2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專(zhuān)題提分精練專(zhuān)題16網(wǎng)格中的相似1．如圖，在的正方形方格中，的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，D在邊格點(diǎn)上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺在邊上找點(diǎn)E，使得與相似．2．在的網(wǎng)格中，格點(diǎn)的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．(1)填空：的面積為_(kāi)__________．(2)請(qǐng)利用網(wǎng)格再畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)，且面積最小，并將此三角形涂上陰影．（注：標(biāo)上字母）3．如圖，在方格紙中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上（△ABC稱為格點(diǎn)三角形，即格點(diǎn)△ABC），用無(wú)刻度直尺作圖．(1)在圖1中的線段AC上找一個(gè)點(diǎn)D，使；(2)在圖2中作一個(gè)格點(diǎn)△CEF，使△CEF與△ABC相似．4．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，（1）∠ACB的大小為_(kāi)____（度）；（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)CP′最短時(shí)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出點(diǎn)P′，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P′的位置是如何找到的（不要求證明）_____．5．圖①、圖②、圖③分別是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫(huà)線段AB的中點(diǎn)F．(2)在圖②中，畫(huà)的中位線GH，點(diǎn)G、H分別在線段CD、CE上，并直接寫(xiě)出與四邊形DEHG的面積比．(3)在圖③中，畫(huà)，點(diǎn)R在格點(diǎn)上，且被線段MN分成的兩部分圖形的面積比為1：3．6．圖①，圖②，圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中．按下列要求作圖．（不寫(xiě)作法，保留畫(huà)圖痕跡）(1)在圖①中，在上畫(huà)一點(diǎn)，使；(2)在圖②中，在上畫(huà)一點(diǎn)，使：：；(3)在圖③中，在內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)，使：：：：．7．如圖，A、B在圓形方格網(wǎng)橫線上，點(diǎn)C、D是直徑AB與網(wǎng)格橫線的交點(diǎn)，則BC：CD：DA為（

）A．3：4：5 B．1：3：2 C．1：4：2 D．3：6：5第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明二、填空題(共0分)8．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，C是小正方形邊的中點(diǎn)．（1）的長(zhǎng)等于________；（2）M是線段與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，P是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且滿足．當(dāng)取得最大值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）_________．9．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為的網(wǎng)格中，點(diǎn)，點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，為⊙的直徑．（1）的長(zhǎng)等于__________；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出一個(gè)以為斜邊、面積為的，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）__________．10．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，是一條小河平行的兩岸.(Ⅰ)的距離等于_____；(Ⅱ)現(xiàn)要在小河上修一座垂直于兩岸的橋(點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，橋的寬度忽略)，使最短，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)，的位置是如何找到的(不要求證明)_________________________________.11．如圖，在由邊長(zhǎng)都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均為格點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．(1)線段的長(zhǎng)度等于__________；(2)當(dāng)線段取得最小值時(shí)，請(qǐng)借助無(wú)刻度直尺在給定的網(wǎng)格中畫(huà)出線段和，并簡(jiǎn)要說(shuō)明你是怎么畫(huà)出點(diǎn)Q，P的：_______________________．三、解答題(共0分)12．如圖1，在方格紙中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，按要求畫(huà)一個(gè)三角形，使它的頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)一個(gè)，使得，且相似比為；(2)請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)一個(gè)，使得，且相似比為．13．如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處）．(1)在圖1中畫(huà)出一個(gè)格點(diǎn)，使得與相似，周長(zhǎng)之比為2：1；(2)在圖2中畫(huà)出一個(gè)格點(diǎn)，使得與相似，面積之比為2：1．14．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，和的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，是邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：(1)判斷和△是否相似，并說(shuō)明理由；(2)畫(huà)一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)為中的個(gè)格點(diǎn)，并且與相似．（要求：不寫(xiě)作法與證明）15．圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，不要求寫(xiě)畫(huà)法，要求保留必要的作圖痕跡．(1)在圖①中以線段AD為邊畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與△ABC相似．