，-2+|n|），∵P在反比例函數(shù)y=4∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6(舍去)，此時點(diǎn)Q(0，-6)；當(dāng)A平移得到P時，∵點(diǎn)A（-1，0）平移得到P（m，4m），則B（0，-2）平移得到Q（0，n∴m=-1，故點(diǎn)P（-1，-4），即點(diǎn)A向下平移4個單位，當(dāng)點(diǎn)B向下平移4個單位，得到（0，-6），當(dāng)點(diǎn)B向上平移4個單位，得到（0，2），如圖5所示，此時點(diǎn)Q(0，-6)或（0，2）綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，6）或（0，-6）或（0，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式和性質(zhì)，分類思想，平移思想，熟