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文檔簡介

第十一章概率統(tǒng)計基礎

第七講隨機變量的數(shù)字特征一、隨機變量的數(shù)學期望1.離散型隨機變量的數(shù)學期望定義：設離散型隨機變量X的概率分布為

P(X=xk

)=pkk=1,2,…

則稱級數(shù)為隨機變量X的數(shù)學期望，簡稱期望或均值，記作E（X）。當X的取值只有有限個，則EX是常數(shù),它反映了隨機變量X取值的平均位置.例

擲一枚骰子，X表示出現(xiàn)的點數(shù)，求EX.2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望定義：設連續(xù)型隨機變量X

的概率密度為f(x),若積分絕對收斂，則稱為X的數(shù)學期望，記作E（X）.即

對于連續(xù)型隨機變量X的函數(shù)Y=g（X）的數(shù)學期望有如下公式：

例：設求E（X）

例：設求E（X）

解

數(shù)學期望的性質(zhì)（1）E（c）

=c，E(EX)=EX（2）E(X+c)=EX+c（3）

E(cX

)=cEX

（4）

E(aX

+b)=aEX

+b（5）

E(X

Y)=EX

EY二、隨機變量的方差定義：設X是一個隨機變量，若E(X-EX)2存在，則稱E(X-EX)2為隨機變量X

的方差.記作DX

或VarX

，即

DX=E(X-EX)2稱

X

-EX

為隨機變量X的離差，且E(X-EX)=0方差DX就是X的離差平方的期望.且DX=E(X-EX)2≥0的數(shù)

稱為X的標準差（均方差，或根方差）方差DX刻劃了R.V.X取值與均值EX的平均偏離程度.方差DX越大，R.V.X的取值越分散；DX越小，X的取值越集中

若X是離散型隨機變量，并且P{X

=xk}=pk(k=1,2,…)，則

如果X

是連續(xù)型隨機變量，并且有密度函數(shù)f(x)，則方差的計算公式：

方差的性質(zhì)：（1）Dc=0（2）D(X+c)=DX（3）D(cX

)=c2DX（4）D(aX

+b)=a2DX（5）若隨機變量X，Y獨立，則D(XY)=DX+DY三、幾種常見隨機變量分布的數(shù)學期望與方差（1）兩點分布（2）二項分布X~B(n,p)，（3）泊松分布,（4）均勻分布

X~U[a,b],（5

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