(2)在圖②中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與△ABC相似（不全等）．(3)在圖③中的線段AB上畫(huà)一個(gè)點(diǎn)P，使＝．16．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，且每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．按要求完成下列畫(huà)圖．（要求僅用無(wú)刻度的直尺，且保留必要的畫(huà)圖痕跡）(1)在圖1中，以BO為邊，畫(huà)出△OBC，使△OBC∽△ABO，C為格點(diǎn)．(2)在圖2中，以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△ODE，使△ODE與△OAB位似，且位似比k=2，點(diǎn)D、E為格點(diǎn)．(3)在圖3中，在OA邊上找一個(gè)點(diǎn)F，且滿足．17．定義：我們把三邊之比為1：：的三角形叫做奇妙三角形．(1)初步感受：如圖是7×2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），請(qǐng)分別在圖①、圖②中畫(huà)出一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)并且不全等的奇妙三角形；所畫(huà)三角形中最大內(nèi)角度數(shù)為°．(2)再思探究：如圖③，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)（2，2），點(diǎn)D坐標(biāo)（7，1），在坐標(biāo)平面上取一點(diǎn)B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接寫(xiě)出m的值并說(shuō)明理由．18．如圖是由小正方形組成的8×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，邊AC上的D也是一個(gè)格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示．(1)在圖（1）中，先將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出對(duì)應(yīng)線段CE，再在CE上畫(huà)點(diǎn)F，使△BCF∽△BDA；(2)在圖（2）中，先在邊AB上畫(huà)點(diǎn)G，使DG∥BC，再在邊BC上畫(huà)點(diǎn)H，使AH＋DH值最?。?9．如圖，在方格紙中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上．（1）在圖1中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)，使與相似；（2）在圖2中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)，使，且與不相似．20．如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中畫(huà)圖（保留作圖連線痕跡），并回答問(wèn)題．（1）在的右邊找格點(diǎn)，連，使平分．（2）若與交于，直接寫(xiě)出的值．（3）找格點(diǎn)，連，使于．（4）在上找點(diǎn)，連，使．專(zhuān)題16網(wǎng)格中的相似1．如圖，在的正方形方格中，的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，D在邊格點(diǎn)上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺在邊上找點(diǎn)E，使得與相似．【答案】見(jiàn)解析【分析】以或兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論．利用相似比確定E點(diǎn)即可．【詳解】解：①，由圖可知：，∴，∴；如圖：②，由圖可知：，∴，∴，∴，∴；如圖：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)相似三角形確定點(diǎn)的位置．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．在的網(wǎng)格中，格點(diǎn)的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．(1)填空：的面積為_(kāi)__________．(2)請(qǐng)利用網(wǎng)格再畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)，且面積最小，并將此三角形涂上陰影．（注：標(biāo)上字母）【答案】(1)4(2)見(jiàn)解析【分析】（1）用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．（2）將的各邊縮小為原來(lái)的一半即可．【詳解】（1）解：（2）解：如下圖所示，即為所求【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積、相似三角形的三邊關(guān)系，熟練運(yùn)用相似三角形的三邊關(guān)系對(duì)原三角形進(jìn)行縮小變換是解決此題的關(guān)鍵．3．如圖，在方格紙中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上（△ABC稱為格點(diǎn)三角形，即格點(diǎn)△ABC），用無(wú)刻度直尺作圖．(1)在圖1中的線段AC上找一個(gè)點(diǎn)D，使；(2)在圖2中作一個(gè)格點(diǎn)△CEF，使△CEF與△ABC相似．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，從而得出點(diǎn)D的位置；（2）根據(jù)∠ACB=90°，AC=2BC，即可畫(huà)出△CEF．【詳解】（1）解：如圖1所示，點(diǎn)D即為所求，（2）如圖2所示，△CEF即為所求，【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，（1）∠ACB的大小為_(kāi)____（度）；（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)CP′最短時(shí)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出點(diǎn)P′，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P′的位置是如何找到的（不要求證明）_____．【答案】

90

見(jiàn)解析，取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求【分析】（1）運(yùn)用勾股定理逆定理求解即可；（2）將點(diǎn)B以A為中心，∠BAC為旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)，確定線段BC旋轉(zhuǎn)后所得直線FG，找到點(diǎn)C到FG的垂足即為．【詳解】解：（1）由網(wǎng)格圖可知AC＝BC＝AB＝∵AC2+BC2＝AB2∴由勾股定理逆定理，△ABC為直角三角形．∴∠ACB＝90°故填：90°；（2）作圖過(guò)程如下：取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求證明：連CF∵AC，CF為正方形網(wǎng)格對(duì)角線∴A、C、F共線∴AF＝5＝AB由圖形可知：GC＝，CF＝2，∵AC＝，BC＝∴△ACB∽△GCF∴∠GFC＝∠B∵AF＝5＝AB∴當(dāng)BC邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠CAB時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C在射線FG上．由作圖可知T為AB中點(diǎn)∴∠TCA＝∠TAC∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°∴CP′⊥GF此時(shí)，CP′最短故填：取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的證明、圖形的旋轉(zhuǎn)、三角形相似和最短距離的證明，找到線段BC旋轉(zhuǎn)后所在成為解答本題的關(guān)鍵．5．圖①、圖②、圖③分別是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫(huà)線段AB的中點(diǎn)F．(2)在圖②中，畫(huà)的中位線GH，點(diǎn)G、H分別在線段CD、CE上，并直接寫(xiě)出與四邊形DEHG的面積比．(3)在圖③中，畫(huà)，點(diǎn)R在格點(diǎn)上，且被線段MN分成的兩部分圖形的面積比為1：3．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析，面積比為1：3(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，找到之間單元網(wǎng)格的對(duì)角線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)（1）的方法找到的中點(diǎn)，連接，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出與四邊形DEHG的面積比；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知，只要經(jīng)過(guò)的中位線，根據(jù)在網(wǎng)格上，找到符合題意的點(diǎn)即可求解．(1)如圖①：(2)如圖②：，與四邊形DEHG的面積比為1：3．(3)如圖③，畫(huà)出一種即可．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格與相似三角形，相似三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到線段的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．圖①，圖②，圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中．按下列要求作圖．（不寫(xiě)作法，保留畫(huà)圖痕跡）(1)在圖①中，在上畫(huà)一點(diǎn)，使；(2)在圖②中，在上畫(huà)一點(diǎn)，使：：；(3)在圖③中，在內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)，使：：：：．【答案】(1)圖形見(jiàn)解析；(2)圖形見(jiàn)解析；(3)圖形見(jiàn)解析．【分析】（1）取的中點(diǎn)即可；（2）取格點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想，判斷出點(diǎn)到的距離為，到的距離為，取格點(diǎn)，，連接交直線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）在圖中，點(diǎn)即為所求；（2）在圖中，點(diǎn)即為所求；點(diǎn)C下移三個(gè)單位得到點(diǎn)M，點(diǎn)B上移兩個(gè)單位得到點(diǎn)N，連接，得到，：：即點(diǎn)即為所求；（3）在圖中，點(diǎn)即為所求．由圖可知，，，，，：：：：，，，設(shè)中邊上的高為，中邊上的高為，，，，作直線：，點(diǎn)在直線上，在直線上取邊上高，取格點(diǎn)，，連接交直線于點(diǎn)，由圖可知點(diǎn)到邊距離為，即點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形相似性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．7．如圖，A、B在圓形方格網(wǎng)橫線上，點(diǎn)C、D是直徑AB與網(wǎng)格橫線的交點(diǎn)，則BC：CD：DA為（

）A．3：4：5 B．1：3：2 C．1：4：2 D．3：6：5【答案】B【分析】要求的值，想到構(gòu)造這三條線段所在的三角形相似，所以過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，取格點(diǎn)F，G，則CG=1，DF=3，AE=2，如圖：∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，C是小正方形邊的中點(diǎn)．（1）的長(zhǎng)等于________；（2）M是線段與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，P是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且滿足．當(dāng)取得最大值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）_________．【答案】

圖見(jiàn)解析，取格點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)，與圓相交于點(diǎn)E，連接；取格點(diǎn)F，G，連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接與圓相交于點(diǎn)I，連接與相交于點(diǎn)O；連接并延長(zhǎng)，與圓相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【分析】(1)根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；(2)先確定圓心，再作直徑CP即可．【詳解】解：(1)，故答案為：，(2)由題意可知，CP=3MN，當(dāng)CP為直徑時(shí)，MN最大，故確定圓心即可，如圖所示，取格點(diǎn)D，以BD、AB為斜邊的兩個(gè)網(wǎng)格直角三角形全等，可得∠ABE=90°，AE為直徑，同理，以BC、CH為斜邊的兩個(gè)直角三角形相似，可得∠BCI=90°，BI為直徑，所以，O為圓心，此時(shí)，CP最大；故答案為：取格點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)，與圓相交于點(diǎn)E，連接；取格點(diǎn)F，G，連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接與圓相交于點(diǎn)I，連接與相交于點(diǎn)O；連接并延長(zhǎng)，與圓相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度尺作圖和勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓周角定理和相似三角形判定與性質(zhì)確定圓心．9．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為的網(wǎng)格中，點(diǎn)，點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，為⊙的直徑．（1）的長(zhǎng)等于__________；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出一個(gè)以為斜邊、面積為的，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）__________．【答案】

作圖見(jiàn)解析，簡(jiǎn)要說(shuō)明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）取格點(diǎn)，連接；取格點(diǎn)，，連接與交于點(diǎn)．取格點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)，交網(wǎng)格線于點(diǎn)，連接；取格點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．連接與⊙相交，得點(diǎn)．連接，，即為所求．【詳解】解：（1），故答案為：；（2）如圖取格點(diǎn)，連接；取格點(diǎn)，，連接與交于點(diǎn)．取格點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)，交網(wǎng)格線于點(diǎn)，連接；取格點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．連接與⊙相交，得點(diǎn)．連接，，即為所求．故答案為（1）；（2）作圖見(jiàn)解析，簡(jiǎn)要說(shuō)明見(jiàn)解析．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直徑的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，是一條小河平行的兩岸.(Ⅰ)的距離等于_____；(Ⅱ)現(xiàn)要在小河上修一座垂直于兩岸的橋(點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，橋的寬度忽略)，使最短，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)，的位置是如何找到的(不要求證明)_________________________________.【答案】

取格點(diǎn)，連接，(使)，取格點(diǎn)、，連接(使)，與交于點(diǎn)；同理作點(diǎn)；連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，即為所求【分析】(Ⅰ)利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可；(Ⅱ)要使最短，則MN⊥l1，AM與BN轉(zhuǎn)化成一條線段時(shí)最短，取格點(diǎn)，連接，交l1于Q，交l2于P，由網(wǎng)格性質(zhì)可得AC⊥l1，由l1//l2可得平行線間的距離PQ=MN的長(zhǎng)，取格點(diǎn)、，連接，交AC于A′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AA′=PQ，同理可作點(diǎn)B′，則BB′=PQ，連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，則BB′=PQ，可得四邊形AA′BB′是平行四邊形，由全等三角形的性質(zhì)可得AM=A′N(xiāo)，可得四邊形AA′MN是平行四邊形，可知MN⊥l1，同理BN=B′M，則AM+BN=AB′距離最短，即可得解.【詳解】(Ⅰ)AB==.故答案為(Ⅱ)如圖，取格點(diǎn)，連接，(使)，交l1于Q，交l2于P，∴PQ⊥l1，∴PQ=，取格點(diǎn)、，連接(使)，與交于點(diǎn)；∵∠AFE=∠EAA′，∠AEF=∠AEF，∴△AA′E∽△FAE，∴，∴AA′=，∴AA′=PQ，同理作點(diǎn)；連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，∴BB′=AA′=PQ，∵BB′//AA′，∴四邊形AA′BB′，∴AB′//A′B，∴∠QAM=∠PA′N(xiāo)，又∵AQ=A′P，∠AQM=∠A′PN，∴△AQM≌△A′PN，∴AM=A′N(xiāo)，∴四邊形AA′MN是平行四邊形，∴AA′//MN，∴MN⊥l1，同理：BN=B′M，∴AM+BN=AB′距離最短，∴即為所求.故答案為取格點(diǎn)，連接，(使)，取格點(diǎn)、，連接(使)，與交于點(diǎn)；同理作點(diǎn)；連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，即為所求【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格的特征，全等三角形及相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11．如圖，在由邊長(zhǎng)都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均為格點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．(1)線段的長(zhǎng)度等于__________；(2)當(dāng)線段取得最小值時(shí)，請(qǐng)借助無(wú)刻度直尺在給定的網(wǎng)格中畫(huà)出線段和，并簡(jiǎn)要說(shuō)明你是怎么畫(huà)出點(diǎn)Q，P的：_______________________．【答案】

5

取格點(diǎn)．連接，它們相交于點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)，則線段和即為所求．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可；（2）要使AQ+PC有最小值，則應(yīng)把AQ與PC轉(zhuǎn)換到一條直線，利用全等三角形可確定∠QBT的位置，連接EF，利用相似三角形可確定T點(diǎn)位置，連接AT交BC于Q，則QT=PC，根據(jù)全等三角形確定∠ACP，據(jù)此即可得出點(diǎn)P、Q的位置.【詳解】(1)AB==5.(2)∵要使AQ+PC有最小值，∴應(yīng)把AQ與PC轉(zhuǎn)換到一條直線，即使QT=PC，得AQ+PC=AT，∴作△BQT≌△APC即可，∴應(yīng)作∠CBT=∠BAC，BT=AC=3，∴連接BD，則∠CBT=∠BAC，∵BD=5，∴要使BT=3，則=，∴連接EF，則==，即BT=3，∴連接AT，交BC于Q，則Q點(diǎn)即為所求，∵△BQT≌△APC，∴∠BTA=∠ACP，∴只要作△ABT的全等三角形即可，∵AC=BT，∠ABT=90°，AB=5，∴作GA⊥AC，AG=5，則△ABT≌△GAC，∴連接CG，交AB于P，則∠ACP=∠ATB，則P點(diǎn)即為所求.故答案為5；取格點(diǎn)．連接，它們相交于點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)，則線段和即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格的特征，全等三角形及相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.12．如圖1，在方格紙中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，按要求畫(huà)一個(gè)三角形，使它的頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)一個(gè)，使得，且相似比為；(2)請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)一個(gè)，使得，且相似比為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用已知三角形的三邊長(zhǎng)進(jìn)而結(jié)合相似比得出所求三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；（2）利用已知三角形的三邊長(zhǎng)進(jìn)而結(jié)合相似比得出所求三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；理由：根據(jù)題意得：，，∴，∴，且相似比為；（2）解：如圖，即為所求；根據(jù)題意得：，，∴，∴，且相似比為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似變換，正確得出相似三角形的邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．13．如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處）．(1)在圖1中畫(huà)出一個(gè)格點(diǎn)，使得與相似，周長(zhǎng)之比為2：1；(2)在圖2中畫(huà)出一個(gè)格點(diǎn)，使得與相似，面積之比為2：1．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把的邊長(zhǎng)擴(kuò)大2倍即可．（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把的邊長(zhǎng)擴(kuò)大倍即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作．（2）如圖，即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣相似變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．14．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，和的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，是邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：(1)判斷和△是否相似，并說(shuō)明理由；(2)畫(huà)一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)為中的個(gè)格點(diǎn)，并且與相似．（要求：不寫(xiě)作法與證明）【答案】(1)相似，理由見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析【分析】（1）先分別求出這兩個(gè)三角形的三邊之比，即可得出答案；（2）根據(jù)勾股定理求出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，根據(jù)“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”得和相似，作圖即可．【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理得，，，，，，即，所以；（2）根據(jù)勾股定理得，，，所以，所以和相似，連接，，.如圖所示．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”是解題的關(guān)鍵．15．圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，不要求寫(xiě)畫(huà)法，要求保留必要的作圖痕跡．(1)在圖①中以線段AD為邊畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與△ABC相似．(2)在圖②中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與△ABC相似（不全等）．(3)在圖③中的線段AB上畫(huà)一個(gè)點(diǎn)P，使＝．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析(3)詳見(jiàn)解析【分析】（1）取格點(diǎn)E，連接DE，則DEBC，由相似三角形的判定方法可知．（2）取格點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接DE，DF，EF，使DE＝，DF＝4，EF＝即可．（3）取格點(diǎn)M，N，連接MN，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)，由，可得．（1）如圖①，△ADE即為所求．（2）如圖②，△DEF即為所求．（3）如圖③，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了格點(diǎn)作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．16．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，且每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．按要求完成下列畫(huà)圖．（要求僅用無(wú)刻度的直尺，且保留必要的畫(huà)圖痕跡）(1)在圖1中，以BO為邊，畫(huà)出△OBC，使△OBC∽△ABO，C為格點(diǎn)．(2)在圖2中，以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△ODE，使△ODE與△OAB位似，且位似比k=2，點(diǎn)D、E為格點(diǎn)．(3)在圖3中，在OA邊上找一個(gè)點(diǎn)F，且滿足．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)畫(huà)出△OBC，使△OBC∽△ABO；（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)即可畫(huà)出△ODE；（3）取格點(diǎn)G，連接BG交AO于點(diǎn)F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出．（1）如圖所示，△OBC即為所求；（2）如圖所示，△ODE即為所求；（3）如圖所示，點(diǎn)F即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-相似變換，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．定義：我們把三邊之比為1：：的三角形叫做奇妙三角形．(1)初步感受：如圖是7×2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），請(qǐng)分別在圖①、圖②中畫(huà)出一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)并且不全等的奇妙三角形；所畫(huà)三角形中最大內(nèi)角度數(shù)為°．(2)再思探究：如圖③，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)（2，2），點(diǎn)D坐標(biāo)（7，1），在坐標(biāo)平面上取一點(diǎn)B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接寫(xiě)出m的值并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析，135(2)m=4，理由見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理得出符合題意的圖形；直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出尾翼三角形的最大角；（2）m=4，利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理求出△ABC和△ADB各邊的長(zhǎng)．證明△ABC∽△ADB，直接利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．（1）如圖所示：由網(wǎng)格可得：DE=1，，∴DE：EF：DF=1：：，∴△DEF的三邊比為1：：，而，∴AB：BC：AC=1：：，∴△ABC的三邊比為1：：，∴△ADC∽△ACB，∴∠DEF=∠ABC，∴∠DEF=∠ABC=45°+90°=135°．故答案為：135；（2）m=4，理由：連接AB、BD，由網(wǎng)格可得：BC=2，，∴BC：AC：AB=1：：，∴△ABC的三邊比為1：：，由網(wǎng)格可得：，∴BD：AB：AD=1：：，∴△ADB的三邊比為1：：，∴△ABC∽△ADB，∴∠BAC=∠DAB，∴AB平分∠CAD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．18．如圖是由小正方形組成的8×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，邊AC上的D也是一個(gè)格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示．(1)在圖（1）中，先將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出對(duì)應(yīng)線段CE，再在CE上畫(huà)點(diǎn)F，使△BCF∽△BDA；(2)在圖（2）中，先在邊AB上畫(huà)點(diǎn)G，使DG∥BC，再在邊BC上畫(huà)點(diǎn)H，使AH＋DH值最?。敬鸢浮?1)答案見(jiàn)詳解(2)答案見(jiàn)詳解【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，CE=CB，CE與格點(diǎn)交于點(diǎn)F，連接BF即可，，，，因此，，進(jìn)而可得△BCF∽△BDA；（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接交BC于點(diǎn)H。連接DH，點(diǎn)H即為所求．（1）解：如圖，線段CE，點(diǎn)F即為所求，（2）解：如圖，線段DG，點(diǎn)H即為所求，【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)及相似三角形的判定，靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)作圖是做出本題的關(guān)鍵．19．如圖，在方格紙中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上．（1）在圖1中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)，使與相似；（2）在圖2中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)，使，且與不相似．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求出CE和DE，利用格點(diǎn)畫(huà)出即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格畫(huà)出，使不是直角三角形即可．【詳解】（1）如圖1，格點(diǎn)如圖所示（其中任意一個(gè)均可），（2）如圖2，格點(diǎn)如圖所示（其中任意一個(gè)均可）．【點(diǎn)睛】本題考查了在網(wǎng)格中畫(huà)圖問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)確定邊長(zhǎng)和利用相似或全等畫(huà)等角．20．如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中畫(huà)圖（保留作圖連線痕跡），并回答問(wèn)題．（1）在的右邊找格點(diǎn)，連，使平分．（2）若與交于，直接寫(xiě)出的值．（3）找格點(diǎn)，連，使于．（4）在上找點(diǎn)，連，使．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析【分析】（1）在AC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F使AB=AF=5，再取BF中點(diǎn)即為所求的D，連AD,依據(jù)是等腰三角形三線合一,注意直線AD上有多個(gè)格點(diǎn)；（2）由“8”字型相似得；（3）可用，找點(diǎn)，也可用三高交于一點(diǎn)找點(diǎn)；（4）將平移到位置，再用線段將分為，連交于點(diǎn)，則為所求；【詳解】（1）如圖即為所求；（2）∵∴；（3）；

∴AC=AH

∴即可確定F位置在C左邊兩格（4）將平移到位置，再用線段將分為，連交于點(diǎn)，則為所求；【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．專(zhuān)題17手拉手旋轉(zhuǎn)模型證相似1．如圖1，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，，，，，，．（1）求證：．（2）若，．求的長(zhǎng)．（3）如圖2，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系．2．已知中，，．點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)．連接線段，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度．得到線段，連接線段、．（1）如圖1，若且點(diǎn)與重合，為線段的中點(diǎn)，連接線段．求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，其它條件同（1），，，求線段的長(zhǎng)度．3．在和中，，，．、分別為、的中點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)的值．4．（1）如圖①，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，連接、，證明：．（2）如圖②，四邊形和四邊形均為正方形，連接，，求的值．5．如圖，與有公共的頂點(diǎn)，，，且．點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．6．為等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，，，，，．（1）求證：；（2），且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．7．在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有、、、、五個(gè)點(diǎn)，問(wèn)與是否相似？為什么？由此，你還能找出圖中相似的三角形嗎？若能，請(qǐng)找出來(lái)，并說(shuō)明理由．8．如圖，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，恰好點(diǎn)在上，連接．（1）與有何關(guān)系？并說(shuō)明理由；（2）與有何關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）線段與在位置上有何關(guān)系？為什么？9．在中，，，，為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．（1）如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；（2）如圖2，若，求的值．10．在中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的平分線，于，延長(zhǎng)線于．（1）若四邊形是正方形（如圖①，、分別與、相交于點(diǎn)、，求證：．（2）如圖②，若，、相交于．試探究、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（用含的式子表示）11．已知點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，．①問(wèn)線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆?；（2）如圖2，若，，則線段與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（用表示）．12．如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到，連接，線段（或其延長(zhǎng)線）分別交、于、點(diǎn)．（1）求證：；（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻，使得與全等？若存在，求出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大?。?3．已知：點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，①問(wèn)線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆唬?）如圖2，若，，則線段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則（用表示）．14．在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．（1）如圖1，；（2）連接交直線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．①如圖2所示，試說(shuō)明；②設(shè)，旋轉(zhuǎn)的角度，當(dāng)、滿足什么關(guān)系時(shí)，是等腰三角形．15．如圖①，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，邊在射線上，且，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)是射線上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)不與重合時(shí)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，則．（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為斜邊做等腰直角，連接，求最小值．16．若繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，則我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識(shí)理解：如圖1，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．①若，，，則；②若，，，則（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于點(diǎn)，，求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（3）拓展提高：如圖3，為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若，，求的值．17．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，和均為等邊三角形，直線和直線交于點(diǎn)．填空：①的度數(shù)是；②線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）類(lèi)比探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)．請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題如圖3，在中，，，，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離．18．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識(shí)理解：兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形（填“是”或“不是”“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；如圖1，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，①若，，，則；②若，，，則；（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于，，求證：和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）拓展提高：如圖3，為等腰直角三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，若，，求出和的值．19．已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，求證：；（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明．專(zhuān)題17手拉手旋轉(zhuǎn)模型證相似1．如圖1，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，，，，，，．（1）求證：．（2）若，．求的長(zhǎng)．（3）如圖2，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：，，，與都是等腰直角三角形，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，（負(fù)值舍去），（3）解：，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，，，同理，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．2．已知中，，．點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)．連接線段，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度．得到線段，連接線段、．（1）如圖1，若且點(diǎn)與重合，為線段的中點(diǎn)，連接線段．求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，其它條件同（1），，，求線段的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：連結(jié)，如圖，，，和是等腰直角三角形，，，，是的中點(diǎn)，，是等腰直角三角形，；（2）解：延長(zhǎng)至使，連結(jié)、，在上取點(diǎn)，使，則，如圖，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，即，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，．3．在和中，，，．、分別為、的中點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)的值．【解答】解：（1）如圖1，連接，并延長(zhǎng)交于，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，，，，，，，是等邊三角形，，，又，是等邊三角形，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）如圖2，連接，并延長(zhǎng)交于，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，又點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同理可求，綜上所述：的值為或．4．（1）如圖①，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，連接、，證明：．（2）如圖②，四邊形和四邊形均為正方形，連接，，求的值．【解答】證明：（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，，，，，，；（2）連接和，四邊形和四邊形均為正方形，，，，則，，，．．．5．如圖，與有公共的頂點(diǎn)，，，且．點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）．連接、，，，，，，；點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可得，，．（2）．連接、，，，，，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可得，，即得．6．為等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，，，，，．（1）求證：；（2），且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)到，使得，連接．，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，．（2）解：如圖2中，取的中點(diǎn)，連接，作于，于．由（1）可知，，，，，四邊形是平行四邊形，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，設(shè)，則，，，在中，，，，，，，即，，在中，，，，，在中，，，．7．在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有、、、、五個(gè)點(diǎn)，問(wèn)與是否相似？為什么？由此，你還能找出圖中相似的三角形嗎？若能，請(qǐng)找出來(lái)，并說(shuō)明理由．【解答】解：，，，，，，，，，，，．8．如圖，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，恰好點(diǎn)在上，連接．（1）與有何關(guān)系？并說(shuō)明理由；（2）與有何關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）線段與在位置上有何關(guān)系？為什么？【解答】解：（1）與互補(bǔ)；理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，；即，因此、互補(bǔ)．（2）與相似；理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，，；即，，即；因此．（3）線段與互相垂直，理由如下：由（2）知：；，，即線段、互相垂直．9．在中，，，，為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．（1）如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；（2）如圖2，若，求的值．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，，，，為中點(diǎn)，，，，，，，故答案為：；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的值為．10．在中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的平分線，于，延長(zhǎng)線于．（1）若四邊形是正方形（如圖①，、分別與、相交于點(diǎn)、，求證：．（2）如圖②，若，、相交于．試探究、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（用含的式子表示）【解答】（1）證明：，平分，，又四邊形是正方形，，，，在與中，，，，、是正方形的對(duì)角線，，在與中，，；（2）猜想：（或．證明：由（1）得，，，，，，，，，，（或．11．已知點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，．①問(wèn)線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆?；（2）如圖2，若，，則線段與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（用表示）．【解答】解：（1）①，理由：，，，同理可得出：，，，即，在和中，，，；②，，，；（2），理由：，，，，，同理可得出：，，，即，，，，，，，．故答案為：．12．如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到，連接，線段（或其延長(zhǎng)線）分別交、于、點(diǎn)．（1）求證：；（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻，使得與全等？若存在，求出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大?。窘獯稹拷猓海?）證法一：是由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，，，（3分），（5分）又，（7分）證法二：是由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，，，（3分），，（4分）又，（7分）（2）答：存在（8分）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，，又（已知），又，，即旋轉(zhuǎn)角．13．已知：點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，①問(wèn)線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆?；（2）如圖2，若，，則線段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則（用表示）．【解答】解：（1）如圖1．①，理由如下：，，，，同理可得：，，，即：．在與中，，，；②，，，；（2）如圖2．，，，同理可得：，，，即：．，，．在與中，，，，，，；，．故答案為：，；（3）如右圖．，，，同理可得：，，即．，，．在與中，，，，，，，．故答案為：．14．在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．（1）如圖1，；（2）連接交直線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．①如圖2所示，試說(shuō)明；②設(shè)，旋轉(zhuǎn)的角度，當(dāng)、滿足什么關(guān)系